الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور › الأعداد الطبيعية و الأعداد الناطقة
قاسم لعدد طبيعي
- تعريف قاسم عدد طبيعي انطلاقا من باقي القسمة الإقليدية
- الانتقال من عبارة « قاسم » إلى عبارة « مضاعف » و العكس
- التحقق من أن عددا هو قاسم لعدد آخر أو ليس قاسما له
- معرفة القواسم التي يملكها كل عدد طبيعي دون أي حساب
- إجراء القسمة الإقليدية لعدد طبيعي على عدد طبيعي غير معدوم
- التعرف على الحاصل و الباقي في كتابة قسمة إقليدية
- حساب جداء عددين طبيعيين و قراءة عامليه
معارف — القسمة الإقليدية: الحاصل و الباقي
نقسم عددا طبيعيا a على عدد طبيعي b غير معدوم. القسمة الإقليدية تعطي دائما عددين طبيعيين اثنين: الحاصل، و هو عدد المرات الكاملة التي يدخل فيها b في a، و الباقي، و هو ما يفضل بعد ذلك و لا يكفي لمرة جديدة.
و الباقي أصغر من المقسوم عليه دائما: لو كان أكبر منه أو يساويه لأمكن أخذ مرة كاملة إضافية، و لما كانت القسمة قد انتهت.
معارف — متى يكون العدد b قاسما للعدد a؟
القول أن العدد b قاسم للعدد a يعني أن باقي القسمة الإقليدية للعدد a على b معدوم. أي أن القسمة تنتهي تماما، فلا يبقى شيء خارج التوزيع.
و متى صار الباقي معدوما اختفى من الكتابة، فلم تبق إلا مساواة واحدة بسيطة: العدد a هو جداء العددين b و q.
معارف — المضاعف: الوجه الآخر للقاسم
القول أن العدد a مضاعف للعدد b يعني أن a يقبل القسمة على b، و يعني أيضا أنه يوجد عدد طبيعي K حيث a = K × b. فالعبارتان « b قاسم للعدد a » و « a مضاعف للعدد b » تصفان الحالة نفسها: الأولى من جهة القاسم، و الثانية من جهة العدد المقسوم.
| الكتابة | بلغة القاسم | بلغة المضاعف |
|---|---|---|
| 12 = 4 × 3 | العدد 4 قاسم للعدد 12 | العدد 12 مضاعف للعدد 4 |
| 50 = 5 × 10 | العدد 5 قاسم للعدد 50 | العدد 50 مضاعف للعدد 5 |
| 63 = 9 × 7 | العدد 9 قاسم للعدد 63 | العدد 63 مضاعف للعدد 9 |
معارف — قواسم يملكها كل عدد دون بحث
ثلاث حقائق تعفيك من الحساب. الأولى: العدد 1 قاسم لكل عدد طبيعي. و الثانية: كل عدد طبيعي غير معدوم قاسم لنفسه. و الثالثة: كل عدد طبيعي غير معدوم قاسم للعدد 0. و ينتج عن الأوليين أن كل عدد طبيعي أكبر من 1 له على الأقل قاسمان مختلفان: العدد 1 و العدد نفسه.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقق أن عددا قاسم لعدد آخر؟
نجري القسمة الإقليدية للعدد الكبير على العدد الذي نسأل عنه، ثم نقرأ الباقي وحده: إن كان معدوما فالعدد قاسم، و إن لم يكن معدوما فهو ليس قاسما. و لا حاجة إلى شيء آخر.
نعود إلى حلوى البائع: 91 حلوى و 7 أطفال.
🎯المطلوب: تحقّق مما إذا كان العدد 7 قاسما للعدد 91
نبحث عن أكبر مضاعف للعدد 7 لا يتجاوز 91: نجد 7 × 13 = 91 بالضبط، فلا يفضل شيء.
نقرأ الباقي في الكتابة السابقة: هو الحد الأخير فيها.
الباقي معدوم، و هذا هو نص التعريف بعينه، فيسقط الحد الأخير من الكتابة.
نغير العددين و نعيد الطريقة نفسها، خطوة بخطوة.
🎯المطلوب: تحقّق مما إذا كان العدد 8 قاسما للعدد 43
أكبر مضاعف للعدد 8 لا يتجاوز 43 هو 40، أي 8 × 5، و يفضل بعده 3.
نتأكد أن الباقي أصغر من المقسوم عليه، و إلا كانت القسمة لم تنته بعد.
الباقي 3 ليس معدوما، فشرط التعريف غير محقق.
طريقة 2: كيف نقرأ القاسم من كتابة على شكل جداء؟
إذا استطعت أن تكتب العدد على شكل جداء عددين طبيعيين، فلا داعي للقسمة أصلا: العاملان قاسمان له مباشرة، لأن الكتابة a = K × b هي بعينها تعريف المضاعف.
🎯المطلوب: بيّن أن العدد 7 قاسم للعدد 21، و أن العدد 9 قاسم للعدد 45
نكتب 21 على شكل جداء عددين طبيعيين يظهر فيه العدد 7.
و نفعل الشيء نفسه مع العدد 45 و العامل 9.
في كل كتابة ظهر العدد المطلوب عاملا، و العامل الآخر عدد طبيعي: هذا هو تعريف المضاعف بعينه، إذن الشرط محقق في الحالتين.
طريقة 3: كيف نستعمل القواسم الأكيدة، و كيف ننفي قاسما؟
لكل عدد طبيعي أكبر من 1 قاسمان لا يحتاجان إلى بحث: العدد 1 و العدد نفسه. أما نفي قاسم فلا يكفي فيه أن نجرب قليلا: نعود إلى التعريف و نبين أن الباقي غير معدوم، أي أنه لا يوجد أي عدد طبيعي K يحقق المساواة.
🎯المطلوب: أوجد قاسمين للعدد 13 دون إجراء أي قسمة، ثم تحقّق أن العدد 5 ليس قاسما للعدد 29
العدد 1 قاسم لكل عدد طبيعي، و الكتابة تظهره عاملا.
و كل عدد طبيعي غير معدوم قاسم لنفسه، للسبب نفسه: العامل الآخر هو 1.
ننتقل إلى العددين 29 و 5: نبحث عن عدد طبيعي K يحقق 29 = K × 5. مضاعفا العدد 5 المحيطان بـ 29 هما 25 و 30، و ليس بينهما 29؛ و القسمة الإقليدية تقول الشيء نفسه.
الباقي 4 ليس معدوما، إذن لا يوجد أي عدد طبيعي K يحقق تلك المساواة.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net