مدرستي
الرياضيات

الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور الأعداد الطبيعية و الأعداد الناطقة

القاسم المشترك الأكبر ⁦(PGCD)⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك
عندك 24 قلما و 36 دفترا، و تريد توزيعها كلها على أكبر عدد ممكن من التلاميذ، بحيث ينال كل تلميذ العدد نفسه من الأقلام و العدد نفسه من الدفاتر. ما هو أكبر عدد من التلاميذ يمكن أن نوزع عليه دون أن يبقى قلم أو دفتر؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعيين مجموعة القواسم المشتركة لعددين طبيعيين
  • تعيين القاسم المشترك الأكبر لعددين و كتابته بالرمز PGCD
  • استعمال خاصية: القواسم المشتركة هي قواسم القاسم المشترك الأكبر
  • ترجمة وضعية توزيع إلى بحث عن قاسم مشترك أكبر
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعيين مجموعة قواسم عدد طبيعي غير معدوم
  • معنى قاسم مشترك لعددين طبيعيين
  • ترتيب أعداد طبيعية تصاعديا و قراءة أكبرها
كل هذا الدرس يقوم على عمل تعرفه: تعيين مجموعة قواسم عدد. الجديد هنا هو أن تفعل ذلك مرتين، ثم تقارن المجموعتين.

معارف — القواسم المشتركة لعددين

القاسم المشترك لعددين طبيعيين هو عدد يقسمهما معا. و مجموعة القواسم المشتركة لهما هي مجموعة كل الأعداد التي تقسم الأول و تقسم الثاني في الوقت نفسه؛ نجدها بمقارنة مجموعتي قواسمهما و الاحتفاظ بما يوجد فيهما معا.

القواسم المشتركة هي ما يقع في منطقة التقاطع وحدها.
مجموعة القواسم المشتركة للعددين 12 و 18
D(12 ; 18) = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 }
D(12 ; 18)مجموعة القواسم المشتركة للعددين 12 و 18

و هذه المجموعة لا تكون فارغة أبدا: العدد 1 قاسم لكل عدد طبيعي، فهو قاسم مشترك لأي عددين مهما كانا.

العدد 1 قاسم مشترك مهما كان العددان
a = 1 × a , b = 1 × b
aالعدد الأولbالعدد الثاني

معارف — تعريف القاسم المشترك الأكبر

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b هو أكبر عنصر في مجموعة القواسم المشتركة لهما. و يرمز له بالرمز ⁦PGCD(a ; b)⁩.

تعريف القاسم المشترك الأكبر
PGCD(a ; b) = d
PGCD(a ; b)القاسم المشترك الأكبر للعددين a و bdأكبر عنصر في مجموعة القواسم المشتركة للعددين a و baالعدد الأول، طبيعي غير معدومbالعدد الثاني، طبيعي غير معدوم
و على المثال السابق
PGCD(12 ; 18) = 6
PGCD(12 ; 18)القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 18
الترتيب لا يهم: البحث عن القواسم المشتركة للعددين 12 و 18 هو البحث عنها للعددين 18 و 12. اكتب أيهما شئت أولا.

معارف — القواسم المشتركة هي قواسم القاسم المشترك الأكبر

مجموعة القواسم المشتركة لعددين طبيعيين هي مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر لهما. أي أن القاسم المشترك الأكبر لا يكتفي بأن يكون الأكبر: كل قاسم مشترك آخر هو قاسم له.

خاصية: القواسم المشتركة هي قواسم القاسم المشترك الأكبر
D(a ; b) = D( PGCD(a ; b) )
D(a ; b)مجموعة القواسم المشتركة للعددين a و bPGCD(a ; b)القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b
و على المثال السابق
D(12 ; 18) = D(6) = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 }
D(6)مجموعة قواسم العدد 6
هذه الخاصية تعطيك مراقبة مجانية: بعد أن تجد القاسم المشترك الأكبر، تحقق أن قواسمه هي بالضبط القواسم المشتركة التي كتبتها. إن اختلفت المجموعتان فقد سقط منك قاسم.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نعين القاسم المشترك الأكبر لعددين؟

ثلاث خطوات لا رابع لها: نعين مجموعة قواسم العدد الأول، ثم مجموعة قواسم العدد الثاني، ثم نحتفظ بما يوجد في المجموعتين معا و نقرأ أكبره.

مثال 1: القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 72

🎯المطلوب: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 72

🔹الخطوة 1: قواسم العدد 48

نعين مجموعة قواسم العدد 48 بكتابته على شكل جداء عاملين في كل الحالات الممكنة.

D(48) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 }
D(48)مجموعة قواسم العدد 48
🔹الخطوة 2: قواسم العدد 72

ثم نفعل الشيء نفسه مع العدد 72.

D(72) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72 }
🔹الخطوة 3: القواسم المشتركة

نقارن المجموعتين و نحتفظ بالأعداد الموجودة فيهما معا.

D(48 ; 72) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }
D(48 ; 72)مجموعة القواسم المشتركة للعددين 48 و 72
✅النتيجة: القاسم المشترك الأكبر

نقرأ أكبر عنصر في هذه المجموعة الأخيرة، و هو المطلوب.

PGCD(48 ; 72) = 24
اكتب المجموعتين إحداهما تحت الأخرى و العناصر مرتبة تصاعديا: القواسم المشتركة تظهر عندئذ في أعمدة متقابلة، فلا يسقط منك أي واحد.
مثال 2: القاسم المشترك الأكبر للعددين 30 و 45

🎯المطلوب: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 30 و 45

🔹الخطوة 1: قواسم العدد 30

نعين مجموعة قواسم العدد 30.

D(30) = { 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 }
🔹الخطوة 2: قواسم العدد 45

ثم مجموعة قواسم العدد 45.

D(45) = { 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 }
🔹الخطوة 3: القواسم المشتركة

نحتفظ بما يوجد في المجموعتين معا.

D(30 ; 45) = { 1 ; 3 ; 5 ; 15 }
D(30 ; 45)مجموعة القواسم المشتركة للعددين 30 و 45
✅النتيجة: القاسم المشترك الأكبر

و نقرأ أكبر عنصر فيها.

PGCD(30 ; 45) = 15
لا تخلط بين أكبر قاسم مشترك و أكبر قاسم لكل عدد على حدة: أكبر قاسم للعدد 45 هو 45 نفسه، لكنه لا يقسم 30، فلا يصلح.

طريقة 2: كيف نراقب جوابنا بخاصية القواسم المشتركة؟

بعد أن تجد القاسم المشترك الأكبر، عين مجموعة قواسمه هو، ثم قارنها بمجموعة القواسم المشتركة التي كتبتها. الخاصية تقول إنهما المجموعة نفسها؛ فإن اختلفتا فالخطأ في عملك.

و هي تعمل في الاتجاهين: إن كان القاسم المشترك الأكبر معلوما من قبل، فقواسمه هي القواسم المشتركة، و لا حاجة عندئذ إلى إعادة كتابة مجموعتي قواسم العددين.

مثال 3: إيجاد القاسم المشترك الأكبر ثم مراقبته

🎯المطلوب: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 32 و 24، ثم تحقّق أن القواسم المشتركة لهما هي قواسمه

🔹الخطوة 1: قواسم العدد 32

نعين مجموعة قواسم العدد 32.

D(32) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 }
🔹الخطوة 2: قواسم العدد 24

ثم مجموعة قواسم العدد 24.

D(24) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }
🔹الخطوة 3: القواسم المشتركة و أكبرها

نحتفظ بما يوجد في المجموعتين معا، ثم نقرأ أكبر عنصر فيها.

D(32 ; 24) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 }
D(32 ; 24)مجموعة القواسم المشتركة للعددين 32 و 24
🔹الخطوة 4: قواسم العدد 8

ننتقل إلى المراقبة: نعين مجموعة قواسم العدد 8 وحده.

D(8) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 }
✅النتيجة: القاسم المشترك الأكبر مع مراقبته

المجموعتان متطابقتان عنصرا بعنصر، و هذا هو نص الخاصية بعينه.

PGCD(32 ; 24) = 8
هذه المراقبة لا تكلفك شيئا تقريبا، لأن القاسم المشترك الأكبر عدد صغير: قواسمه تكتب في سطر واحد.

طريقة 3: كيف نترجم وضعية توزيع إلى قاسم مشترك أكبر؟

عندما يطلب التمرين توزيع كميتين بالتساوي دون بقية على أكبر عدد ممكن، فعدد الحصص يقسم الكميتين معا: هو إذن قاسم مشترك لهما، و « أكبر عدد ممكن » تعني القاسم المشترك الأكبر.

مثال 4: توزيع الأقلام و الدفاتر

نعود إلى وضعية البداية: 24 قلما و 36 دفترا توزع كلها بالتساوي.

🎯المطلوب: أوجد أكبر عدد من التلاميذ يمكن التوزيع عليه، ثم حدّد نصيب كل تلميذ

🔹الخطوة 1: ترجمة الوضعية

عدد التلاميذ يجب أن يقسم 24 حتى توزع الأقلام كلها دون بقية، و أن يقسم 36 حتى توزع الدفاتر كلها: فهو إذن قاسم مشترك للعددين.

D(24 ; 36) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }
D(24 ; 36)مجموعة القواسم المشتركة للعددين 24 و 36
🔹الخطوة 2: أكبر عدد ممكن من التلاميذ

و المطلوب أكبر عدد ممكن من التلاميذ، أي أكبر عنصر في هذه المجموعة.

PGCD(24 ; 36) = 12
🔹الخطوة 3: نصيب كل تلميذ من الأقلام

نقسم عدد الأقلام على عدد التلاميذ.

24 = 12 × 2
🔹الخطوة 4: نصيب كل تلميذ من الدفاتر

ثم نقسم عدد الدفاتر على العدد نفسه.

36 = 12 × 3
✅النتيجة: عدد التلاميذ و نصيب كل واحد

التوزيع ممكن على 12 تلميذا، و لا يبقى قلم و لا دفتر.

24 = 12 × 2 , 36 = 12 × 3
عبارتا « أكبر عدد ممكن » و « دون بقية » معا هما إشارة القاسم المشترك الأكبر في نص التمرين. ابحث عنهما، فهما تقولان لك أي أداة تستعمل.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في وضعية توزيع: «ما أكبر عدد من التلاميذ يمكن أن نوزّع عليه 24 قلما و 36 دفترا بالتساوي دون بقية؟ ثمّ حدّد نصيب كلّ تلميذ»، وقبلها سؤال مباشر: «عيّن ⁦PGCD(a ; b)⁩». ثلاثة عناصر جاهزة: ① الطريقة بالقوائم: مجموعة قواسم الأوّل، ثمّ مجموعة قواسم الثاني، ثمّ ما هو مشترك بينهما، ثمّ أكبره ② المراقبة: مجموعة القواسم المشتركة هي بالضبط مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر، ⁦D(a ; b) = D(PGCD(a ; b))⁩، وبها تكشف قاسما سقط منك ③ الترجمة: «أكبر عدد» و«بالتساوي» و«دون بقية» ⟸ قاسم مشترك أكبر. ⛔ والخطأ الشائع: الوقوف عند العدد دون الإجابة عن سؤال الوضعية ؛ اكتب جملة الجواب، ثمّ أكمل بنصيب كلّ تلميذ من الأقلام ومن الدفاتر. وخطأ ثانٍ: نسيان قاسم في إحدى القائمتين، فيخرج قاسم مشترك ليس الأكبر.
خلاصة: القاسم المشترك لعددين طبيعيين هو عدد يقسمهما معا، و القاسم المشترك الأكبر لهما هو أكبر عنصر في مجموعة قواسمهما المشتركة، و يكتب ⁦PGCD(a ; b)⁩. لتعيينه: مجموعة قواسم الأول، مجموعة قواسم الثاني، ما هو مشترك بينهما، ثم أكبره. و مجموعة القواسم المشتركة هي بالضبط مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر، و هي مراقبة تكشف كل قاسم سقط منك.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net