الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور › الأعداد الطبيعية و الأعداد الناطقة
العددان الأوليان فيما بينهما
- تعريف عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما بدلالة قاسمهما المشترك الأكبر
- التحقّق من أن عددين أوليان فيما بينهما بحساب القاسم المشترك الأكبر
- استعمال خاصية العددين الطبيعيين المتتاليين دون أي حساب
- إثبات أن عددين ليسا أوليين فيما بينهما، وذكر السبب
- تعيين قواسم عدد طبيعي وكتابة قائمتها
- حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين بخوارزمية إقليدس
معارف — التعريف
نقول عن عددين طبيعيين غير معدومين إنهما أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1. هذا هو التعريف كله، ولا شيء غيره: لا ننظر إلى حجم العددين ولا إلى كونهما زوجيين أو فرديين، بل إلى قاسمهما المشترك الأكبر وحده.
الشرط ضروري وكاف: متى وجدت 1 فهما أوليان فيما بينهما، ومتى وجدت غيرها فليسا كذلك.
مثلا العددان 25 و 39 أوليان فيما بينهما، لأن قاسمهما المشترك الأكبر هو 1.
معارف — قراءة أخرى للتعريف: لا قاسم مشترك سوى 1
العدد 1 يقسم كل عدد طبيعي، فهو دائما قاسم مشترك لأي عددين. إذن القول إن أكبر القواسم المشتركة هو 1 يعني أنه القاسم المشترك الوحيد: لا يوجد أي قاسم مشترك آخر. وهذه القراءة هي التي تُستعمل عمليا عند مقارنة قائمتي القواسم.
أي أن القاسم المشترك الوحيد للعددين هو العدد 1، ولا قاسم مشترك سواه.
معارف — كل عددين طبيعيين متتاليين أوليان فيما بينهما
إذا كان العددان متتاليين، فالفرق بينهما هو 1. وكل قاسم مشترك لهما يقسم فرقهما، أي يقسم 1، فلا يمكن أن يكون إلا 1. لذلك يمكنك أن تجزم مباشرة، دون أي حساب، أن عددين متتاليين أوليان فيما بينهما.
كل قاسم مشترك للعددين يقسم الفرق بينهما، وهذا الفرق يساوي 1.
وهذا ما تراه على الأزواج 20 و 21، ثم 54 و 55، ثم 198 و 199: ثلاثة أزواج متتالية، وثلاث مرات القاسم المشترك الأكبر يساوي 1.
| العددان | القاسم المشترك الأكبر | أوليان فيما بينهما؟ |
|---|---|---|
| 25 و 39 | 1 | نعم |
| 20 و 21 | 1 | نعم، وهما متتاليان |
| 54 و 55 | 1 | نعم، وهما متتاليان |
| 198 و 199 | 1 | نعم، وهما متتاليان |
| 45 و 75 | 15 | لا |
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقّق من أن عددين أوليان فيما بينهما؟
احسب قاسمهما المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس، ثم قارنه بالعدد 1. لا يلزمك أي شيء آخر: القيمة 1 تعني نعم، وأي قيمة أخرى تعني لا.
نعتبر العددين الطبيعيين 25 و 39.
🎯المطلوب: بيّن أنّ العددين 25 و 39 أوليان فيما بينهما.
نبدأ بقسمة الأكبر على الأصغر: الحاصل 1 والباقي 14.
نُزيح: القاسم يصير مقسوما والباقي يصير قاسما.
ونواصل بالإزاحة نفسها.
الباقي ما زال غير معدوم.
ظهر الباقي 1: نواصل مرة أخيرة.
الباقي معدوم، والقاسم في هذه القسمة هو 1.
آخر باق غير معدوم هو 1، فقاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1.
طريقة 2: كيف نبيّن أن القاسم المشترك الوحيد هو 1؟
عندما يكون العددان صغيرين، اكتب قائمة قواسم كل واحد منهما، ثم ضع خطا تحت القواسم التي تتكرّر في القائمتين. إن لم يبق منها إلا العدد 1، فالعددان أوليان فيما بينهما.
نعتبر العددين الطبيعيين 8 و 15.
🎯المطلوب: عيّن القواسم المشتركة للعددين 8 و 15، ثم استنتج.
نكتب كل قواسم العدد 8، من 1 إلى 8.
ثم كل قواسم العدد 15.
نقارن القائمتين: العدد الوحيد الموجود في القائمتين معا هو 1.
أكبر هذه القواسم المشتركة هو 1، وهو أيضا الوحيد.
طريقة 3: كيف نستعمل خاصية العددين المتتاليين؟
انظر أولا إلى الفرق بين العددين. إن كان الفرق يساوي 1 فالجواب معروف سلفا: العددان أوليان فيما بينهما، ولا داعي لأي حساب. ويبقى الحساب ممكنا للتأكّد.
نعتبر العددين الطبيعيين 198 و 199.
🎯المطلوب: بيّن أنّ العددين 198 و 199 أوليان فيما بينهما دون حساب طويل.
نطرح الأصغر من الأكبر لنرى الفرق بينهما: الفرق يساوي 1، فالعددان متتاليان، وكل قاسم مشترك لهما يقسم هذا الفرق، أي يقسم 1، فلا يكون إلا 1.
وللتأكّد بالحساب نقسم 199 على 198: الحاصل 1 والباقي 1.
نُزيح، فيصير 198 مقسوما و 1 قاسما: الباقي معدوم، وآخر باق غير معدوم هو 1.
الخاصية والحساب يعطيان الجواب نفسه.
طريقة 4: كيف نبيّن أن عددين ليسا أوليين فيما بينهما؟
يكفي أن تجد قاسما مشتركا واحدا يختلف عن 1 لتنتهي المسألة. وأوضح طريقة هي حساب القاسم المشترك الأكبر: إن وجدته يختلف عن 1، فقد أجبت وأعطيت الدليل في آن واحد.
نعتبر العددين الطبيعيين 45 و 75.
🎯المطلوب: هل العددان 45 و 75 أوليان فيما بينهما؟ برّر جوابك.
نقسم الأكبر على الأصغر: الباقي 30.
نُزيح ونعيد القسمة.
الباقي معدوم، فالقاسم الأخير هو 15.
القاسم المشترك الأكبر يساوي 15، وهو يختلف عن 1.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net