الحساب الحرفي › (الحساب الحرفي ( المتطابقات الشهيرة
المتطابقات الشهيرة
- معرفة المتطابقات الشهيرة الثلاث و كتابتها عن ظهر قلب
- فهم معنى كلمة « متطابقة »: مساواة تصح مهما كانت القيم
- البرهان على كل متطابقة انطلاقا من النشر المضاعف
- التعرف على العددين a و b في عبارة معطاة قبل تطبيق أي متطابقة
- نشر جداء عبارتين باستعمال التوزيعية المضاعفة
- حساب مربع عدد، و معنى الكتابة a × a
- قواعد الإشارات في ضرب و جمع الأعداد الناطقة
معارف — ما معنى « متطابقة »؟
ليست كل مساواة صحيحة دائما. فالمساواة x + 2 = 5 لا تصح إلا إذا كان x يساوي 3، و تصير خاطئة من أجل أي قيمة أخرى: هذه معادلة، نبحث فيها عن عدد مجهول. أما المساواة x + x = 2x فتصح مهما كانت قيمة x: جرّب 0، ثم 7، ثم 1000، تجدها صحيحة في كل مرة.
من أجل x = 3 تصير المساواة 5 = 5، و من أجل أي عدد آخر يصير الطرفان مختلفين.
الطرفان يصفان الشيء نفسه: عدد مأخوذ مرتين هو ضعف ذلك العدد، أيا كان.
و في ما يأتي a و b عددان حقيقيان كيفما كانا. المساويات الثلاث الآتية صحيحة مهما كانت قيمتاهما، و لكثرة ما تعود في الحساب الحرفي سميت المتطابقات الشهيرة.
معارف — المتطابقة الأولى: مربع مجموع
مربع مجموع عددين ليس مجموع مربعيهما. فبين المربعين a² و b² يظهر حد ثالث، هو ضعف جداء العددين. و هذا الحد الأوسط هو الذي ينساه أكثر التلاميذ.
معارف — المتطابقة الثانية: مربع فرق
مربع فرق عددين يكتب بالحدود الثلاثة نفسها، و لا يتغير فيه إلا شيء واحد: إشارة الحد الأوسط تصير سالبة. أما المربعان a² و b² فيبقيان موجبين، لأن مربع أي عدد موجب.
معارف — المتطابقة الثالثة: جداء مجموع في فرق
و إذا ضربنا مجموع عددين في فرقهما فالحد الأوسط لا يغير إشارته فحسب: إنه يزول تماما. لأن جداء a في b يظهر مرة موجبا و مرة سالبا، فيلغي أحدهما الآخر، و لا يبقى إلا فرق المربعين. و لهذا سميت هذه المتطابقة كذلك فرق مربعين.
| الاسم | الكتابة على شكل جداء | الكتابة على شكل مجموع |
|---|---|---|
| المتطابقة الأولى: مربع مجموع | (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| المتطابقة الثانية: مربع فرق | (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| المتطابقة الثالثة: جداء مجموع في فرق | (a + b)(a − b) | a² − b² |
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقق من متطابقة على قيم عددية؟
نختار عددين، ثم نحسب طرفي المتطابقة كلا على حدة، ثم نقارن العددين الناتجين. و انتبه: هذا تحقق و ليس برهانا، لأنه لا يشمل إلا القيمتين اللتين اخترتهما.
نختار عددين بسيطين، و نحسب طرفي المتطابقة الأولى كلا على حدة.
🎯المطلوب: تحقّق من صحة المتطابقة الأولى من أجل a = 5 و b = 3
نجمع أولا ثم نربع، لأن القوس يفرض ترتيب العمليات.
نحسب حدود الطرف الثاني واحدا واحدا قبل جمعها: مربع الأول، ثم ضعف الجداء، ثم مربع الثاني.
نجمع الحدود الثلاثة.
الطرفان أعطيا العدد نفسه، فالمتطابقة متحققة من أجل هاتين القيمتين.
طريقة 2: كيف نبرهن على متطابقة شهيرة؟
نكتب المربع على شكل جداء عبارتين، ثم ننشر بالتوزيعية المضاعفة، ثم نجمع الحدود المتشابهة. و البرهان يجري على الحرفين a و b لا على أعداد، فيصلح لكل القيم دفعة واحدة.
🎯المطلوب: برهن على أن (a + b)² يساوي a² + 2ab + b²
مربع عبارة معناه ضربها في نفسها؛ و هذه هي كل الحيلة.
ننشر بالتوزيعية المضاعفة: كل حد من القوس الأول يضرب في كل حد من القوس الثاني، فتنتج أربعة جداءات.
الجداءان a × b و b × a متساويان لأن الضرب تبديلي، فيجتمعان في حد واحد هو 2ab.
و هذه هي المتطابقة الأولى، مبرهنة الآن من أجل كل قيمتين.
🎯المطلوب: برهن على أن (a − b)² يساوي a² − 2ab + b²
نبدأ كما بدأنا في المثال السابق: المربع جداء العبارة في نفسها.
ننشر بالتوزيعية المضاعفة مع الانتباه للإشارات: جداء موجب في سالب سالب، و جداء سالب في سالب موجب.
الحدان السالبان متشابهان، فيجتمعان في حد واحد سالب.
و هذه هي المتطابقة الثانية.
🎯المطلوب: برهن على أن (a + b)(a − b) يساوي a² − b²
العبارة جداء قوسين مختلفين، فننشرها مباشرة بالتوزيعية المضاعفة.
الحدان الأوسطان متعاكسان: أحدهما موجب و الآخر سالب و لهما القيمة نفسها، فمجموعهما معدوم.
فلا يبقى إلا الحدان الطرفيان.
طريقة 3: كيف نتعرف على العددين a و b في عبارة معطاة؟
قبل أن تطبق أي متطابقة، اقرأ في العبارة من هو a و من هو b. و القاعدة بسيطة: a هو ما يربّع أولا و b هو ما يربّع ثانيا. و انتبه إلى أنهما قد يكونان عبارتين لا عددين: في الكتابة (4x − 3)² نجد a = 4x بعدده و حرفه معا.
لا يطلب منك هنا أي نشر: يطلب منك أن تقرأ العبارة قبل أن تحسب.
🎯المطلوب: حدّد العددين a و b و المتطابقة المناسبة للعبارة (4x − 3)²
بين القوسين طرح، و القوس كله مربع: هذه هي صورة المتطابقة الثانية بالضبط.
a هو كل ما يقع قبل إشارة الطرح: العدد 4 و الحرف x معا، لا العدد وحده.
و b هو ما يقع بعد إشارة الطرح، دون إشارته: الإشارة تحملها المتطابقة نفسها.
و بهذا صارت العبارة جاهزة للنشر بالمتطابقة الثانية، و هو موضوع الدرس الموالي.
| العبارة | العدد a | العدد b | المتطابقة المناسبة |
|---|---|---|---|
| (x + 7)² | x | 7 | الأولى: مربع مجموع |
| (4x − 3)² | 4x | 3 | الثانية: مربع فرق |
| (5x + 2)(5x − 2) | 5x | 2 | الثالثة: جداء مجموع في فرق |
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net