الحساب الحرفي › (الحساب الحرفي ( المتطابقات الشهيرة
اثبات صحة مساواة
- معرفة الطرق الثلاث لإثبات صحة مساواة بين عبارتين
- اختيار الطريقة التي يناسبها شكل المساواة المعطاة
- إدراك أن التحقق على قيمة واحدة لا يقوم مقام البرهان
- توظيف المتطابقات الشهيرة في إثبات صحة مساواة
- نشر عبارة حرفية بالتوزيعية البسيطة و المضاعفة
- المتطابقات الشهيرة الثلاث و قراءة a و b في عبارة
- جمع و طرح الأعداد الناطقة و توحيد المقامات
معارف — ماذا يعني « إثبات صحة مساواة »؟
المساواة بين عبارتين حرفيتين تكون صحيحة إذا كان الطرفان يأخذان القيمة نفسها مهما كان العدد الذي نعوّض به الحرف. و إثباتها ليس تجريبها على قيمة أو قيمتين: فقد تصح المساواة من أجل قيمة و تخيب من أجل غيرها، و عندئذ لا تكون صحيحة.
معارف — الطريقة الأولى: تبسيط الطرفين إلى عبارة واحدة
نبسط الطرف الأول وحده حتى نصل إلى عبارة، ثم نبسط الطرف الثاني وحده حتى نصل إلى العبارة نفسها. و متى وصل الطرفان إلى العبارة نفسها ثبتت المساواة بينهما.
عبارتان تساويان عبارة ثالثة واحدة تتساويان فيما بينهما.
معارف — الطريقة الثانية: إثبات أن الفرق معدوم
نحسب الفرق بين الطرفين، أي A − B، و ننشره و نجمع حدوده المتشابهة. فإن وجدنا النتيجة معدومة كان الطرفان متساويين، لأن فرق عددين متساويين معدوم.
إذا كان ما يفصل بين الطرفين معدوما فلا فرق بينهما أصلا.
معارف — الطريقة الثالثة: الانتقال من طرف إلى الآخر
ننطلق من أحد الطرفين، و نحوّله خطوة بعد خطوة — بنشر أو بتحليل أو بمتطابقة — حتى نصل إلى الطرف الثاني كما هو مكتوب. و لنا أن ننطلق من أيهما شئنا؛ و العادة أن ننطلق من الطرف الأكثر تعقيدا، لأن التبسيط أسهل من التعقيد.
سلسلة من التحويلات المتساوية، كل واحدة منها لا تغير قيمة العبارة.
| شكل المساواة المعطاة | الطريقة المناسبة |
|---|---|
| في الطرفين معا أقواس تنشر | الأولى: نبسط الطرفين إلى عبارة واحدة |
| الطرفان متقاربان و الفرق بينهما قصير | الثانية: نثبت أن الفرق معدوم |
| طرف مكتوب جداء و الآخر مكتوب مجموع | الثالثة: ننطلق من أحدهما و نصل إلى الآخر |
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نبين أن مساواة ليست صحيحة؟
لهدم مساواة لا نحتاج إلى برهان: يكفي عدد واحد يجعل الطرفين مختلفين. نختار قيمة سهلة، نحسب الطرفين، فإن اختلفا انتهى الأمر. و هذا هو الفرق بين البرهان و التحقق.
نأخذ المساواة التي يكتبها كثير من التلاميذ خطأ بدل المتطابقة الأولى.
🎯المطلوب: بيّن أن المساواة (x + 1)² = x² + 1 ليست صحيحة من أجل كل قيمة للعدد x
نبدأ بأسهل قيمة، و نحسب الطرفين كلا على حدة: الطرفان متساويان هنا، و مع ذلك لا نستنتج شيئا، فقيمة واحدة لا تكفي. ننتقل إلى قيمة أخرى.
نعيد الحساب نفسه من أجل قيمة أخرى، فنجد هذه المرّة عددين مختلفين.
العددان مختلفان، فالمساواة خاطئة من أجل هذه القيمة، و يكفي ذلك لهدمها.
طريقة 2: كيف نثبت مساواة بتبسيط الطرفين؟
نشتغل على كل طرف وحده، دون أن ننقل شيئا من طرف إلى آخر. ننشر و نجمع في الطرف الأول حتى نصل إلى أبسط كتابة، ثم نفعل الشيء نفسه في الطرف الثاني، ثم نقارن.
في الطرف الأول مربعان يجمعان، و في الطرف الثاني قوس يضرب في عدد.
🎯المطلوب: أثبت أن (2x + 1)² + (2x − 1)² يساوي 2(4x² + 1)
ننشر المربع الأول بالمتطابقة الأولى.
ثم ننشر المربع الثاني بالمتطابقة الثانية: الحدود نفسها، و الحد الأوسط سالب.
نجمع الناتجين: الحدان الأوسطان متعاكسان فيزولان، و يبقى ضعف كل من الحدين الآخرين.
ننتقل الآن إلى الطرف الثاني، و نوزع العدد 2 على حدي القوس.
الطرفان بلغا العبارة نفسها، فهما متساويان.
طريقة 3: كيف نثبت مساواة بحساب الفرق؟
نكتب الفرق بين الطرفين مع وضع كل طرف بين قوسين، ثم ننشر، ثم نجمع الحدود المتشابهة. فإن انتهى كل شيء إلى الصفر فالمساواة صحيحة. و هذه أنسب طريقة حين يكون الطرفان متقاربين في الشكل.
الطرفان متقاربان: في كل واحد منهما مربع و عدد، فالفرق بينهما قصير.
🎯المطلوب: أثبت أن (x + 4)² − 8x يساوي x² + 16 بحساب الفرق بين الطرفين
نكتب الفرق مع وضع كل طرف بين قوسين: القوس هو ما يحفظ الإشارات.
ننشر المربع بالمتطابقة الأولى قبل أي شيء آخر.
نعوّض ثم نرفع القوسين: إشارة الطرح تقلب إشارة الحدين معا في القوس الثاني.
نجمع الحدود المتشابهة: كل حد يجد ما يقابله فيلغيه.
لم يبق شيء: الفرق معدوم، فالطرفان متساويان.
طريقة 4: كيف نثبت مساواة بالانطلاق من طرف؟
ننظر إلى الطرفين و نختار الأكثر تعقيدا، لأن تبسيط عبارة أسهل من تعقيدها. ثم نحوّله خطوة بعد خطوة حتى يصير هو الطرف الآخر حرفا بحرف.
الطرف الأول فيه مربع و جداء و طرح، و الطرف الثاني ثلاثة حدود مرتبة: نبدأ إذن من الأول.
🎯المطلوب: أثبت أن (3x − 1)² − (x + 5)(2x − 1) يساوي 7x² − 15x + 6
ننشر المربع بالمتطابقة الثانية: a هو 3x و b هو 1.
ثم ننشر الجداء بالتوزيعية المضاعفة، و نترك حدوده الأربعة كما هي دون تجميع بعد.
نطرح الثانية من الأولى: إشارة الطرح تقلب إشارة الحدود الأربعة كلها، لا الأول وحده.
نجمع الحدود المتشابهة صنفا صنفا: المربعات معا، ثم حدود x معا، ثم الأعداد معا.
و هذه هي عبارة الطرف الثاني بالضبط، فالمساواة مثبتة.
الطرف الأول فرق بين مربع و عدد، و الطرف الثاني جداء قوسين: هذا شكل المتطابقة الثالثة، مقروءة من الفرق نحو الجداء.
🎯المطلوب: أثبت أن (x/2 − 3)² − 9/4 يساوي (x/2 − 9/2)(x/2 − 3/2)
العدد 9/4 مربع، لأنه جداء 3/2 في نفسه؛ و بهذا يصير الطرف الأول فرق مربعين.
نسمي a العبارة التي تربّع أولا، و b العدد الذي يربّع ثانيا.
نستحضر المتطابقة الثالثة مقروءة من الفرق نحو الجداء.
نحسب القوسين واحدا واحدا، بعد كتابة 3 على شكل 6/2 حتى يتوحد المقامان.
نعوّض القوسين بقيمتيهما، فنصل إلى الطرف الثاني كما هو مكتوب.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net