الحساب الحرفي › المعادلات و المترجحات من الدرجة الاولى بمجهول واحد
المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- التعرف على معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد و كتابتها على الشكل ax = b
- التحقق من أن عددا معطى هو حل لمعادلة أو ليس حلا لها
- حلّ معادلة يظهر فيها المجهول في الطرفين معا
- التعرف على المعادلة التي ليس لها حل و على التي يحقّقها كل عدد
- جمع الأعداد الناطقة و طرحها و ضربها و قسمتها مع قواعد الإشارات
- نشر جداء عدد في مجموع باستعمال التوزيعية
- اختزال كتابة نسبة إلى أبسط شكل لها
معارف — ما هي المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد؟
المساواة التي تحتوي على حرف لا نعرف قيمته تسمى معادلة، و الحرف يسمى المجهول، و نرمز له عادة بالحرف x. و تكون المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد إذا أمكن كتابتها، بعد النشر و جمع الحدود المتشابهة، على شكل واحد بسيط.
عبارة « من الدرجة الأولى » تعني أن المجهول يظهر بقوّته الأولى فقط: لا نجد في المعادلة x² و لا مجهولا في مقام.
و هذه معادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد: 3x = 4، و 4x + 1 = 2x − 5، و 2√3 x − 4 = 7. الأولى مكتوبة على الشكل ax = b مباشرة، و الأخريان تؤولان إليه بنقل الحدود، كما سترى في هذا الدرس.
و حلّ معادلة معناه إيجاد كل قيم المجهول التي تجعل الطرفين متساويين. فكل قيمة تحقّق المساواة تسمى حلا للمعادلة، و ما عداها ليس حلا.
معارف — القاعدتان اللتان لا تغيّران حلول المعادلة
نحلّ المعادلة بتغيير شكلها لا بتغيير حلولها. و لذلك قاعدتان اثنتان لا ثالثة لهما، و كل ما تفعله في الحل ليس إلا تطبيقا لإحداهما.
في الحقيقة نحن ننقص العدد c من الطرفين معا: الطرفان يبقيان متساويين، و c يختفي من الطرف الأول و يظهر في الطرف الثاني بإشارة معاكسة.
ما دام العددان متساويين، فإن ضربهما في العدد نفسه يبقيهما متساويين. و الشرط الوحيد أن يخالف هذا العدد الصفر: الضرب في الصفر يجعل الطرفين معدومين و يمحو كل معلومة.
معارف — حل المعادلة ax = b عندما يخالف a الصفر
متى وصلت بالمعادلة إلى الشكل ax = b و كان المعامل a يخالف الصفر، انتهى الأمر: تقسم الطرفين على a فتجد قيمة واحدة لا غير. فمعادلة الدرجة الأولى، في هذه الحالة، تقبل حلا وحيدا.
نقسم الطرفين على a، و القسمة ممكنة لأن a يخالف الصفر. و ما دام كل حل يؤدي إلى هذه الكتابة، فلا يمكن أن يوجد حل ثان.
معارف — الحالتان اللتان يختفي فيهما المجهول
أحيانا تختفي حدود المجهول من الطرفين معا أثناء الحل، فنصل إلى كتابة معاملها معدوم. و هنا لا يمكن القسمة على المعامل، لأن القسمة على الصفر غير معرّفة: نقرأ الحالة مباشرة، و الحالتان اثنتان.
الجداء 0 × x معدوم مهما كانت قيمة x، فلا يمكن أن يساوي عددا يخالف الصفر: المعادلة ليس لها أي حل.
الجداء 0 × x معدوم مهما كانت قيمة x، و المساواة صحيحة دائما: كل عدد هو حل لهذه المعادلة.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقق من أن عددا هو حل لمعادلة؟
نعوّض المجهول بالعدد المعطى في الطرف الأول وحده، ثم في الطرف الثاني وحده، ثم نقارن النتيجتين: إن تساوتا فالعدد حل، و إن اختلفتا فليس حلا. و لا ننتقل من طرف إلى طرف قبل المقارنة: كل طرف يُحسب على حدة.
المعادلة المعطاة هي 3x − 8 = 12 − 7x، و العددان المقترحان هما 2 و 1.
🎯المطلوب: تحقّق من أن العدد 2 حل للمعادلة، ثم بيّن أن العدد 1 ليس حلا لها
نعوّض x بالعدد 2 في الطرف الأول وحده، و نحسب.
ثم نعوّض في الطرف الثاني، دون أن نستعمل ما وجدناه في الطرف الأول.
الطرفان أعطيا العدد نفسه، فالمساواة صحيحة من أجل x = 2.
نعيد العمل نفسه بالعدد 1: نحسب كل طرف على حدة.
العددان مختلفان، فالمساواة خاطئة من أجل x = 1.
طريقة 2: كيف نحلّ معادلة من الشكل ax = b؟
نتأكد أولا من أن المعامل يخالف الصفر، ثم نقسم الطرفين عليه، ثم نختزل النسبة إن أمكن اختزالها.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة 3x = 4، ثم تحقّق من الحل الذي وجدته
نقرأ المعامل و الحد الثاني: المعادلة مكتوبة على الشكل ax = b مباشرة.
المعامل 3 يخالف الصفر، فالقسمة عليه ممكنة.
نقسم الطرفين على 3: يبقى x في الطرف الأول، و تظهر النسبة في الطرف الثاني. و هي مختزلة لأن 4 و 3 ليس لهما قاسم مشترك غير 1.
نتحقق بالتعويض في المعادلة الأولى: نضرب المعامل في القيمة التي وجدناها.
التعويض أعطى الطرف الثاني نفسه، فالحل صحيح.
طريقة 3: كيف نحلّ معادلة يظهر فيها المجهول في الطرفين؟
نجمع حدود المجهول في طرف و الأعداد المعلومة في الطرف الآخر، بنقل الحدود مع تغيير إشاراتها. فتؤول المعادلة إلى الشكل ax = b، و نكمل كما في الطريقة السابقة.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة 3x − 8 = 12 − 7x
ننقل الحد −7x إلى الطرف الأول فيصير +7x، و ننقل الحد −8 إلى الطرف الثاني فيصير +8.
نجمع الحدود المتشابهة في كل طرف على حدة.
المعادلة صارت على الشكل ax = b، فنقسم الطرفين على المعامل.
نتحقق: الطرف الأول من أجل x = 2 يساوي −2، و الطرف الثاني كذلك.
المعادلة المعطاة هي x − 2√3 = 3√2 − x. حداها المعلومان عددان جذريان، و الطريقة لا تتغير.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة x − 2√3 = 3√2 − x و اترك الحل في كتابته الجذرية
ننقل الحد −x من الطرف الثاني إلى الطرف الأول فيصير +x، و ننقل −2√3 إلى الطرف الثاني فيصير +2√3.
نجمع x مع x فنجد 2x. أما الطرف الثاني فحداه غير متشابهين، فلا يُجمعان.
نقسم الطرفين على 2، و هو عدد يخالف الصفر.
طريقة 4: كيف نتصرف إذا اختفى المجهول أثناء الحل؟
قد تختفي حدود المجهول من الطرفين معا. لا يعني هذا أنك أخطأت: أكمل الحساب حتى تصل إلى كتابة معاملها معدوم، ثم اقرأ الحالة التي أنت فيها.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة 2x − 3(x + 1) = 1 − x
ننشر الجداء 3(x + 1) بالتوزيعية، و القوس مسبوق بإشارة ناقص فتتغير إشارتا حدّيه.
ننقل −x إلى الطرف الأول فيصير +x، و ننقل −3 إلى الطرف الثاني فيصير +3.
نجمع معاملات المجهول: 2 − 3 + 1 = 0، فيختفي المجهول من المعادلة.
الطرف الأول معدوم مهما كانت قيمة x، فلا يمكن أن يساوي 4.
المعادلة المعطاة هي x/2 − 1 = (2x − 4)/4، و في طرفيها مقامان مختلفان: 2 و 4.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة التي طرفها الأول x/2 − 1 و طرفها الثاني (2x − 4)/4
نبدأ بالطرف الثاني: بسطه و مقامه يقبلان القسمة على 2.
نفصل النسبة إلى حدين: قسمة x على 2، ثم قسمة 2 على 2.
صار الطرفان مكتوبين بالكتابة نفسها حرفا بحرف.
ننقل كل الحدود إلى طرف واحد: تختفي حدود المجهول و تختفي الأعداد معها.
الطرفان متساويان مهما كانت قيمة x.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net