حساب إحداثيتي شعاع

الجواب أنّ عددين يكفيان: عدد يقيس الانتقال الأفقي وعدد يقيس الانتقال العمودي. هذان العددان يسمّيان مركّبتي الشعاع، وهما يميّزانه تماما عن كلّ شعاع آخر.

في مستو مزوّد بمعلم، كلّ نقطة تُعرَف بعددين: فاصلتها وترتيبها. وإذا أخذنا نقطتين، الأولى بداية والثانية نهاية، فإنّ الشعاع الذي يصل بينهما يُعرَف هو أيضا بعددين: المركّبة الأولى هي فرق الفاصلتين، والمركّبة الثانية هي فرق الترتيبين. وفي كلّ مرّة نطرح إحداثيي البداية من إحداثيي النهاية، لا العكس.

وهكذا لا نحتاج إلى المسطرة ولا إلى المنقلة لنعرف شعاعا: يكفي أن نعرف إحداثيي نقطتيه، فنحصل على مركّبتيه بعمليتي طرح لا غير.

تكبير الصورة

عندما يكون الشعاع مرسوما في معلم، لا حاجة إلى أيّ حساب: نضع إصبعنا على بدايته، ونعدّ المربّعات أفقيا حتّى نصل إلى فاصلة النهاية، ثمّ نعدّها عموديا حتّى نصل إليها. العدد الأوّل موجب إذا اتّجهنا نحو اليمين وسالب نحو اليسار، والعدد الثاني موجب إذا صعدنا وسالب إذا نزلنا.

إذا بدّلنا البداية بالنهاية انقلب الانتقال كلّه: ما كان نحو اليسار صار نحو اليمين، وما كان نحو الأعلى صار نحو الأسفل. فمركّبتا الشعاع الثاني هما مركّبتا الأوّل مع تغيير الإشارتين معا. الشعاعان لهما الطول نفسه والمنحى نفسه، ويختلفان في الاتجاه.

شعاعان متساويان إذا كان لهما المنحى نفسه والاتجاه نفسه والطول نفسه، ولو كانا مرسومين في مكانين مختلفين من الورقة. وهذا الشرط الثلاثي يُختصر في المعلم إلى مقارنة بسيطة: يكفي أن تتساوى المركّبة الأولى مع المركّبة الأولى، والثانية مع الثانية.

علاقة شال تقول إنّ الانتقال من نقطة إلى ثانية ثمّ من الثانية إلى ثالثة يساوي الانتقال المباشر من الأولى إلى الثالثة. وبالمركّبات يصير الأمر جمعا عاديا: نجمع المركّبتين الأوليين معا، والمركّبتين الثانيتين معا، ولا نخلط بينهما أبدا.

اكتب الدستور أوّلا، ثمّ عوّض، ثمّ احسب. وانتبه إلى الترتيب: إحداثيا النهاية تُكتبان أوّلا في كلّ طرح.

مثال 1: حساب مركّبتي شعاع من إحداثيي نقطتيه

في معلم متعامد ومتجانس، أُعطيت النقطتان A و B بإحداثيّيهما.

🎯المطلوب: احسب مركّبتي الشعاع AB.

تكبير الصورة

📌المعطى: إحداثيا النقطتين

A (3 ; −2) , B (−2 ; 1)

xAفاصلة النقطة A، أي بداية الشعاعyAترتيب النقطة AxBفاصلة النقطة B، أي نهاية الشعاعyBترتيب النقطة B

🔹الخطوة 1: الدستور

نكتب الدستور قبل أن نعوّض: مركّبتا الشعاع هما فرق الفاصلتين وفرق الترتيبين.

AB (xB − xA ; yB − yA)

🔹الخطوة 2: التعويض

نعوّض كلّ حرف بقيمته، والنهاية B تُكتب أوّلا في كلّ طرح.

AB (−2 − 3 ; 1 − (−2))

🔹الخطوة 3: حساب المركّبتين

نحسب كلّ طرح على حدة؛ وطرح عدد سالب يصير جمعا لمقابله.

−2 − 3 = −5 , 1 − (−2) = 3

✅النتيجة: مركّبتا الشعاع

AB (−5 ; 3)

ضع إصبعك على بداية السهم، وعدّ المربّعات أفقيا حتّى تصير تحت النهاية أو فوقها، ثمّ عدّها عموديا حتّى تبلغها. أعطِ لكلّ عدّة إشارتها، واكتب العددين في هذا الترتيب.

مثال 2: قراءة مركّبتي شعاع على الرسم

في المعلم نفسه، رُسم سهم بدايته B ونهايته C، والنقطتان معلّمتان على الشبكة.

🎯المطلوب: اقرأ مركّبتي الشعاع BC على الرسم، ثمّ تحقّق من جوابك بالدستور.

تكبير الصورة

📌المعطى: إحداثيا النقطتين

B (−2 ; 1) , C (3 ; 4)

Bبداية الشعاع، وهي النقطة التي ننطلق منها في العدّCنهاية الشعاع، وهي النقطة التي نبلغها

🔹الخطوة 1: العدّ الأفقي

نعدّ المربّعات أفقيا من B نحو اليمين حتّى نصير تحت C: خمسة مربّعات نحو اليمين، فالمركّبة الأولى موجبة.

a = 5

🔹الخطوة 2: العدّ العمودي

ثمّ نعدّها عموديا صعودا حتّى نبلغ C: ثلاثة مربّعات نحو الأعلى، فالمركّبة الثانية موجبة أيضا.

b = 3

🔹الخطوة 3: التحقّق بالدستور

نتحقّق بالدستور: نطرح إحداثيي B من إحداثيي C فنجد العددين نفسيهما.

3 − (−2) = 5 , 4 − 1 = 3

✅النتيجة: مركّبتا الشعاع

BC (5 ; 3)

لا تعِد الحساب من البداية: يكفي أن تغيّر إشارتي المركّبتين معا. وإن أردت التأكّد، أعِد تطبيق الدستور بعد أن تبدّل دور النقطتين.

احسب مركّبتي كلّ شعاع على حدة بالدستور، ثمّ قارن المركّبة الأولى بالأولى والثانية بالثانية. إن تساوتا معا فالشعاعان متساويان، وإن اختلفت واحدة فقط فهما مختلفان.

تحقّق أوّلا من أنّ نهاية الأوّل هي بداية الثاني، فعلاقة شال لا تنطبق إلّا على مسار متّصل. ثمّ اجمع المركّبتين الأوليين معا والثانيتين معا.