الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

عموميات حول المتتاليات: التوليد بالحد العام و بالتراجع

🔊 المعلّمة تقرأ لك

بلغ عدد سكان مدينتين جزائريتين 6000 نسمة لكلّ منهما سنة 2005، ترتفع الأولى بمقدار 130 نسمة كلّ سنة بينما ترتفع الثانية بنسبة ⁦2%⁩ من سنة إلى أخرى. فكيف نصف تطوّر عدد سكان كلّ مدينة بأداة رياضية واحدة، مع أنّ طريقتي تطوّرهما مختلفتان تماما؟

لوصف عدد سكان أيّ من المدينتين خلال أيّ سنة، توجد طريقتان تختلفان جذريا: إمّا كتابة صيغة جاهزة بدلالة عدد السنوات، و إمّا الانطلاق من العدد الأول ثمّ تكرار قاعدة تطوّر واحدة سنة بعد أخرى. هذا الدرس يقدّم الطريقتين معا، قبل أن يتعمّق هذا الباب في كلّ واحدة منهما.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف متتالية عددية بحدّها العام صراحة بدلالة رتبتها
تعريف متتالية عددية بالتراجع، انطلاقا من حدّها الأول و علاقة تربط بين حدّين متتاليين
حساب الحدود الأولى لمتتالية معرّفة بالتراجع خطوة خطوة
التمييز بين متتالية يمكن الوصول مباشرة إلى أيّ حدّ منها، و متتالية يتطلّب حسابها المرور بكلّ الحدود التي سبقته

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مفهوم الدالة العددية و حساب قيمتها عند نقطة معيّنة
الحساب على الكسور و النسب المئوية

1. التوليد بالحد العام

حين نملك صيغة تعطينا مباشرة قيمة الحدّ بدلالة رتبته، دون الحاجة إلى أيّ حدّ آخر، نقول إنّ المتتالية معرّفة بحدّها العام.

مثال 1: التوليد بالحد العام

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بحدّها العام ⁦uₙ = (n+1)/(2n+3)⁩.

🎯المطلوب: احسب الحدود u₀ و u₁ و u₂ بالتعويض المباشر في الصيغة.

🔹الخطوة 1: الحد الأول

u₀=0+12×0+3=13

🔹الخطوة 2: الحد الثاني

u₁=1+12×1+3=25

🔹الخطوة 3: الحد الثالث

في كلّ مرّة نعوّض قيمة n مباشرة في الصيغة، دون أن نحتاج الحدّ الذي قبله.

u₂=2+12×2+3=37

⭐ بالحدّ العام يمكنك حساب الحدّ رقم 1000 بنفس السهولة: تعوّض ⁦n=1000⁩ مباشرة، دون المرور بأيّ حدّ آخر.

2. التوليد بالتراجع

أحيانا لا نملك صيغة جاهزة بدلالة الرتبة، بل نعرف الحدّ الأول فقط، و علاقة تسمح بحساب كلّ حدّ انطلاقا من الحدّ الذي يسبقه مباشرة. نقول إنّ المتتالية معرّفة بالتراجع، و لتوليدها لا بدّ من معطيين اثنين لا غير: الحدّ الأول، و علاقة التراجع.

الشكل العام لعلاقة التراجع

u_n+1 = f(uₙ)

مثال 2: التوليد بالتراجع

أودع شخص 10000 دج في بنك يقترح فائدة مركّبة نسبتها ⁦5%⁩ سنويا، و يضيف كلّ سنة 2000 دج. نرمز برصيده بعد n سنة بمتتالية حدّها الأول ⁦u₀=10000⁩، تتزايد كلّ سنة بنسبة ⁦5%⁩ ثمّ يضاف إليها 2000.

🎯المطلوب: احسب رصيد الشخص بعد سنة واحدة ثمّ بعد سنتين، انطلاقا من الحدّ الأول فقط.

🔹الخطوة 1: الحد u₁

u₁=1,05 × 10000 + 2000=12500

🔹الخطوة 2: الحد u₂

نعوّض الآن بالحدّ الذي حسبناه للتوّ، لا بالحدّ الأول: هذا هو ثمن التراجع.

u₂=1,05 × 12500 + 2000=15125

⭐ لاحظ الفرق الجوهري عن المثال 1: لا نملك هنا صيغة تعطي الحدّ الثالث مباشرة، فلا بدّ من المرور بالحدّ الثاني أوّلا.

مثال 3: متابعة التوليد بالتراجع

نواصل مثال الإيداع البنكي، حيث حسبنا رصيدا يساوي 15125 بعد سنتين.

🎯المطلوب: احسب رصيد الشخص بعد ثلاث سنوات، انطلاقا من رصيده بعد سنتين فقط.

🔹الخطوة 1: التعويض

u₃ = 1,05 × 15125 + 2000

✅النّتيجة

u₃ = 17881,25

⭐ لحساب هذا الرصيد احتجنا حصريا الرصيد الذي قبله مباشرة، لا أيّ رصيد أسبق: هذه هي الطبيعة المحلّية لعلاقة التراجع.

3. متتاليتان بالتراجع، من نوعين مختلفين

نعود إلى وضعية المدينتين. عدد سكان المدينة الأولى يرتفع بمقدار ثابت كلّ سنة، بينما عدد سكان الثانية يرتفع بنسبة ثابتة: كلتا العلاقتين تراجعيتان، لكنّهما من طبيعتين مختلفتين تماما.

مثال 4: من علاقة التراجع إلى الحد العام

نرمز بـ uₙ و vₙ إلى عدد سكان المدينتين الأولى و الثانية خلال السنة ⁦2005+n⁩.

🎯المطلوب: عبّر عن كلّ من uₙ و vₙ بحدّها العام، انطلاقا من علاقتي التراجع المعطاتين.

🔹الخطوة 1: علاقة تراجع المدينة الأولى

كلّ حدّ يزيد بمقدار ثابت 130 عن الحدّ الذي يسبقه.

u_n+1 = u_n + 130

🔹الخطوة 2: الحد العام للمدينة الأولى

u_n = 6000 + 130 n

🔹الخطوة 3: علاقة تراجع المدينة الثانية

كلّ حدّ يساوي 1,02 مرّة الحدّ الذي يسبقه.

v_n+1 = 1,02 × v_n

✅النّتيجة: الحد العام للمدينة الثانية

v_n = 6000 × 1,02ⁿ

⭐ المتتاليتان انطلقتا معا من علاقة تراجع، و كلتاهما قبلت التحوّل إلى حدّ عام. أمّا متتالية المثال 2 فلم نجد لها بعدُ حدّا عامّا: ستتعلّم كيف تجده في آخر هذا الباب.

✅النّتيجة: مقارنة عددي السكان من الرتبة 3 إلى الرتبة 9

n	⁦u(n)⁩ — المدينة الأولى	⁦v(n)⁩ — المدينة الثانية
3	6390	6367,2
4	6520	6494,6
5	6650	6624,5
6	6780	6757
7	6910	6892,1
8	7040	7030
9	7170	7170,6

القيمتان تتقاربان ثمّ تتبادلان الترتيب بين الرتبتين 8 و 9.

والسنة المطلوبة تقع عند الرتبة ⁦n=9⁩، أي سنة 2014.

مخطّط يقارن بين سهم مباشر واحد من الرتبة إلى الحدّ في التوليد بالحدّ العام، و سلسلة حلقات متتالية تنتقل كلّ واحدة إلى التي تليها في التوليد بالتراجع. — الفرق الجوهري: التوليد بالحدّ العام يصل إلى أيّ حدّ في خطوة واحدة، أمّا التوليد بالتراجع فيمرّ وجوبا بكلّ الحدود السابقة.

في البكالوريا تُعطى المتتالية إمّا بحدّها العام وإمّا بحدّها الأوّل وعلاقة تراجع، ويُطلب منك حساب حدودها الأولى، أو نمذجة وضعية (عدد سكّان، رصيد بنكي) بعلاقة من الشكل ⁦u_n+1 = f(u_n)⁩. جهّز ثلاثة عناصر: ① التمييز بين الطريقتين: بالحدّ العام تعوّض n مباشرة في الصيغة، وبالتراجع لا بدّ من معطيين هما الحدّ الأوّل وعلاقة التراجع، ثمّ المرور بكلّ حدّ ؛ ② ترجمة الوضعية: زيادة بمقدار ثابت ⁦← u_n+1 = u_n + 130⁩، وزيادة بنسبة ثابتة ⁦2% ← v_n+1 = 1,02 × v_n⁩، وفائدة ⁦5%⁩ مع إضافة ⁦2000 ← u_n+1 = 1,05 × u_n + 2000⁩ ؛ ③ ربط الرتبة بالزمن: الرتبة n تقابل السنة الأولى مضافا إليها n، فاكتب هذا الربط قبل الجواب. ⚠️ الخطأ الشائع: في علاقة التراجع، التعويض بالحدّ الأوّل في كلّ مرّة بدل الحدّ الذي حسبته للتوّ. ⚠️ وخطأ ثانٍ: ترجمة الزيادة بنسبة ⁦2%⁩ بإضافة 2 أو 0,02، والصحيح الضرب في 1,02.

الخلاصة: متتالية عددية تُعرَّف إمّا بحدّها العام الذي يعطي أيّ حدّ مباشرة بدلالة رتبته، و إمّا بالتراجع بمعرفة حدّها الأول و علاقة تربط كلّ حدّ بالذي يسبقه مباشرة، ما يفرض المرور بكلّ الحدود السابقة. بعض المتتاليات المعرّفة بالتراجع يمكن تحويلها إلى حدّ عام، كما سترى في بقية هذا الباب.

الصفحة 1/6