مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الاشتقاقية والاستمرارية على مجال الإشتقاقية 1

الاشتقاقية تذكير: العدد المشتق و المماس

🔊 المعلّمة تقرأ لك
عندما نكبّر منحنى دالة قابلة للاشتقاق بشكل كافٍ حول إحدى نقاطه، يصبح شكله يشبه قطعة مستقيمة تقريبا. فما هو العدد الذي يصف ميل هذه القطعة، و كيف نكتب معادلة المستقيم الذي يلامس المنحنى عند هذه النقطة؟

الجواب هو العدد المشتق. سنعيد بناءه من تعريفه بالنهاية، ثم نربطه بشكل المنحنى: ميل المماس. و هذا الدرس تذكير بأدوات درسناها من قبل، قبل أن نوسّعها في الدرس الموالي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف العدد المشتق لدالة عند نقطة انطلاقا من نهاية معدل التغير
  • التمييز بين الدالة و الدالة المشتقة لها
  • كتابة معادلة المماس لمنحنى دالة عند نقطة معلومة الفاصلة
  • التحقق من معادلة المماس بطريقتين مختلفتين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حساب نهاية عبارة جبرية بسيطة عندما تؤول الزيادة h إلى 0
  • معادلة مستقيم معلوم ميله و نقطة من نقطه

1. العدد المشتق و الدالة المشتقة

لتكن f دالة معرفة على مجال I، و a و a زائد h عددين من I مع h مختلف عن الصفر. القول أن f تقبل الاشتقاق عند a يعني أن النسبة الآتية تؤول إلى عدد حقيقي واحد لما يؤول h إلى الصفر، و نرمز إلى هذا العدد بالرمز ⁦f′⁩ عند a.

تعريف العدد المشتق
f′(a) = limh→0 f(a+h) − f(a)h
aالفاصلة التي نحسب عندها العدد المشتقhزيادة صغيرة نضيفها إلى a، مختلفة عن الصفر

إذا قبلت f الاشتقاق عند كل عدد من I، نقول أنها تقبل الاشتقاق على I، و الدالة التي تُلحق بكل عدد x عددَه المشتق تسمى الدالة المشتقة، و نرمز إليها بالرمز ⁦f′⁩.

مثال 1: حساب العدد المشتق بتطبيق التعريف

🎯المطلوب: احسب العدد المشتق ⁦f′(−2)⁩ للدالة f بتطبيق تعريف النهاية مباشرة.

📌المعطى
f(x) = x² + x ; a = −2
🔹الخطوة 1: النسبة

نكتب النسبة التي يتكلم عنها التعريف، بأخذ ⁦a = −2⁩.

f(−2+h) − f(−2)h
🔹الخطوة 2: تعويض و تبسيط البسط

ننشر ⁦(−2+h)²⁩ و نجمع الحدود، فنحصل على صورة بسيطة للبسط.

f(−2+h) − f(−2) = h² − 3h
🔹الخطوة 3: القسمة على h

نحلل البسط بإخراج h عاملا مشتركا، ثم نبسط مع المقام.

h² − 3hh = h − 3
✅النّتيجة

نجعل h يؤول إلى الصفر في العبارة المبسطة: الحد h يزول و يبقى ⁦−3⁩.

f′(−2) = −3
⭐ لاحظ أن القسمة على h غير معرفة عند ⁦h = 0⁩، لكن قبل أخذ النهاية بسّطنا الكسر فاختفى h من المقام — هذه هي الحيلة التي تجعل حساب النهاية ممكنا.
مثال 2: إيجاد عبارة الدالة المشتقة ⁦f′⁩

🎯المطلوب: أوجد عبارة الدالة المشتقة ⁦f′(x)⁩ بتطبيق نفس التعريف من أجل فاصلة كيفية x.

📌المعطى
f(x) = x² + x
🔹الخطوة 1: النسبة

نطبق نفس التعريف، لكن من أجل فاصلة كيفية x بدل عدد محدد.

f(x+h) − f(x)h
🔹الخطوة 2: تبسيط البسط

ننشر ⁦(x+h)²⁩ و نجمع الحدود المتشابهة.

f(x+h) − f(x) = 2·x·h + h² + h
🔹الخطوة 3: التحليل

نُخرج h عاملا مشتركا من الحدود الثلاثة.

2·x·h + h² + h = h(2x + h + 1)
🔹الخطوة 4: القسمة على h

نُبسّط مع المقام h.

h(2x + h + 1)h=2x + h + 1
✅النّتيجة

نجعل h يؤول إلى الصفر: يبقى الحدان الأولان.

f′(x) = 2x + 1
⭐ هذه العبارة ⁦f′(x) = 2x + 1⁩ هي التي سنعيد استعمالها مباشرة في المثالين الموالييْن، دون العودة إلى النهاية في كل مرة.

2. التفسير البياني: معادلة المماس

إذا قبلت f الاشتقاق عند a، فإن منحناها يقبل عند النقطة ذات الفاصلة a مماسا معامل توجيهه العدد المشتق عند a، و معادلته معطاة بالدستور الآتي.

معادلة المماس
y = f′(a)(x − a) + f(a)
المستقيم الممثل بيانيا هو بالضبط المماس المحسوب في هذا الدرس: ⁦y = −3x − 4⁩.
مثال 3: تعيين معادلة المماس بتعيين الميل ثم الترتيب عند المبدأ

🎯المطلوب: عيّن معادلة المماس ⁦(Δ)⁩ لمنحنى f عند النقطة A ذات الفاصلة ⁦−2⁩، بتعيين الميل ثم الترتيب عند المبدأ.

📌المعطى
f(x) = x² + x ; a = −2
🔹الخطوة 1: ترتيب النقطة A

نحسب ترتيب النقطة A بتعويض ⁦−2⁩ في عبارة f.

f(−2)=4 − 2=2
🔹الخطوة 2: ميل المماس

نستعمل عبارة ⁦f′⁩ التي أوجدناها في المثال 2.

f′(−2)=2×(−2) + 1=−3
🔹الخطوة 3: الشكل العام

معادلة أي مستقيم غير عمودي تكتب بمعرفة ميله m فقط.

y = −3x + b
🔹الخطوة 4: تعويض إحداثيتَي A

النقطة ⁦A(−2;2)⁩ تنتمي إلى المماس، فتحقق معادلته.

2 = −3×(−2) + b
✅النّتيجة: معادلة المماس

نحل هذه المعادلة في المجهول b.

y = −3x − 4
⭐ الترتيب عند المبدأ b ليس ⁦−3⁩ و لا 2: هو العدد الذي يجعل المعادلة صحيحة عند تعويض إحداثيتي A بالضبط.
مثال 4: التحقق بتطبيق الدستور العام مباشرة

🎯المطلوب: تحقق من معادلة المماس السابقة بتطبيق الدستور العام دفعة واحدة، دون المرور بتعيين الميل ثم الترتيب عند المبدأ على حدة.

📌المعطى

الدستور العام للمماس، مطبقا مباشرة بأخذ ⁦a = −2⁩.

y = f′(a)(x − a) + f(a) ; a = −2
🔹الخطوة 1: التعويض

نعوّض a بـ ⁦−2⁩، و ⁦f′(−2)⁩ بـ ⁦−3⁩، و ⁦f(−2)⁩ بـ 2 مباشرة في الدستور.

y = −3(x − (−2)) + 2
🔹الخطوة 2: التبسيط

نوزّع ⁦−3⁩ على القوسين ثم نجمع الحدود العددية.

y = −3x − 6 + 2
✅النّتيجة

نجمع ⁦−6⁩ و 2.

y = −3x − 4
⭐ الطريقتان تعطيان نفس المعادلة بالضرورة: الدستور العام هو نفسه ما فعلناه في المثال 3، مكتوبا في خطوة واحدة بدل أربع.
⛔ لا تخلط بين f و ⁦f′⁩: العدد ⁦f(a)⁩ هو ترتيب النقطة على المنحنى، بينما العدد ⁦f′(a)⁩ هو ميل المماس عندها — الأول يُقرأ على محور التراتيب، و الثاني هو ميل مستقيم.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس سؤالا من أسئلة دراسة الدالّة: «اكتب معادلة المماس للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة a»، وقد يُطلب قبله حساب العدد المشتق انطلاقا من نهاية معدّل التغيّر. جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريف: ⁦f′(a)⁩ هو نهاية ⁦(f(a+h) − f(a))/h⁩ لمّا يؤول h إلى الصفر، وهو بيانيا ميل المماس عند النقطة ذات الفاصلة a ؛ ② الدستور: ⁦y = f′(a)(x − a) + f(a)⁩، مع حساب ⁦f(a)⁩ و ⁦f′(a)⁩ كلّا في سطر مستقلّ قبل التعويض ؛ ③ التحقّق بطريقتين: تعيين الميل ثمّ الترتيب، أو تطبيق الدستور مباشرة — والطريقتان متكافئتان، فإن اختلفت النتيجتان فهناك خطأ حساب. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين ⁦f(a)⁩ و ⁦f′(a)⁩ ؛ ⁦f(a)⁩ ترتيب النقطة على المنحنى ويُقرأ على محور التراتيب، و ⁦f′(a)⁩ ميل المماس عندها. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الخلط بين الدالّة f والدالّة المشتقّة ⁦f′⁩ عند التعويض.
العدد المشتق ⁦f′(a)⁩ هو نهاية معدل التغير ⁦(f(a+h) − f(a))/h⁩ لما يؤول h إلى الصفر، و بيانيا هو ميل المماس عند النقطة ذات الفاصلة a. معادلة هذا المماس هي ⁦y = f′(a)(x − a) + f(a)⁩، و يمكن الوصول إليها إما بتعيين الميل ثم الترتيب، و إما بتطبيق الدستور مباشرة — الطريقتان متكافئتان تماما.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net