الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) الدوال المستمرة والغير مستمرة على مجال

الاستمرارية عند نقطة و على مجال

🔊 المعلّمة تقرأ لك

منحنى يُرسم من طرفه إلى طرفه دون أن ترفع القلم، و منحنى آخر يقفز فجأة و يترك ثقبا في مساره. فما الذي يفرّق بينهما بدقّة، لا بالرسم بل بالحساب؟

فرق واحد: أن تكون النهاية عند العدد مساوية للصورة عنده. القفزة ليست شيئا آخر: هي نهاية لا تلتقي بصورتها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف استمرارية دالة عند عدد و على مجال
قراءة الاستمرارية على تمثيل بياني
إثبات استمرارية دالة انطلاقا من الخواص

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب نهاية دالة عند عدد حقيقي
حساب صورة عدد بدالة معرّفة بعبارتين

1. التعريف

الاستمرارية عند a

يجب أن يتحقّق ثلاثة أشياء معا: أن تكون الصورة موجودة، أن تكون النهاية موجودة، و أن تتساويا. سقوط واحد منها يكسر الاستمرارية.

lim(x → a) f(x) = f(a)

و القول إنّ f مستمرة على مجال يعني أنّها مستمرة عند كلّ عدد حقيقي من هذا المجال.

2. التفسير البياني

تكون الدالة مستمرة على مجال عندما يمكن رسم منحنيها على هذا المجال دون رفع القلم. و هذا ليس تعريفا بديلا، بل ترجمة مريحة له.

منحنيان: الأوّل ينقطع عند عدد فيقفز، و الثاني يُرسم من طرفه إلى طرفه دون انقطاع. — الاستمرارية تُرى قبل أن تُحسب: قلم لا يُرفع، أو قفزة تفصل بين جزأين.

3. الخواص التي تُعفينا من الحساب

لا نعود إلى التعريف في كلّ مرّة. نقبل دون برهان أنّ الدوال المألوفة و كلّ ما يُبنى منها بالعمليات أو بالتركيب مستمرّ على كلّ مجال من مجموعة تعريفه:

الدوال المرجعية مستمرّة على كلّ مجال من مجموعة تعريفها
كثيرات الحدود و الدالتان جيب و جيب التمام مستمرّة على ℝ
الدوال الناطقة مستمرّة على كلّ مجال من مجموعة تعريفها

عمليّا: أعلن نوع الدالة، و الاستمرارية تتبع في سطر واحد. « f كثير حدود إذن مستمرّة على ℝ » جواب كامل، و لا يحتاج إلى أكثر.

مثال 1: دالة معرّفة بعبارتين

🎯المطلوب: أدرس استمرارية الدالة عند نقطة تغيّر العبارة، ثمّ اذكر مجالا تكون مستمرّة عليه.

📌المعطى

f(x) = -x² + 2 ; x ∈ ]-2 ; 0[

📌المعطى (تابع)

f(x) = x ; x ∈ [0 ; 3]

🔹الخطوة 1: على اليسار

نحسب النهاية على اليسار انطلاقا من العبارة الأولى.

lim(x → 0, x < 0) f(x) = 2

🔹الخطوة 2: على اليمين

ثمّ على اليمين انطلاقا من العبارة الثانية.

lim(x → 0, x > 0) f(x) = 0

🔹الخطوة 3: الاستنتاج

النهايتان مختلفتان، فلا نهاية عند 0 أصلا.

2 ≠ 0

✅النّتيجة: انقطاع عند الصفر، و استمرار على ⁦[0 ; 3]⁩

lim(x → 0, x < 0) f(x) ≠ f(0)

نقطة تغيّر العبارة هي المكان الوحيد الذي يستحقّ الفحص في دالة معرّفة بعبارتين. في كلّ ما عداه، الخواصّ تكفي.

مثال 2: الاستمرارية بالخواصّ

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة مستمرّة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

📌المعطى

f(x) = (x² + x + 1) cos(x) ; x ∈ ℝ

🔹الخطوة 1: العامل الأوّل

نعلن نوع كلّ عامل على حدة.

x² + x + 1

🔹الخطوة 2: العامل الثاني

دالة مرجعية مستمرّة على ℝ.

cos(x)

🔹الخطوة 3: العملية

جداء دالّتين مستمرّتين مستمرّ.

f=(x² + x + 1) × cos(x)

✅النّتيجة: الدالة مستمرّة على مجموعة الأعداد الحقيقية

D_f = ℝ

ثلاثة أسطر تكفي، و هي المطلوبة كاملة: نوع العامل الأوّل، نوع الثاني، ثمّ العملية التي تربطهما. لا تكتب « واضح ».

مثال 3: دالة الجزء الصحيح

🎯المطلوب: عيّن عبارة الدالة على كلّ مجال جزئي، ثمّ ادرس استمرارها على المجالين.

📌المعطى

f(x) = x·E(x) + 1 ; x ∈ [-1 ; 2[

🔹الخطوة 1: على المجال الأوّل

نعيّن الجزء الصحيح على كلّ مجال جزئي، ثمّ نستبدله.

x ∈ [-1 ; 0[ ⟹ f(x) = -x + 1

🔹الخطوة 2: على المجال الثاني

x ∈ [0 ; 1[ ⟹ f(x) = 1

🔹الخطوة 3: على المجال الثالث

x ∈ [1 ; 2[ ⟹ f(x) = x + 1

🔹الخطوة 4: على المجال المفتوح

على المجال المفتوح لا قفزة: العبارة واحدة ثمّ ثابتة، و القيمتان تلتقيان عند 0.

]-1 ; 1[

✅النّتيجة: انقطاع عند الواحد

lim(x → 1, x < 1) f(x) = 1 ≠ f(1) = 2

الجزء الصحيح يقفز عند كلّ عدد صحيح. لكن الجداء في x قد يُخفي القفزة أو يُظهرها: احسب القيمتين على جانبَي العدد الصحيح، لا تخمّن.

منحنى الدالة الجزء الصحيح: سبع درجات أفقية، كلّ منها مغلقة من اليسار و مفتوحة من اليمين، ترتفع بدرجة عند كلّ عدد صحيح. — الجزء الصحيح ثابت على كلّ مجال بين عددين صحيحين متتاليين، و يقفز عند كلّ عدد صحيح: كلّ قفزة انقطاع.

في موضوع الباكالوريا، الاستمرارية نادرا ما تُطلب وحدها: هي شرط يُتحقَّق منه قبل تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة. من نسي إعلانها فقد نقطة المبرهنة كلّها، مهما كان حسابه صحيحا.

الخلاصة: الاستمرارية عند عدد هي تساوي النهاية مع الصورة، و على مجال هي رسم دون رفع القلم. الخواصّ تُعفينا من التعريف في كلّ الدوال المألوفة، و لا يبقى للفحص إلّا نقاط تغيّر العبارة.

الصفحة 1/7