مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدالتان الأسية واللوغاريتمية الدالة اللوغاريتمية النيبيرية تعاريف وخواص

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية: تعريف و خواص

🔊 المعلّمة تقرأ لك
عرفنا أنّ الأسّية تحوّل الجمع إلى جداء. لكنّ الحاجة العمليّة معاكسة تماما: في الفيزياء و الكيمياء نريد تحويل جداء ضخم إلى جمع بسيط، و نريد إنزال المجهول من الأسّ الذي حبسناه فيه. فهل توجد دالة تقوم بالعمل المعاكس للأسّية تماما؟

الجواب نعم، و وجودها ليس اصطلاحا بل نتيجة مبرهنة القيم المتوسّطة: الأسّية مستمرّة و متزايدة تماما من 0 إلى +∞، فهي تبلغ كلّ عدد موجب تماما مرّة واحدة بالضبط.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف اللوغاريتم النيبيري لعدد موجب تماما، و تبرير وجوده و وحدانيته
  • استعمال المكافأة الأساسية بين exp و ln في الاتّجاهين
  • تطبيق الخواص الجبرية للوغاريتم على الجداء و حاصل القسمة و القوّة
  • تفسير التناظر بين منحنيَي الدالتين بالنسبة إلى المنصّف الأوّل
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • خواص الدالة الأسّية و اتجاه تغيّرها
  • مبرهنة القيم المتوسّطة

1. اللوغاريتم النيبيري لعدد

مبرهنة و تعريف

من أجل كلّ عدد حقيقي a موجب تماما، يوجد عدد حقيقي وحيد b يحقّق ⁦exp(b) = a⁩. نسمّي هذا العدد اللوغاريتم النيبيري للعدد a و نرمز إليه بـ ln a.

a ∈ ]0 ; +∞[ ⟹ ∃! b ∈ ℝ : exp(b) = a

الوحدانية هي ما يجعل الترميز مشروعا: لو وُجد عددان لَما كان لـ ln a معنى. و التزايد التامّ للأسّية هو الذي يضمنها.

⛔ الشرط ⁦a > 0⁩ ليس تفصيلا: الأسّية موجبة تماما دائما، فلا يوجد أيّ عدد b بحيث ⁦exp(b) = -3⁩. عبارة ⁦ln(-3)⁩ لا معنى لها، و ⁦ln(0)⁩ كذلك.

2. تعريف الدالة و المكافأة الأساسية

نسمّي الدالة اللوغاريتمية النيبيرية الدالة المعرّفة على ⁦]0 ; +∞[⁩ التي ترفق بكلّ عدد x من هذا المجال العدد ln x. و العلاقة التي تربطها بالأسّية هي محور الدرس كلّه:

المكافأة الأساسية

هذه العبارة تُقرأ في الاتّجاهين، و هي أداة كلّ التمارين: كلّما رأيت أسّية، يمكنك المرور إلى اللوغاريتم، و العكس.

x ∈ ]0 ; +∞[ ; y ∈ ℝ ⟹ (x = exp(y) ⟺ y = ln x)
التبسيطان

الأوّل من أجل كلّ x موجب تماما، و الثاني من أجل كلّ x حقيقي. لاحظ اختلاف المجالين: ليس تفصيلا، بل هو أثر كون ln غير معرّفة على السالب.

exp(ln x) = x ; ln(exp(x)) = x
القيمتان المرجعيتان

لأنّ ⁦e⁰ = 1⁩ و ⁦e¹ = e⁩. احفظهما: كلّ مقارنة لوغاريتمية تمرّ بإحداهما.

ln 1 = 0 ; ln e = 1

و بلغة الدوال: الدالة ln هي الدالة العكسية للدالة الأسّية. و لهذا أثر بياني فوري:

التناظر البياني

تبديل الإحداثيتين هو بالضبط التناظر بالنسبة إلى المستقيم ذي المعادلة ⁦y = x⁩. إذن منحنيا الدالتين متناظران بالنسبة إلى المنصّف الأوّل، في معلم متعامد و متجانس.

M(a ; b) ∈ (Cexp) ⟺ M'(b ; a) ∈ (Cln)
التناظر بالنسبة إلى المنصّف الأوّل هو الصورة البيانية لكلمة « دالة عكسية ».

3. الخواص الجبرية

خاصية واحدة تُبرهن، و البقيّة تُشتقّ منها في سطر:

الخاصية الأساسية

من أجل a و b موجبين تماما. البرهان: نضع ⁦α = ln(ab)⁩ و ⁦β = ln a + ln b⁩، فيكون ⁦exp(α) = ab⁩ و ⁦exp(β) = exp(ln a) × exp(ln b) = ab⁩. تساوي الأسّيتين يعطي ⁦α = β⁩.

ln(a b) = ln a + ln b
المقلوب و حاصل القسمة

الأولى من ⁦a × (1/a) = 1⁩ و ⁦ln 1 = 0⁩. الثانية بكتابة ⁦a/b⁩ على صيغة جداء a في مقلوب b.

ln(1a) = -ln a ; ln(ab) = ln a - ln b
القوّة

من أجل كلّ عدد صحيح نسبي n. تُبرهن بالتراجع من أجل n موجب، ثمّ يُردّ إليها الحالة السالبة بالمقلوب.

ln(an) = n ln a
الجذر

لأنّ a هو مربّع جذره: ⁦ln a = ln[(√a)²] = 2 ln(√a)⁩، ثمّ نقسم على 2.

ln(√a) = (12) ln a
⛔ الخطأ الأشهر في كلّ الباكالوريات: ⁦ln(a + b)⁩ لا يساوي ⁦ln a + ln b⁩. اللوغاريتم يحوّل الجداء إلى جمع، لا الجمع إلى جمع. لا توجد أيّ صيغة لِـ ln لمجموع.
مثال 1: تبسيط بالخواص

نعتبر العدد ln 12.

🎯المطلوب: اكتب العدد ln 12 بدلالة ln 2 و ln 3.

🔹الخطوة 1: تفكيك الأوّل

نحلّل 12 إلى جداء ثمّ نطبّق خاصية الجداء.

ln 12=ln(4 × 3)=ln 4 + ln 3
🔹الخطوة 2: القوّة

و 4 هو 2 مربّعا، فنطبّق خاصية القوّة.

ln 4=ln(2²)=2 ln 2
✅النّتيجة

نجمع ما حصلنا عليه.

ln 12 = 2 ln 2 + ln 3
ابدأ دائما بتفكيك العدد إلى عوامل أوّليّة: ⁦12 = 2² × 3⁩. الخواص الثلاث تكفي بعد ذلك، و لا حاجة لأيّ حاسبة.
مثال 2: مجموع لوغاريتمات

نعتبر العدد ⁦A = ln 5 + ln 20⁩.

🎯المطلوب: بسّط العدد A ثمّ أكتبه بدلالة ln 10.

🔹الخطوة 1: التجميع

خاصية الجداء تُقرأ من اليمين إلى اليسار أيضا.

ln 5 + ln 20 = ln(5 × 20)
🔹الخطوة 2: الحساب

نحسب الجداء.

5 × 20 = 100
✅النّتيجة

و 100 هو 10 مربّعا.

ln 5 + ln 20 = 2 ln 10
الخواص تعمل في الاتّجاهين. حين ترى مجموع لوغاريتمين، جرّب الجداء قبل أيّ شيء آخر: الرقم الناتج غالبا قوّة جميلة.
مثال 3: توظيف التبسيطين

نعتبر العددين ⁦ln(e³)⁩ و ⁦exp(ln 7)⁩.

🎯المطلوب: احسب كلّا من هذين العددين دون استعمال الحاسبة.

🔹الخطوة 1: القوّة

نطبّق خاصية القوّة على الأسّ 3.

ln(e³) = 3 ln e
🔹الخطوة 2: القيمة المرجعية

و ln e يساوي 1.

3 ln e = 3
✅النّتيجة

الثاني بالتبسيط المباشر، لأنّ 7 موجب تماما.

exp(ln 7) = 7
التبسيطان ⁦exp(ln x) = x⁩ و ⁦ln(exp(x)) = x⁩ يختصران أحيانا نصف صفحة. ابحث عنهما أوّلا، قبل أن تفكّر في أيّ خاصية أخرى.
سؤال « أكتب بدلالة ln 2 » أو « بسّط العبارة » يُطرح في كلّ موضوع تقريبا، و هو هديّة: لا يتطلّب سوى تفكيك إلى عوامل أوّليّة و ثلاث خواص. اربحه في دقيقتين، و احتفظ بالوقت للدراسة الكاملة التي تأتي بعده.
الخلاصة: ln هي الدالة العكسية للأسّية على ⁦]0 ; +∞[⁩. مكافأة واحدة تربطهما — ⁦x = exp(y)⁩ يكافئ ⁦y = ln x⁩ — و خاصية واحدة تُنتج البقيّة: اللوغاريتم يحوّل الجداء إلى جمع. و بيانيا، المنحنيان متناظران بالنسبة إلى المنصّف الأوّل.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net