التزايد المقارن ودراسة الدوال › قوى عدد حقيقي موجب تماما
دوال القوى و الجذور النونية و توظيف خواصهما
الجواب يأتي من علاقة واحدة تعرفها منذ الباب الماضي. من أجل عدد صحيح نسبي n و عدد موجب تماما a لدينا ln(an) = n ln a، و منه an = exp(n ln a). الطرف الأيمن لا يحتاج أن يكون الأسّ صحيحا: الدالة exp تقبل أيّ عدد حقيقي. فنجعل من هذه العلاقة تعريفا.
- تعريف قوّة عدد موجب تماما بأسّ حقيقي انطلاقا من الدالتين exp و ln
- تطبيق قواعد الحساب السبع على القوى ذات الأسّ الحقيقي
- تعريف الجذر النوني و ربطه بقوّة أسّها مقلوب عدد طبيعي
- اختزال كتابة عدد، و حلّ معادلة أو متراجحة تحتوي أسّا أو جذرا نونيا
- خواص الدالتين الأسّية و اللوغاريتمية النيبيرية
- قواعد القوى ذات الأسّ الصحيح النسبي
1. من الأسّ الصحيح إلى الأسّ الحقيقي
الشرط a > 0 ليس زينة: بدونه ln a غير معرّف، و التعريف كلّه ينهار. تُقرأ العبارة « a أسّ b » أو « a قوّة b ».
لا شيء هنا سوى تطبيق التعريف حرفا بحرف: الحاسبة تحسب أوّلا الجداء داخل exp، ثمّ صورة الناتج بالدالة الأسّية.
و بتثبيت الأساس a و ترك الأسّ متغيّرا نحصل على دالة جديدة، معرّفة على ℝ كلّه:
حالة a = e تعيد الدالة الأسّية النيبيرية نفسها، لأنّ ln e = 1. فهذه العائلة تعميم لما درسته، لا شيئا مغايرا له.
2. قواعد الحساب السبع
القواعد التي تحفظها للأسّ الصحيح تبقى صحيحة حرفيا للأسّ الحقيقي. و برهانها واحد في كلّ مرّة: نعوّض بالتعريف ax = exp(x ln a) ثمّ نستعمل خواص الدالة الأسّية.
الأولى هي التعريف مقلوبا، و هي المفتاح: كلّ مرّة يزعجك أسّ، ضع اللوغاريتم عليه فيهبط الأسّ معاملا. الثلاث الباقية تنقل الجمع و الطرح إلى جداء و قسمة.
من أجل كلّ عددين موجبين تماما a و b. القاعدة الأولى هي أكثرهنّ استعمالا في الاختزال: قوّة قوّة تعني ضرب الأسّين.
3. الجذر النوني
خذ عددا طبيعيا غير معدوم n. الدالة x ↦ xn مستمرة و متزايدة تماما على المجال [0 ; +∞[، و تنطلق من الصفر لتؤول إلى +∞. فهي إذن تأخذ كلّ قيمة موجبة مرّة واحدة و مرّة واحدة فقط — و هذا بالضبط ما يقوله جدول تغيّراتها المقابل:
هذا العدد b الوحيد يُسمّى الجذر النوني للعدد a. البرهان هو مبرهنة القيم المتوسطة مطبّقة على الدالة x ↦ xn، لا أكثر.
الدالة x ↦ n√x معرّفة على [0 ; +∞[ و تُسمّى الدالة الجذر النوني. من أجل n = 2 نجد الجذر التربيعي المألوف.
البرهان في سطر: القوّة المكتوبة على اليمين موجبة، و رفعها إلى القوّة n يعيد العدد a حسب قاعدة قوّة القوّة، و الوحدانية تفرض إذن أن تكون هي الجذر النوني للعدد a. ⟹ كلّ قواعد القوى تنطبق على الجذور من دون استثناء.
الأخير هو الأجمل: نكتب 4 مربّعا للعدد 2، ثمّ نضرب الأسّين — ضِعف الرُبع يساوي النصف — فيصير الجذر الرابع للعدد 4 هو الجذر التربيعي للعدد 2 بالضبط.
نعتبر العدد A، و هو الجذر الرابع للعدد 256، و العدد C، و هو جداء العدد 3 مرفوعا إلى الأسّ ناقص ثلث، في العدد 9 مرفوعا إلى الأسّ ثلثين.
🎯المطلوب: اختزل كتابة كلّ من العددين A و C.
نكتب الأساس قوّة لعدد أوّلي، فتُصبح القاعدة قابلة للتطبيق.
قاعدة قوّة القوّة: نضرب الأسّين.
نبسّط الأسّ ثمّ نحسب.
نعيد الحيلة نفسها على العدد الثاني: 9 = 3².
الأساس صار واحدا، فنجمع الأسّين.
نعتبر العبارات f(x) = (x - 1)√(x - 1) و g(x) = ³√(x² + 2x + 1) و h(x) = (x + 1)/⁴√(x + 1).
🎯المطلوب: اكتب كلّ عبارة من العبارات الثلاث بواسطة أسّ ناطق، على المجال الذي يكون فيه أساسها موجبا تماما.
الجذر التربيعي أسّ نصف، و الأساس واحد في العاملين.
جداء بنفس الأساس: نجمع الأسّين، و 1 + 1/2 = 3/2.
نلاحظ أوّلا أنّ ما تحت الجذر مربّع كامل.
الجذر التكعيبي أسّ ثلث، ثمّ نضرب الأسّين؛ و هذه الكتابة لا تصحّ إلّا إذا كان الأساس x + 1 موجبا تماما.
المقام جذر رابع، أي أسّ رُبع؛ و نقله إلى البسط يعاكس أسّه.
جداء بنفس الأساس: نجمع الأسّين، و 1 - 1/4 = 3/4.
نعتبر المعادلة ³√x = 4 و المتراجحة ⁵√(x + 1) ≤ 2.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة ثمّ المتراجحة في مجموعة الأعداد الحقيقية.
الدالة الجذر التكعيبي معرّفة على [0 ; +∞[، فهذه مجموعة التعريف.
نرفع الطرفين إلى القوّة 3: العملية عكسية للجذر التكعيبي.
ما تحت الجذر يجب أن يكون موجبا.
الدالة x ↦ x⁵ متزايدة تماما، فرفع الطرفين إلى القوّة 5 يحفظ الجهة.
نطرح 1 من الطرفين لنعزل المجهول.
الشرطان معا: شرط التعريف من الخطوة 3 و شرط المتراجحة من الخطوة 5.
نطرح 1 ثمّ نقاطع مع مجموعة التعريف، و نجمع الجوابين.
4. دراسة الدالتين x ↦ ax و x ↦ n√x
اتّجاه تغيّر الدالة الأسّية ذات الأساس a يحكمه الأساس وحده. فمشتقّتها جداء العدد ln a في ax الموجب تماما دائما، و إشارتها إذن إشارة ln a: سالبة إذا كان 0 < a < 1، و موجبة إذا كان a > 1.
نشتقّ exp(x ln a) دالة مركّبة: مشتقّة الداخلية x ln a هي العدد ln a.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ f(x) = (0,5)x.
🎯المطلوب: ادرس اتّجاه تغيّر الدالة f، ثمّ عيّن نهايتيها عند −∞ و عند +∞.
تعريف القوّة ذات الأسّ الحقيقي.
اللوغاريتم النيبيري سالب تماما على ]0 ; 1[.
العامل (0,5)x موجب تماما، و العامل ln 0,5 سالب: الدالة متناقصة تماما على ℝ.
عدد سالب مضروب في x الذي يؤول إلى −∞ يؤول إلى +∞، و exp تؤول إلى +∞ عند +∞.
و exp تؤول إلى 0 عند −∞.
f متناقصة تماما من +∞ إلى 0: هي الحالة 0 < a < 1 بالضبط.
و منحنيا دالتين أسّيتين أساساهما مقلوبان، x ↦ ax و x ↦ (1/a)x، متناظران بالنسبة إلى محور التراتيب، و يتقاطعان في النقطة (0 ; 1): مثلا 2x متزايدة و (1/2)x متناقصة.
النقطة (x ; ax) من المنحنى الأوّل نظيرتها (−x ; ax) على المنحنى الثاني. و عند x = 0 القيمتان 1.
نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ℝ بـ f(x) = 3x و g(x) = (1/3)x.
🎯المطلوب: بيّن أنّ منحنيي f و g متناظران بالنسبة إلى محور التراتيب، ثمّ عيّن نقطة تقاطعهما.
نكتب 1/3 = 3⁻¹، ثمّ قاعدة قوّة القوّة: (−1) × (−x) = x.
النقطة (x ; f(x)) من منحنى f نظيرتها (−x ; f(x)) على منحنى g: المنحنيان متناظران بالنسبة إلى محور التراتيب.
نكتب g(x) = 3⁻x؛ و الدالة x ↦ 3x متزايدة تماما، فلا تأخذ القيمة نفسها مرّتين: الأسّان متساويان.
و الدالة الجذر النوني x ↦ n√x متزايدة تماما على [0 ; +∞[، من 0 إلى +∞: بكتابتها x1/n، مشتقّتها على ]0 ; +∞[ موجبة تماما.
القاعدة (xa)' = a xa⁻¹ تبقى صالحة لأسّ ناطق، و قوّة عدد موجب تماما موجبة تماما.
نعتبر الدالة f المعرّفة على [0 ; +∞[ بـ f(x) = ³√x.
🎯المطلوب: اكتب f(x) بأسّ ناطق، ثمّ ادرس اتّجاه تغيّر الدالة f.
الجذر النوني قوّة أسّها مقلوب n.
القاعدة (xa)' = a xa⁻¹، و 1/3 − 1 = −2/3.
لأنّ x−2/3 = exp((−2/3) ln x)، و exp موجبة تماما.
f متزايدة تماما على ]0 ; +∞[، و من أجل x > 0 لدينا f(x) > 0 = f(0): فالتزايد التامّ يمتدّ إلى [0 ; +∞[.
و يُقارَن جذران على منحنييهما: منحنيا الدالتين x ↦ √x و x ↦ ³√x يمرّان كلاهما بالمبدأ (0 ; 0)، و يتقاطعان في النقطة (1 ; 1)، و بعد هذه النقطة يكون منحنى √x فوق منحنى ³√x: فالجذر التربيعي يبلغ 2 عند x = 4، بينما لا يبلغه الجذر التكعيبي إلّا عند x = 8.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net