المتتاليات العددية
توليد متتالية عددية و التمثيل البياني لمتتالية تراجعية
المتتالية العددية ليست شيئا جديدا: هي دالة، لكنّ مجموعة تعريفها ليست مجالا من الأعداد الحقيقية بل مجموعة الأعداد الطبيعية. و هذا الفرق وحده يغيّر كلّ شيء: لا نتحدّث عن الاستمرار و لا عن المماس، بل عن الحدّ الموالي.
- التمييز بين التوليد بالحدّ العامّ و التوليد بالتراجع
- الانتقال من متتالية تراجعية خطّية إلى حدّها العامّ بمتتالية مساعدة
- بناء حدود متتالية تراجعية على محور الفواصل بالمنحنى و المنصّف
- تخمين اتّجاه التغيّر و التقارب انطلاقا من الرسم، و تمييز التخمين من البرهان
- مفهوم الدالة و صورة عدد بدالة، و التمثيل البياني لدالة
- الحساب في مجموعة الأعداد الحقيقية و القوى
1. تعريف و ترميز
المتتالية العددية الحقيقية u هي دالة ترفق بكلّ عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي n₀ معطى، العدد u(n). نكتب uₙ بدل u(n)، و نسمّي n رتبة الحدّ.
⭐ الترميز بالدليل ليس تزيينا: u(n) يوحي بدالة متّصلة، و uₙ يقول إنّ الرتب معزولة. الكتابتان تصفان الشيء نفسه، لكنّ الثانية تذكّرك بالمجال.
2. التوليد بالحدّ العامّ
التوليد بالحدّ العامّ هو إعطاء uₙ بدلالة n مباشرة، بدستور صريح. عندئذ تحسب أيّ حدّ دون المرور بما قبله.
الحدّ ذو الرتبة 100 يُحسب في سطر واحد: نعوّض n بمائة. لا حاجة إلى الحدود التسعة و التسعين الأولى.
3. التوليد بالتراجع
التوليد بالتراجع هو إعطاء الحدّ الأوّل، ثمّ علاقة تربط كلّ حدّ بالذي يسبقه. عندئذ لا يمكن بلوغ حدّ دون المرور بكلّ ما قبله.
لاحظ الفرق الجوهري: في الحدّ العامّ ندخل الرتبة في الدالة، و في التراجع ندخل الحدّ السابق. f(n) و f(uₙ) ليستا الشيء نفسه إطلاقا.
4. من التراجع إلى الحدّ العامّ
الحالة الأكثر ورودا في الباكالوريا هي المتتالية التراجعية الخطّية التي علاقتها من الصيغة uₙ₊₁ = a·uₙ + b. الطريقة واحدة، و هي دائما نفسها: نبحث عن العدد الذي لا يغيّره التوليد، ثمّ نطرحه.
⭐ هذه هي الحركة كلّها: نطرح العلاقتين طرفا بطرف، فيختفي الثابت b.
بالطرح: u₍ₙ₊₁₎ − α = a uₙ + b − (aα + b) = a(uₙ − α). فالمساعدة هندسية أساسها a، و منها نعود إلى uₙ بإضافة α.
5. التمثيل البياني: أيّ رسم لأيّ توليد؟
لكلّ نمط من التوليد رسمه الخاصّ، و الخلط بينهما هو أوّل خطأ في هذا الدرس. متتالية معرّفة بـ uₙ = f(n) تُمثَّل بـ سحابة النقط ذات الإحداثيّات (n ; uₙ): المحور الأفقي يحمل الرتبة. أمّا المتتالية التراجعية فلا يصلح لها ذلك، لأنّ الحدود تُبنى بعضها من بعض.
النقط معزولة، لا نصلها بخطّ: المتتالية ليست دالة على مجال. صعود السحابة يعني متتالية متزايدة، و استواؤها نحو ارتفاع ثابت يعني التقارب نحوه.
6. بناء حدود متتالية تراجعية بالمنحنى و المنصّف
لمّا تكون المتتالية معرّفة بـ u₍ₙ₊₁₎ = f(uₙ)، نرسم منحنى الدالة f و المستقيم الأوّل المنصّف ذا المعادلة y = x، و نبني الحدود كلّها على محور الفواصل.
- ننطلق من u₀ على محور الفواصل، و نصعد عموديا إلى المنحنى: الارتفاع هو u₁
- ننتقل أفقيا إلى المنصّف: هناك يصير الارتفاع u₁ فاصلة
- نصعد عموديا من جديد إلى المنحنى: الارتفاع هو u₂
- و نكرّر — فتتولّد الحدود من تلقائها، درجة درجة
7. ما يُقرأ على الرسم، و ما لا يُقرأ
- اتّجاه التغيّر: سحابة صاعدة أو درج يصعد ⟸ متزايدة
- التقارب: النقط تستوي نحو ارتفاع ثابت، أو الدرج يقترب من نقطة التقاطع
- النهاية المرشّحة: فاصلة تقاطع المنحنى مع المنصّف — لأنّ الحدّ الذي لا يتغيّر يحقّق f(x) = x بالضبط
⭐ إن تقاربت المتتالية نحو l و كانت f مستمرّة، فبالمرور إلى النهاية في u₍ₙ₊₁₎ = f(uₙ) نجد l = f(l). حلّ هذه المعادلة يعطي المرشّحين، لا أكثر.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بالحدّ العامّ uₙ = (3n+2)/(n+1)، و المتتالية (wₙ) المعرّفة على ℕ بـ w₀ = −5 و w₍ₙ₊₁₎ = √(6 + wₙ).
🎯المطلوب: احسب الحدود الثلاثة الأولى لكلّ متتالية، ثمّ الحدّ ذا الرتبة العاشرة من (uₙ)، و بيّن لماذا لا يمكن فعل الشيء نفسه مع (wₙ).
في الحالة الأولى نعوّض الرتبة مباشرة في الدستور.
و للرتبة العاشرة نعوّض دون المرور بما قبلها.
في الحالة الثانية نبدأ من الحدّ الأوّل المعطى.
ثمّ نطبّق العلاقة حدّا بحدّ.
و نواصل: كلّ حدّ يحتاج الذي قبله.
فبلوغ الرتبة العاشرة هنا يستلزم عشر عمليات، لا واحدة.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بـ u₀ = 2 و u₍ₙ₊₁₎ = (1/3)uₙ + 2.
🎯المطلوب: عيّن متتالية مساعدة هندسية، ثمّ استنتج الحدّ العامّ لـ (uₙ) بدلالة n.
نبحث أوّلا عن النقطة الثابتة: العدد الذي لا يغيّره التوليد.
نضع المتتالية المساعدة بطرح هذه النقطة.
نحسب حدّها الموالي بتعويض علاقة التراجع.
فهي هندسية أساسها الثلث، و حدّها الأوّل هو الفرق عند الرتبة صفر.
نكتب حدّها العامّ بدستور المتتالية الهندسية.
و نعود إلى المتتالية الأصلية بإضافة النقطة الثابتة.
نعتبر المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بـ u₀ = −5 و u₍ₙ₊₁₎ = √(6 + uₙ)، و هي متتالية (wₙ) نفسها التي حسبنا حدودها في المثال الأوّل.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالة المولّدة و نقطتها الثابتة، أنشئ الحدود الأربعة الأولى بيانيا، ثمّ ضع تخمينا حول اتّجاه التغيّر و التقارب.
الدالة المولّدة جذرية، معرّفة و متزايدة على مجال يبدأ من ناقص ستّة.
النقطة الثابتة تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بعد التربيع.
نحتفظ بالجذر الموجب وحده، لأنّ الجذر التربيعي موجب دائما.
نحسب الحدود الأولى.
الدالة متزايدة، فالبناء درج يصعد و لا يتناوب.
فالتخمين: متزايدة، محدودة من الأعلى بثلاثة، و تتقارب نحوها.
نعود إلى مثال المرتّب في مطلع الدرس: المتتالية (uₙ) المعرّفة على ℕ بـ u₀ = 0 و u₍ₙ₊₁₎ = −(1/2)uₙ + 3.
🎯المطلوب: أنشئ الحدود الأربعة الأولى بيانيا، ضع تخمينا حول التقارب، ثمّ برهن عليه.
الدالة المولّدة تآلفية متناقصة، فنرسمها مع المنصّف.
نحسب فاصلة التقاطع بحلّ المعادلة التي تقول إنّ الحدّ لا يتغيّر.
نبني الحدود على محور الفواصل انطلاقا من الصفر.
نلاحظ أنّها تتناوب حول 2: واحدة تحته و التي تليها فوقه.
و المسافة إلى 2 تُقسم على اثنين في كلّ خطوة، لأنّ المعامل ناقص نصف.
فالفرق متتالية هندسية أساسها ناقص نصف، و قيمته المطلقة أصغر من واحد.
الصفحة 1/12
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net