مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

مبدأ الاستدلال بالتراجع

🔊 المعلّمة تقرأ لك
خمّنت أنّ مجموع الأعداد الفردية المتتابعة مربّع تامّ: ⁦1 = 1²⁩، و ⁦1+3 = 2²⁩، و ⁦1+3+5 = 3²⁩. تحقّقت منه إلى غاية الحدّ 87 فصحّ في كلّ مرّة. لكنّ الخاصية تدّعي صحّتها من أجل كلّ عدد طبيعي، و الأعداد الطبيعية لا تنتهي: لا حساب مهما طال يستطيع التحقّق منها كلّها. فكيف نبرهن على خاصية تخصّ عددا لا نهائيا من الحالات؟

الاستدلال بالتراجع هو الأداة التي تحوّل عددا لا نهائيا من عمليات تحقّق إلى برهانين فقط. و هو مسلّمة في بناء الأعداد الطبيعية: لا يُبرهن، بل يُؤسَّس عليه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • صياغة مبدأ الاستدلال بالتراجع في مرحلتين مفصولتين
  • التمييز بين الخاصية الابتدائية و الخاصية الوراثية
  • بيان لماذا لا تكفي الوراثة وحدها، بمثال مضادّ
  • تحرير برهان بالتراجع في شكله الكامل
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • مفهوم المتتالية و الرتبة
  • الحساب الجبري و قابلية القسمة في مجموعة الأعداد الطبيعية

1. المبدأ

لتكن ⁦P(n)⁩ خاصية متعلّقة بعدد طبيعي n، و n₀ عدد طبيعي. للبرهان على صحّة ⁦P(n)⁩ من أجل كلّ عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي n₀، يكفي ما يلي.

  1. المرحلة 1 — الخاصية الابتدائية: نتأكّد من صحّة الخاصية من أجل n₀، أي ⁦P(n₀)⁩
  2. المرحلة 2 — الخاصية الوراثية: نفرض الخاصية صحيحة من أجل عدد طبيعي كيفي n أكبر من أو يساوي n₀ (فرضية التراجع)، و نبرهن أنّها صحيحة من أجل ⁦n+1⁩
مبدأ التراجع

⭐ الوراثة تنقل الصحّة من كلّ رتبة إلى التي تليها، و الخاصية الابتدائية تشعل السلسلة. بدون الأولى لا انتقال، و بدون الثانية لا انطلاق.

[P(n0) ; (∀ n ≥ n0) P(n) ⟹ P(n+1)] ⟹ (∀ n ≥ n0) P(n)
P(n)الخاصية المدروسة، المتعلّقة بالعدد الطبيعي nn0الرتبة التي تبدأ منها الخاصية
الوراثة وحدها لا تُسقط شيئا: لولا الحجر الأوّل لبقيت السلسلة قائمة إلى الأبد، و هي بالضبط حالة الخاصية الوراثية الخاطئة.

و نقول إنّ الخاصية وراثية لمّا تنتقل من العدد الطبيعي n إلى الذي يتبعه ⁦n+1⁩. عند الانتهاء من المرحلتين نقرّ أنّ الخاصية صحيحة من أجل كلّ عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي n₀.

2. لماذا الخاصية الابتدائية ضرورية

قد تكون خاصية وراثية دون أن تكون صحيحة أبدا. المثال الذي يقدّمه المنهاج نفسه قاطع: الخاصية «3 مرفوعا إلى الأسّ n يقبل القسمة على 5».

خاصية وراثية و خاطئة

لأنّ ⁦⁦3n⁺¹ = 3 × 3n⁩⁩: إن قسم 5 العدد الأوّل قسم جداءه في 3. فالوراثة محقّقة تماما. و مع ذلك المرحلة الأولى لا تتحقّق: ⁦3⁰ = 1⁩ لا يقبل القسمة على 5، فالمبدأ لا يُطبَّق. و الخاصية خاطئة فعلا عند كلّ رتبة، لكنّ هذا لا يُستنتج من سقوط المرحلة الأولى.

3n = 5k ⟹ 3n+1 = 3 × 5k = 5(3k)
⛔ سلسلة دومينو لا تسقط إن لم يُسقط أحد أوّلها. الوراثة تقول «إن سقط واحد سقط الذي يليه»؛ هي لا تقول أنّ أحدا سقط. لا تكتب برهانا بالتراجع دون المرحلة 1 — و لا تكتفِ بكتابة «المرحلة 1 محقّقة»: بيّن الحساب.

3. كيف يُحرَّر البرهان

  1. نسمّي الخاصية: « نضع ⁦P(n)⁩ الخاصية … » — بجملة واحدة صريحة
  2. المرحلة 1: نعوّض n بـ n₀ في الطرفين و نتحقّق بالحساب
  3. المرحلة 2: « نفرض ⁦P(n)⁩ صحيحة من أجل n كيفي ≥ n₀ » ثمّ « و نبرهن ⁦P(n+1)⁩ »
  4. نكتب ما نريد بلوغه قبل أن نحسب: هذا ما يوجّه كلّ السطور التالية
  5. نخلص: « حسب مبدأ التراجع، ⁦P(n)⁩ صحيحة من أجل كلّ ⁦n ≥ n₀⁩ »
⭐ الحركة الأساسية دائما واحدة: أظهر في عبارة الرتبة ⁦n+1⁩ عبارة الرتبة n، ثمّ عوّضها بفرضية التراجع. و لهذا نكتب الفرضية في الصيغة الأصلح للتعويض: في قابلية القسمة نكتبها ⁦⁦= k⁩⁩، و في المجموع نتركها كما هي لنضيف إليها الحدّ الموالي.
مثال 1: البرهان الذي فتح الدرس

نعود إلى التخمين الذي فتح هذا الدرس: مجموع الأعداد الفردية المتتابعة الأولى يساوي مربّع عددها.

🎯المطلوب: برهن بالاستدلال بالتراجع على صحّة هذا التخمين من أجل كلّ عدد طبيعي n غير معدوم.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية بجملة صريحة.

P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)=n²
🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة واحد: الطرف الأيسر حدّ واحد، و الأيمن مربّع واحد.

1 = 1²
🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية أكبر من أو تساوي واحدا.

1 + 3 + ... + (2n − 1)=n²
🔹الخطوة 4: الهدف

نكتب ما نريد بلوغه: المجموع نفسه، زائد الحدّ الفردي الموالي.

1 + 3 + ... + (2n − 1) + (2n + 1)=(n + 1)² ?
🔹الخطوة 5: التعويض

نعوّض المجموع الأوّل بفرضية التراجع.

1 + 3 + ... + (2n − 1) + (2n + 1)=n² + (2n + 1)
✅النّتيجة

و نتعرّف على متطابقة شهيرة.

n² + 2n + 1 = (n + 1)²
⭐ لاحظ ما فعله البرهان و ما لم يفعله. لم يكتشف النتيجة: كان يجب تخمينها أوّلا بالحساب على الحالات الأولى. التراجع لا يبحث — هو يضمن أنّ ما خمّنته لا يسقط عند أيّ رتبة، مهما بعدت.
مثال 2: قابلية القسمة

نعتبر الخاصية المتعلّقة بالعدد الطبيعي n: «4 مرفوعا إلى الأسّ n زائد 2 مضاعف للعدد 3».

🎯المطلوب: برهن بالتراجع أنّ هذه الخاصية صحيحة من أجل كلّ عدد طبيعي n.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية.

P(n) : 4n + 2 = 3k
🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة صفر بالحساب، لا بالادّعاء.

4⁰ + 2=1 + 2=3=3 × 1
🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية، و نكتب الفرضية في صيغة صالحة للتعويض.

4n + 2 = 3k ⟹ 4n = 3k − 2
🔹الخطوة 4: الهدف

نكتب ما نريد بلوغه: العبارة عند الرتبة الموالية.

4n+1 + 2 = ?
🔹الخطوة 5: إظهار الفرضية

نُظهر عبارة الرتبة n بإخراج العامل 4.

4n+1 + 2=4n × 4 + 2=(3k − 2) × 4 + 2
🔹الخطوة 6: النشر

ننشر و نجمع.

(3k − 2) × 4 + 2=12k − 8 + 2=12k − 6
✅النّتيجة

و نخرج العامل 3، فتظهر قابلية القسمة.

12k − 6 = 3(4k − 2)
⭐ الخطوة 3 هي المفتاح: كتابة فرضية التراجع في صيغة ⁦⁦4n = 3k − 2⁩⁩ هي التي تجعل التعويض ممكنا في الخطوة 5. من ترك الفرضية في صيغة المجموع لم يجد أين يستعملها.
مثال 3: خاصية وراثية و مع ذلك خاطئة

نعتبر الخاصية «3 مرفوعا إلى الأسّ n يقبل القسمة على 5»، و هي المثال الذي يقدّمه المنهاج نفسه.

🎯المطلوب: أثبت أنّ هذه الخاصية وراثية، ثمّ ادرس المرحلة الأولى و استنتج.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية كما لو كنّا سنبرهن عليها.

P(n) : 3n = 5k
🔹الخطوة 2: فرضية التراجع

نبدأ بالوراثة، و نفرض الخاصية عند رتبة كيفية.

3n = 5k
🔹الخطوة 3: إظهار الفرضية

نكتب عبارة الرتبة الموالية و نُظهر عبارة الرتبة n.

3n+1=3 × 3n=3 × 5k
🔹الخطوة 4: الوراثة ثابتة

فنخرج العامل خمسة: الوراثة محقّقة تماما.

3 × 5k = 5(3k)
🔹الخطوة 5: المرحلة 1

لكنّنا لم نتحقّق بعد من المرحلة الأولى. نحسبها.

3⁰ = 1 ; 1 = 5 × 0 + 1
✅النّتيجة

فالباقي واحد لا صفر: الخاصية الابتدائية خاطئة، فالسلسلة لا تنطلق أصلا و المبدأ لا يعطي شيئا.

3⁰ = 1 ; 3¹ = 3 ; 3² = 9 ; 3³ = 27
⭐ هذا المثال المضادّ هو الدرس كلّه في ستّ خطوات. برهان بالتراجع بلا مرحلة أولى ليس برهانا ناقصا: هو لا برهان. ⚖️ و انتبه إلى ما أثبتناه بالضبط: المرحلة الأولى خاطئة، فالمبدأ لا يُطبَّق — و ليس أنّنا برهنّا أنّ الخاصية خاطئة عند كلّ رتبة. القيم المحسوبة تؤكّد ذلك دون أن تبرهنه؛ البرهان الكامل ينتظر باب القسمة في ℤ، حيث يُقال إنّ 3 و 5 أوّليان فيما بينهما.
مثال 4: مجموع مربّعات الأعداد الطبيعية

نعتبر الخاصية القائلة إنّ مجموع مربّعات الأعداد الطبيعية الأولى، من واحد إلى n، يساوي جداء n في n زائد واحد في اثنين n زائد واحد، مقسوما على ستّة.

🎯المطلوب: برهن بالتراجع على صحّة هذه الخاصية من أجل كلّ عدد طبيعي n غير معدوم.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية.

P(n) : 1² + 2² + ... + n²=n(n + 1)(2n + 1)6
🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة واحد بحساب الطرفين.

1² = 1 ; 1 × 2 × 36 = 66 = 1
🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية غير معدومة.

1² + 2² + ... + n²=n(n + 1)(2n + 1)6
🔹الخطوة 4: الهدف

نكتب ما نريد بلوغه عند الرتبة الموالية.

1² + ... + n² + (n + 1)²=(n + 1)(n + 2)(2n + 3)6 ?
🔹الخطوة 5: التعويض

نعوّض المجموع الأوّل بالفرضية، ثمّ نوحّد المقامات.

n(n + 1)(2n + 1)6 + (n + 1)²=(n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1))6
🔹الخطوة 6: النشر

ننشر ما بين القوسين الداخليّين.

n(2n + 1) + 6(n + 1)=2n² + n + 6n + 6=2n² + 7n + 6
✅النّتيجة

و نحلّل هذا الثلاثي الحدود إلى جداء عاملين.

2n² + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) ⟹ (n + 1)(n + 2)(2n + 3)6
⭐ إخراج العامل المشترك في الخطوة 5 هو ما يجعل البرهان قصيرا. لو نشرنا كلّ شيء لحصلنا على كثير حدود من الدرجة الثالثة و ضاع الطريق. ⚖️ و تحقّق من التحليل الأخير بحساب سريع: عند ⁦n = 1⁩ الطرفان يساويان 15.
⛔ في الباكالوريا، البرهان بالتراجع يُنقّط على شكله بقدر ما يُنقّط على حسابه: تسمية الخاصية، مرحلة أولى محسوبة لا مُدّعاة، فرضية معلنة صراحة، هدف مكتوب قبل الحساب، و خلاصة. ⛔ و الخطأ القاتل هو استعمال ما نريد إثباته داخل البرهان — اقرأ سطورك و اسأل: هل استعملت ⁦P(n)⁩ أم ⁦P(n+1)⁩ ؟
الخلاصة: الاستدلال بالتراجع يستبدل بعدد لا نهائي من عمليات التحقّق برهانين: خاصية ابتدائية تُشعل السلسلة، و خاصية وراثية تنقلها من رتبة إلى التي تليها. الوراثة وحدها لا تكفي — «3n يقبل القسمة على 5» وراثية و خاطئة عند كلّ رتبة. و التراجع لا يكتشف: هو يضمن ما خمّنته.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net