الأعداد والحساب › المواقات في Z
الموافقات في ℤ: تعاريف و خواص
الطريق يمرّ كلّه عبر الباقي. سنبني أداة واحدة تقول: «هذان العددان يتركان نفس الباقي في القسمة على العدد نفسه»، ثمّ سنبرهن أنّ هذه الأداة تُجمع و تُضرب و تُرفع إلى قوّة كما تفعل المساواة تماما. و عندئذ يصير العدد الضخم قابلا للاستبدال بباقيه الصغير، و يكفي أن نلاحظ أنّ بواقي القوى تدور لنقرأ الجواب مباشرة.
- تعريف الترديدة بين عددين صحيحين، و التنقّل بين قراءتها بالباقي و قراءتها بالمضاعف
- البرهان على الخواص الثماني للترديدات، و تسمية الخاصية المستعملة في كلّ سطر
- تعيين باقي قسمة عدد سالب على عدد طبيعي دون إنجاز القسمة
- حلّ ترديدة ذات مجهول بدراسة كلّ البواقي الممكنة
- استعمال دورية بواقي القوى لتعيين باقي قوّة أسّها كبير جدّا
- القسمة الإقليدية في ℤ، و حصر الباقي بين الصفر و القاسم
- قابلية القسمة في ℤ، و خاصّة التركيب الخطّي لمضاعفين
- البرهان بالتراجع على عدد طبيعي
- المتتاليات الحسابية و عبارة حدّها العامّ
1. تعريف الترديدة و ترميزها
نأخذ عددا طبيعيا غير معدوم و نسمّيه الترديد. عددان صحيحان يكونان متوافقين بترديد هذا العدد إذا كان لهما نفس الباقي في القسمة عليه. هذا كلّ التعريف، و هو مبنيّ على القسمة الإقليدية وحدها.
نقرأ هذه الكتابة: العدد الأوّل يوافق العدد الثاني بترديد العدد الموضوع بين القوسين المعقوفين. و العلامة ذات الشُّرَط الثلاث تُقرأ «يوافق»، لا «يساوي».
لاحظ الفرق مع المساواة منذ البداية: العددان 27 و 92 مختلفان تماما، و مع ذلك يتوافقان بترديد 5، لأنّ كلّا منهما يترك الباقي 2 في القسمة على 5. الترديدة تقارن البواقي، لا الأعداد.
و هذه هي أمثلة الدرس، مع الفرق الذي يثبت كلّ واحدة منها.
| الترديدة | الفرق بين الطرفين | الفرق مضاعف للترديد |
|---|---|---|
| 27 ≡ 92 [5] | 92 − 27 = 65 | 65 = 5 × 13 |
| 12 ≡ 34 [11] | 34 − 12 = 22 | 22 = 11 × 2 |
| 24 ≡ 3 [7] | 24 − 3 = 21 | 21 = 7 × 3 |
| −20 ≡ 1 [7] | 1 − (−20) = 21 | 21 = 7 × 3 |
| −59 ≡ −3 [8] | −3 − (−59) = 56 | 56 = 8 × 7 |
و هناك ملاحظتان صغيرتان يقولهما الدرس. الأولى أنّ الترديد 1 لا يعطي أيّ خبر.
القسمة على 1 لا تعطي إلّا الباقي صفر، مهما كان العدد. فكلّ الأعداد متوافقة فيما بينها بترديد 1، و لا شيء يتميّز عن شيء.
و الثانية أنّ بعض الكتب تكتب الترديد بين قوسين مستديرين بدل المعقوفين، و المعنى واحد.
2. المبرهنة: قراءة ثانية، و هي التي تُستعمل في البرهان
التعريف يتكلّم عن البواقي، و البواقي تحتاج إلى إنجاز قسمتين. المبرهنة الآتية تستبدل بذلك شرطا واحدا لا قسمة فيه: يكفي أن يكون الفرق بين العددين مضاعفا للترديد.
من اليسار إلى اليمين: نفس الباقي يعطي فرقا مضاعفا. و من اليمين إلى اليسار: فرق مضاعف يعطي نفس الباقي. البرهان يقطع الاتجاهين واحدا بعد الآخر.
الاتجاه الأوّل. نفرض أنّ للعددين نفس الباقي، و نكتب قسمتيهما الإقليديتين.
الباقي حُذف لأنّه هو نفسه في السطرين، و الفرق بين حاصلي القسمة عدد صحيح.
العامل هنا هو الفرق بين حاصلي القسمة، و هو عدد صحيح.
الاتجاه الثاني. نفرض الآن أنّ الفرق مضاعف للترديد، و نبرهن أنّ الباقيين متساويان.
⭐ هنا تُغلق المسألة: العدد الأوّل مكتوب على شكل مضاعف للترديد يُزاد إليه العدد نفسه، و هذا العدد محصور بين الصفر و الترديد. و بوحدانية القسمة الإقليدية، هو الباقي و لا شيء غيره.
3. الخاصية الأولى: كلّ عدد يوافق باقيه
هذه الخاصية هي التي تجعل الأداة نافعة: مهما كان العدد كبيرا، يمكن استبداله في أيّ حساب بباقيه في القسمة على الترديد، و هو عدد صغير محصور بين الصفر و الترديد.
الترديد هنا أكبر من أو يساوي 2، لأنّ الترديد 1 لا يميّز شيئا.
الفرق مضاعف للترديد، و بالمبرهنة السابقة هذا هو معنى الترديدة بالضبط.
4. الخواص من 2 إلى 8: الترديدة تُجمع و تُضرب و تُرفع إلى قوّة
سبع خواص، و كلّها تُبرهن بنفس الحركة: نترجم كلّ ترديدة إلى فرق مضاعف، نحسب على الفروق، ثمّ نعود إلى لغة الترديدات. تعلّم أرقامها، فالبكالوريا تطلب أن تسمّي في كلّ سطر الخاصية التي استعملتها.
الخاصية 2: الانعكاسية
العدد و نفسه لهما بداهةً نفس الباقي، و الصفر مضاعف لكلّ عدد.
الخاصية 3: التماثل
مقابل عدد صحيح عدد صحيح، فالفرق المعكوس مضاعف للترديد هو أيضا.
الخاصية 4: التعدّي
الخاصية 5: جمع ترديدتين
⭐ لاحظ أنّ الطرح مشمول: يكفي أن تطبّق الخاصية على مقابل العدد الثاني.
الخاصية 6: جداء ترديدتين
نضيف الحدّ المتوسّط و نطرحه، فلا يتغيّر شيء، لكنّ العبارة تصير قابلة للتعميل.
الخاصية 7: الضرب في عدد صحيح
نحضّر ترديدة ثانية بالخاصية 2، لأنّنا سنضرب ترديدتين إحداهما في الأخرى.
الخاصية 8: رفع الترديدة إلى قوّة
نبرهن بالتراجع على الأسّ.
هذه هي المعطاة نفسها، فالخاصية صحيحة عند الأسّ الأوّل.
⭐ الطرفان المضروبان مختلفان: قوّة في عدد. فهو جداء ترديدتين، أي الخاصية 6. الخاصية 7 لا تصلح هنا، لأنّها تضرب طرفي ترديدة واحدة في نفس العدد.
الخاصية وراثية ابتداء من الأسّ الأوّل، فهي صحيحة من أجل كلّ أسّ طبيعي غير معدوم.
- 🧮 الخاصية 5 للجمع و الطرح: اجمع الترديدات كما تجمع المساواات.
- ✖️ الخاصية 6 للجداء: اضرب ترديدتين مختلفتين إحداهما في الأخرى.
- 🔢 الخاصية 7 للضرب في عدد صحيح: نفس العامل على الطرفين.
- 🔺 الخاصية 8 للأسّ: ارفع الطرفين إلى نفس القوّة.
- ⛔ و لا خاصية للاختزال: لا تحذف عاملا مشتركا من طرفي ترديدة.
5. طرائق و تمارين محلولة
لدينا الآن الأداة كاملة. نطبّقها على أربع حركات تغطّي الباب: التحقّق من صحّة ترديدة، تعيين باقي عدد سالب، حلّ ترديدة ذات مجهول، و أخيرا قراءة دورية بواقي القوى.
للبرهان على أنّ ترديدة صحيحة، إمّا أن تبيّن أنّ الفرق مضاعف للترديد، و إمّا أن تبيّن أنّ للعددين نفس الباقي. الطريقان صالحان، و الأوّل أقصر غالبا.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الترديدة المعطاة صحيحة، بطريقة الفرق.
🎯المطلوب: بيّن أنّ الترديدة المعطاة خاطئة.
نقسم الفرق على الترديد لنرى إن كان مضاعفا له.
🎯المطلوب: تحقّق من صحّة الترديدة المعطاة، و انتبه إلى إشارة الطرف الثاني.
طرح عدد سالب هو إضافة مقابله؛ هذه هي الخطوة الوحيدة التي يُخطئ فيها التلاميذ.
🎯المطلوب: أثبت أنّ الترديدة المعطاة صحيحة، دون أن تحسب مربّع العدد.
لا نحسب المربّع مباشرة: نكتب العدد بدلالة الترديد، ثمّ ننشر.
الحدّان الأوّلان مضاعفان للترديد، و الحدّ الأخير ليس كذلك: نستخرج منه ما هو مضاعف.
🎯المطلوب: تحقّق من الترديدة المعطاة بطريقة الباقي، لا بطريقة الفرق.
🎯المطلوب: عيّن باقي كلّ طرف، ثمّ استنتج صحّة الترديدة أو خطأها.
🎯المطلوب: أدرس صحّة الترديدة المعطاة بمقارنة الباقيين.
نأخذ متتالية حسابية معرّفة على مجموعة الأعداد الطبيعية، أساسها عدد طبيعي غير معدوم و يختلف عن الواحد.
🎯المطلوب: أثبت أنّ حدّين كيفيّين من متتالية حسابية متوافقان بترديد أساسها.
طريقة: باقي قسمة عدد سالب
القسمة الإقليدية تفرض باقيا موجبا. فإذا كان العدد سالبا، نشتغل على مقابله الموجب ثمّ نعود، و الخطوات الثلاث الآتية هي كلّ الطريقة.
- نحسب باقي قسمة مقابل العدد على الترديد.
- نضرب طرفي الترديدة المحصّل عليها في العدد سالب واحد، بالخاصية 7.
- نضيف الترديد إلى الطرف الثاني، بالخاصية 5، حتّى يصير محصورا بين الصفر و الترديد.
🎯المطلوب: عيّن باقي قسمة العدد السالب المعطى على 251.
نبدأ بالمقابل الموجب، لأنّ القسمة عليه مباشرة ممكنة.
العدد سالب 44 يوافق الباقي المطلوب، لكنّه سالب: نضيف إليه الترديد.
طريقة: حلّ ترديدة ذات مجهول
حين يكون المجهول مجموعا إلى عدد، نطرح هذا العدد من الطرفين بالخاصية 5، تماما كما في معادلة عادية. أمّا حين يكون المجهول مضروبا في عدد، فلا يمكن القسمة على هذا العدد — لا خاصية تجيز ذلك — و الطريق الوحيد هو دراسة كلّ البواقي الممكنة، و هي قليلة.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة الأعداد الصحيحة التي تحقّق الترديدة المعطاة.
نطرح 4 من الطرفين، و هذا مجاز بالخاصية 5.
الطرف الثاني سالب، و نريده محصورا بين الصفر و الترديد.
المجهول عدد صحيح، و الترديد 7.
🎯المطلوب: حلّ الترديدة المعطاة بدراسة كلّ البواقي الممكنة.
لا يمكن القسمة على 5. لكنّ باقي المجهول في القسمة على 7 لا يتجاوز سبع قيم، فندرسها كلّها.
| باقي المجهول في القسمة على 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| باقي جدائه في 5 في القسمة على 7 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 4 | 2 |
الحدّ الأوّل مضاعف للترديد لأنّ 35 يساوي 7 في 5، و الحدّ الثاني يوافق 3.
مجموعة الحلول هي مجموعة الأعداد الصحيحة من هذا الشكل، حيث الوسيط عدد صحيح.
طريقة: دورية بواقي القوى
هذه هي الحركة التي فتحنا بها الدرس. المبدأ في سطر واحد: نحسب بواقي القوى المتتابعة حتّى يعود الباقي إلى 1، فنكون قد وجدنا الدور؛ ثمّ نقسم الأسّ المطلوب على الدور، و الباقي وحده هو الذي يقرّر.
🎯المطلوب: عيّن باقي قسمة القوّة المعطاة على 5، دون أن تحسب هذا العدد.
نحسب بواقي القوى الأولى واحدة بعد الأخرى، حتّى يعود الباقي إلى 1.
عاد الباقي إلى 1 عند الأسّ 4: هذا هو الدور. نرفع هذه الترديدة إلى قوّة كيفية.
لكلّ أسّ من الأشكال الأربعة، نضرب ترديدة الدور في ترديدة القوّة الصغيرة الموافقة، و هو جداء ترديدتين، أي الخاصية 6.
لم يبق إلّا أن نعرف في أيّ شكل يقع الأسّ المطلوب: نقسمه على الدور.
الصفحة 1/26
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net