الأعداد والحساب (تابع) › التعداد
الانتقال من نظام أساسه α إلى نظام أساسه β
نعم، و الطريقان صالحان معا. الطريق الأوّل يمرّ بالنظام العشري: ننشر الكتابة الأولى فنحصل على العدد، ثمّ نقسمه قسمات متتابعة على الأساس الثاني. و الطريق الثاني يبقى في الأعداد نفسها: نحلّل قوى الأساس الأوّل إلى قوى الأساس الثاني، فتتحوّل الكتابة أمام أعيننا. و في هذا الدرس نطبّق الطريقين على نفس العدد، ليكون كلّ واحد منهما تحقّقا للآخر.
- الانتقال من أساس إلى آخر بالمرور عبر النظام العشري، خطوة خطوة
- الانتقال مباشرة، بتحليل قوى الأساس الأوّل إلى قوى الأساس الثاني
- اختيار الطريق الأنسب بحسب العلاقة بين الأساسين
- التحقّق من كلّ كتابة: كلّ رقم أصغر تماما من أساسه، و إعادة التركيب تعيد العدد
- نشر عدد طبيعي وفق أساس، و الشرط الذي يخضع له كلّ رقم
- القسمة الإقليدية و القسمات المتتابعة على الأساس
- قوى عدد طبيعي و قواعد حساب الأسّ
1. تذكير في ثلاثة أسطر
كلّ ما نحتاجه هنا مأخوذ من الدرس السابق، و يُلخّص في مساواة واحدة و شرط واحد.
سلسلة المعاملات، من معامل أكبر قوّة إلى الوحدات، هي كتابة العدد في هذا النظام.
⭐ احفظ هذا الشرط جيّدا: هو الذي يحكم على كتابة بأنّها مقبولة أو غير مقبولة، و هو أوّل ما نراقبه في آخر كلّ تمرين.
و العدد الذي سنشتغل عليه في الدرس كلّه واحد، تُعطى كتابته في النظام ذي الأساس ثمانية بالسلسلة: ستّة ثمّ أربعة ثمّ ثلاثة.
2. الطريق الأوّل: المرور عبر النظام العشري
خطوتان، كلّ واحدة منهما حركة معروفة من الدرس السابق. أوّلا ننشر الكتابة المعطاة وفق قوى أساسها، فنحصل على العدد في النظام العشري. ثمّ نقسمه قسمات متتابعة على الأساس الجديد، و نقرأ البواقي معكوسة.
العدد المعطى مكتوب في النظام ذي الأساس ثمانية.
🎯المطلوب: اكتب العدد المعطى في النظام ذي الأساس اثنين، بالمرور عبر النظام العشري.
نتحقّق أوّلا من أنّ كلّ رقم أصغر تماما من ثمانية.
انتهت الخطوة الأولى. نبدأ الآن القسمات المتتابعة على الأساس الجديد.
انعدم الحاصل: الكتابة تمّت. نجمع البواقي بترتيب خروجها.
الباقي الأوّل هو رقم الوحدات، إذن يوضع في آخر السلسلة.
نعيد تركيب السلسلة التسعة فنجد العدد الذي انطلقنا منه: الكتابة صحيحة.
الحدود ذات المعامل المعدوم تسقط، فلا يبقى إلّا خمسة أعداد تُجمع ذهنيا.
3. الطريق الثاني: مباشرة، بتحليل قوى الأساس
الطريق الأوّل صحيح لكنّه لا يستغلّ شيئا: هو يعامل الأساسين كأنّهما غريبان أحدهما عن الآخر. و الحقيقة أنّ ثمانية ليست غريبة عن اثنين، فهي قوّة له. و حين يكون بين الأساسين علاقة من هذا النوع، يمكن أن نحوّل الكتابة دون أن نغادر النشر: نكتب كلّ معامل و كلّ قوّة بدلالة الأساس الجديد، ثمّ نجمع المتشابهات.
هذه المساواة وحدها هي التي تجعل الطريق المباشر ممكنا و قصيرا.
🎯المطلوب: اكتب العدد نفسه في النظام ذي الأساس اثنين، مباشرة و دون المرور بالعشري.
نكتب كلّ معامل بدلالة الأساس الجديد: ستّة جداء، و أربعة قوّة.
ثمّ نحوّل قوى ثمانية إلى قوى اثنين، بما أنّ ثمانية هي مكعّب اثنين.
بقي معامل واحد أكبر من الأساس الجديد، و هو الثلاثة: نفكّكه هو أيضا.
كلّ الحدود صارت قوى لاثنين بمعاملات لا تتجاوز الواحد: نُظهر القوى الغائبة بمعامل معدوم.
🎯المطلوب: اكتب العدد نفسه في النظام ذي الأساس أربعة، مباشرة.
نبحث أوّلا عن العلاقة بين الأساسين، ثمّ نكتب قوى ثمانية بدلالة قوى أربعة.
المعامل ستّة أكبر من الأساس الجديد: نفكّكه ليصير كلّ معامل مقبولا.
4. التحقّق: حارسان لا يُستغنى عنهما
كلّ كتابة في أساس تخضع لمراقبتين قصيرتين. الأولى تُنجز بالنظر وحده، و الثانية بجمع بسيط، و هما معا تمسكان كلّ أخطاء هذا الباب تقريبا.
- 🔢 الحارس الأوّل، بالنظر: كلّ رقم في السلسلة أصغر تماما من الأساس، و رقم أكبر قوّة غير معدوم. رقم يساوي الأساس أو يفوقه معناه أنّ الكتابة خاطئة، مهما بدت مقنعة.
- 🧮 الحارس الثاني، بالحساب: نعيد تركيب السلسلة بقوى الأساس، فيجب أن نجد العدد الذي انطلقنا منه. إن لم نجده فالخطأ فوق، في قسمة أو في ترتيب.
العدد المعطى هو العدد نفسه الذي اشتغلنا عليه، مكتوبا في النظام العشري.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الكتابتين المحصّل عليهما تمثّلان العدد المعطى نفسه.
نبدأ بالكتابة في الأساس أربعة: نراقب أرقامها ثمّ نعيد تركيبها.
ننتقل إلى الكتابة الثنائية، و نجمع القوى ذات المعامل الواحد فقط.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net