الإحصاء والاحتمالات
العد: المبدأ الأساسي، القوائم، الترتيبات و التبديلات
في حالة تساوي الاحتمال رأينا أنّ الاحتمال نسبة عددين. هذا الدرس هو الآلة التي تحسب هذين العددين. و هو يقوم كلّه على مبدأ واحد، بسيط إلى حدّ الغرابة.
- توظيف المبدأ الأساسي للعدّ في وضعية متعدّدة المراحل
- التمييز بين قائمة و ترتيبة و تبديلة بثلاثة أسئلة
- حساب عدد القوائم و الترتيبات و التبديلات بالدساتير
- ترجمة وضعية ملموسة إلى أحد النماذج الثلاثة
- مفهوم المجموعة المنتهية و عدد عناصرها
- الجداء و الأسّ في مجموعة الأعداد الطبيعية
1. المبدأ الأساسي للعدّ
إذا تمّت وضعية على مرحلتين، للأولى منهما m إمكانية، و لكلّ إمكانية منها n إمكانية للمرحلة الثانية، فعدد الإمكانيات الكلّي هو جداؤهما. و يمتدّ المبدأ إلى أيّ عدد من المراحل.
لأنّ كلّ إمكانية من المرحلة الأولى تفتح كامل إمكانيات الثانية، فتتكرّر الثانية بعدد إمكانيات الأولى. نضرب، لا نجمع — و هذا هو الخطأ الأوّل للمبتدئ.
2. القوائم
لتكن E مجموعة منتهية ذات n عنصرا، و p عددا طبيعيا غير معدوم. القائمة ذات p عنصرا من E هي متتالية مرتّبة من p عنصرا من عناصر E، مع إمكان التكرار.
لكلّ موضع من المواضع p الإمكانيات n نفسها، لأنّ التكرار مسموح. فبالمبدأ الأساسي نضرب n في نفسها p مرّة.
3. الترتيبات
إذا اشترطنا أن تكون عناصر القائمة متمايزة مثنى مثنى سمّيناها ترتيبة. عندئذ لا يمكن أن يتجاوز طولها عدد عناصر المجموعة، أي أنّ p محصور بين 1 و n.
للموضع الأوّل n إمكانية، و للثاني n−1 لأنّ عنصرا استُهلك، و هكذا. الموضع الأخير رتبته p فقد سبقه p−1 عنصرا، و بقي له n−(p−1) أي n−p+1. الجداء يحوي p عاملا بالضبط، و هذا هو أضبط تحقّق من الدستور.
نضرب الجداء في العوامل الناقصة و نقسم عليها: الأعلى n! و الأسفل ما تحت العامل الأخير. صيغة أنفع للبرهان، و الأولى أنفع للحساب.
4. التبديلات
التبديلة حالة خاصّة: ترتيبة تستعمل كلّ عناصر المجموعة، أي p تساوي n. عددها إذن جداء الأعداد من n إلى 1، و يرمز له بـ n! و يُقرأ «عاملي n».
ترتيب n شخصا في صفّ: للأوّل n مكانا، للثاني n−1، حتّى الأخير الذي له مكان واحد. و نصطلح على أنّ 0! = 1، ليبقى دستور الترتيبات صحيحا لمّا تكون p تساوي n.
نعتبر الأرقام 1، 2، 3، 4، 5 في السؤال الأوّل، و الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6 في السؤال الثاني.
🎯المطلوب: احسب عدد الأعداد ذات ثلاثة أرقام التي يمكن تشكيلها في الحالتين: أوّلا من الأرقام الخمسة دون شرط، ثمّ من الأرقام الستّة بأرقام متمايزة مثنى مثنى.
في السؤال الأوّل لا شيء يمنع تكرار رقم، فكلّ عدد قائمة ذات ثلاثة عناصر.
لكلّ موضع من المواضع الثلاثة خمس إمكانيات.
في السؤال الثاني الأرقام متمايزة، فالأمر يتعلّق بترتيبة، و العناصر ستّة هذه المرّة.
نكتب الجداء بثلاثة عوامل تنازلية ابتداء من 6.
فنحسب، و نجمع الجوابين.
نستعمل الأرقام 2، 3، 5، 6، 7، 9، و نشكّل منها أعدادا ذات ثلاثة أرقام متمايزة مثنى مثنى.
🎯المطلوب: احسب عدد هذه الأعداد، ثمّ عدد الأعداد الزوجية منها، و عدد مضاعفات 5، و عدد الأعداد الأصغر من 500.
الأرقام متمايزة، فكلّ عدد ترتيبة ذات ثلاثة عناصر من ستّة.
العدد زوجي إذا كان رقم آحاده 2 أو 6، و هما الرقمان الزوجيان الوحيدان في المجموعة.
بعد تثبيت الآحاد يبقى ترتيب رقمين متمايزين من الخمسة الباقية.
فنضرب بالمبدأ الأساسي.
مضاعفات 5 هي التي رقم آحادها 5، و هي إمكانية واحدة، و الباقي كما سبق.
و الأصغر من 500 هي التي رقم مئاتها 2 أو 3، أي إمكانيتان للمئات.
فنجمع الأجوبة الأربعة.
نعتبر مجموعة E ذات n عنصرا، حيث n عدد طبيعي.
🎯المطلوب: احسب عدد القوائم ذات n عنصرا المشكّلة من العنصرين «نعم» و «لا»، ثمّ استنتج عدد أجزاء المجموعة E.
نعدّ أوّلا القوائم ذات n عنصرا من العنصرين «نعم» و «لا»: لكلّ موضع إمكانيتان.
لنربط هذا بالأجزاء: ليكن A جزءا من مجموعة ذات n عنصرا.
كلّ عنصر من E له وضعان لا ثالث لهما بالنسبة إلى A: ينتمي أو لا ينتمي.
فتحديد الجزء A يكافئ تماما إعطاء قائمة ذات n عنصرا من إجابتين.
و بالتالي عدد الأجزاء هو عدد هذه القوائم نفسه.
نستعمل الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6.
🎯المطلوب: احسب عدد الأعداد التي يمكن تشكيلها منها إذا كانت مكوّنة من ثلاثة أرقام، ثمّ من ثلاثة أرقام مختلفة، ثمّ من ستّة أرقام مختلفة.
في السؤال الأوّل لا شرط على التمايز: كلّ عدد قائمة ذات ثلاثة عناصر من ستّة.
في السؤال الثاني الأرقام متمايزة و عددها ثلاثة من ستّة: ترتيبة.
في السؤال الثالث نستعمل الأرقام الستّة كلّها متمايزة: تبديلة.
نحسب الجداء تدريجيّا: ثلاثون، ثمّ مائة و عشرون، ثمّ ثلاثمائة و ستّون، ثمّ سبعمائة و عشرون.
فالنماذج الثلاثة أعطت ثلاثة أعداد متباعدة من المعطى نفسه.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net