الإحصاء والاحتمالات
حل مسائل في العد باستعمال قوانين التحليل التوفيقي
هذه الحصّة ليست درسا جديدا: هي منهجية. كلّ أدواتها رأيتها، و الجديد هو ترتيب استعمالها و التعرّف على الإشارات التي يخفيها نصّ التمرين.
- ترجمة عبارة من نصّ تمرين إلى النموذج التوفيقي المناسب
- معالجة شرط على موضع واحد بتثبيته ثمّ عدّ ما بقي
- توظيف الحادثة العكسية في مسائل «على الأقلّ»
- عدّ حالات بتصنيفها حتّى لا تُنسى و لا تُكرّر
- دساتير القوائم و الترتيبات و التبديلات
- التوفيقات و خاصّيتا التناظر و باسكال
1. ثلاثة أسئلة، و ثلاثة نماذج
قبل كلّ عدّ، اطرح الأسئلة الثلاثة بهذا الترتيب: هل الترتيب يهمّ؟ هل التكرار مسموح؟ هل نأخذ كلّ العناصر؟ الجواب يعيّن الدستور، و لا شيء غيره.
لكلّ موضع الإمكانيات n نفسها. عبارة المعطى: «على التوالي و بإرجاع».
الجداء يحوي p عاملا بالضبط — و هذا أضبط تحقّق من الدستور. عبارة المعطى: «على التوالي و دون إرجاع».
كلّ جزء ذي p عنصرا يولّد p! ترتيبة، فنقسم لنمحو الترتيب. عبارة المعطى: «في آن واحد».
2. الشرط يُعالج أوّلا
إذا كان الشرط يخصّ موضعا واحدا (رقم الآحاد، رقم المئات، عضو معيّن في اللجنة)، ثبّت هذا الموضع أوّلا، ثمّ عدّ ما بقي بحرّية، ثمّ اضرب بالمبدأ الأساسي.
3. «على الأقلّ» و المتمّمة
النسخة العدّية من دستور الحادثة العكسية. «واحد على الأقلّ» عكسه «و لا واحد»، و هو حالة واحدة دائما — بينما الحساب المباشر يجمع حالات كثيرة.
4. التصنيف قبل السرد
لمّا يتعذّر الدستور و يلزم العدّ باليد، صنّف قبل أن تسرد: حسب موضع، أو حسب عدد، أو حسب أوّل تحقّق. السرد الحرّ ينسى دائما، و لا شيء في الورقة يقول لك إنّك نسيت.
نستعمل الأرقام 2، 3، 5، 6، 7، 9، و نشكّل منها أعدادا ذات ثلاثة أرقام متمايزة مثنى مثنى.
🎯المطلوب: احسب عدد هذه الأعداد، ثمّ عدد الأعداد الزوجية منها، و عدد مضاعفات 5، و عدد الأعداد الأصغر من 500.
الأرقام متمايزة، فكلّ عدد ترتيبة ذات ثلاثة عناصر من ستّة.
العدد زوجي إذا كان رقم آحاده 2 أو 6، و هما الرقمان الزوجيان الوحيدان.
بعد تثبيت الآحاد يبقى ترتيب رقمين متمايزين من الخمسة الباقية.
فنضرب بالمبدأ الأساسي.
مضاعفات 5 هي التي رقم آحادها 5، أي إمكانية واحدة، و الباقي كما سبق.
و الأصغر من 500 هي التي رقم مئاتها 2 أو 3، أي إمكانيتان للمئات.
فنجمع الأجوبة الأربعة.
صندوق فيه خمس كريات سوداء و أربع كريات بيضاء، كلّها متشابهة لا نميّز بينها باللمس. نسحب في آن واحد ثلاث كريات.
🎯المطلوب: احسب عدد السحبات الممكنة، ثمّ عدد السحبات التي تحوي كرية سوداء على الأقلّ، و تحقّق من النتيجة بطريق ثان.
السحب في آن واحد: لا ترتيب. و الكريات تسع في المجموع.
«سوداء واحدة على الأقلّ» عكسه «لا سوداء إطلاقا»، أي ثلاث بيضاوات من الأربع.
فعدد السحبات الملائمة هو الكلّ ناقص العكس.
و لنعدّ الآن، للتحقّق، السحبات حسب عدد السوداوات فيها: من صفر إلى ثلاث.
مجموع الأصناف الأربعة يجب أن يعطي العدد الكلّي.
و مجموع الأصناف الثلاثة الأخيرة هو العدد المطلوب نفسه.
نرمز للذكر بـ G و للأنثى بـ F، فتكون كلّ عائلة ذات خمسة أطفال قائمة ذات خمسة عناصر مثل (F, G, F, G, G).
🎯المطلوب: احسب عدد العائلات ذات خمسة أطفال التي فيها ثلاثة أطفال على الأقلّ متتابعون من الجنس نفسه.
كلّ عائلة قائمة ذات خمسة عناصر من حرفين.
نعدّ أوّلا الحالات ذات ثلاث إناث متتابعات على الأقلّ، مصنّفة حسب موضع أوّل ثلاثي.
الثلاثي في المواضع الثلاثة الأولى: الموضعان الباقيان حرّان، أربع حالات.
الثلاثي في المواضع 2 و 3 و 4، و الموضع الأوّل ذكر حتّى لا نكرّر ما سبق: حالتان.
الثلاثي في المواضع الثلاثة الأخيرة، و الموضع الثاني ذكر لنفس السبب: حالتان.
فمجموع الحالات الأنثوية ثمانية.
و بالتناظر تماما بتبديل الحرفين، للذكور ثمانية أيضا، و الصنفان منفصلان لأنّ خمسة مواضع لا تسع ثلاثيّين متعاكسين.
قسم فيه عشرون تلميذا، من بينهم أحمد. نريد اختيار تلميذين من القسم.
🎯المطلوب: احسب عدد الاختيارات الممكنة a، ثمّ العدد b للاختيارات التي لا تضمّ أحمد، ثمّ العدد c للاختيارات التي تضمّه، و حدّد العلاقة بين الأعداد الثلاثة.
اختيار تلميذين لجنة، أي جزء ذو عنصرين من عشرين.
اللجان التي لا تضمّ أحمد تُختار كلّها من التسعة عشر الباقين.
و اللجان التي تضمّ أحمد: مكانه محجوز، فيبقى اختيار زميل واحد من التسعة عشر.
نجمع العددين و نقارن بالعدد الكلّي.
فالعلاقة محقّقة، و هي علاقة باسكال نفسها بلغة الوضعية.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net