ترميز أولير ⁦e^(iα)⁩: الشكل الأسي و قواعد الحساب

نأخذ الأعداد المركبة التي طويلتها تساوي واحدا: صورها كلها تقع على دائرة مركزها المبدأ و نصف قطرها واحد. مثل هذا العدد لا يتعلق إلا بعمدته، فيمكن اعتباره صورة لتلك الزاوية بدالة.

تكبير الصورة

نرفق بكل عدد حقيقي العدد المركب الذي طويلته واحد و الذي يقبل هذا العدد الحقيقي عمدة له. ثم نحسب صورة مجموع عددين، و نقارنها بجداء صورتيهما.

نطبّق الآن دستوري جمع التجيب و جمع الجيب على الطرف الأيمن، فنجد بالضبط التعبير الذي حصلنا عليه قبل قليل بنشر الجداء.

هذه هي بالضبط الخاصية التي تميز الدالة الأسية: صورة المجموع تساوي جداء الصورتين. من هنا جاءت فكرة استعارة ترميز الأسية لهذه الدالة، و هو ما نسميه ترميز أولير.

الرمز الموجود على اليسار ليس قوة بالمعنى المعتاد، و الأس ليس عددا حقيقيا: إنه اصطلاح كتابة اختير لأن قواعد حسابه هي نفسها قواعد حساب الأسية الحقيقية، لا أكثر و لا أقل.

العدد المركب غير المعدوم ليست طويلته واحدا بالضرورة. لكننا نستطيع دائما كتابته جداء طويلته في عدد طويلته واحد و له العمدة نفسها. فنحصل على كتابة مختصرة تسمى الشكل الأسي.

الانتقال بين الشكل المثلثي و الشكل الأسي لا يتطلب أي حساب: العامل الموضوع أمام القوس يبقى كما هو، و الزاوية تنتقل إلى الأس مضروبة في الوحدة التخيلية. لهذا نحسب دائما الطويلة و العمدة أولا، ثم نختار الكتابة التي يطلبها التمرين.

القواعد الثلاث الآتية هي ترجمة حرفية لخواص العمدة التي رأيناها في الشكل المثلثي: الضرب يجمع الأسّين، و القسمة تطرحهما، و المرافق يعكس إشارة الأس.

أما المرافق فنقرأه على الدائرة: صورة المرافق هي نظيرة الصورة بالنسبة إلى محور الفواصل، و هذا يعني أن الطويلة تبقى كما هي و أن العمدة تصير مقابلها.