الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال الأصلية

تعريف الدالة الأصلية لدالة على مجال و الخواص

🔊 المعلّمة تقرأ لك

اكتشف نيوتن و لايبنز الحساب التفاضلي و التكاملي في القرن السابع عشر، كلّ من جهته، ثمّ تخاصما طويلا حول الأولوية. نيوتن جاء من علم الحركة — عنده المشتقّة « سرعة » و الدالة الأصلية « مسافة » — و لايبنز جاء من الهندسة و من اختيار ترميز مناسب. الفكرة الواحدة، من بابين. فما هي بالضبط هذه « الدالة الأصلية »، و كم واحدة منها لدالة واحدة؟

العملية التي تعرفها تذهب من F إلى مشتقّتها. الدرس يعكس السهم: نعطي f، و نبحث عن دالة مشتقّتها هي f. هذه الدالة تُسمّى دالة أصلية للدالة f.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف دالة أصلية لدالة على مجال و التحقّق من ذلك
ذكر شرط وجود الدوال الأصلية لدالة
إثبات أنّ دالتين أصليتين لنفس الدالة لا تختلفان إلاّ بثابت
قراءة اتّجاه تغيّر دالة أصلية من إشارة الدالة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب مشتقّة دالة، و مشتقّة حاصل قسمة
العلاقة بين إشارة المشتقّة و اتّجاه تغيّر الدالة

1. التعريف

تعريف

نقول عندئذ إنّ F دالة أصلية للدالة f على المجال I. لاحظ أنّ التعريف لا يذكر مجموعة التعريف وحدها بل المجال: هذه التفصيلة ستعود في كلّ خاصية.

F' = f (∀ x ∈ I)

fدالة معرّفة على مجال IFدالة قابلة للاشتقاق على I، مشتقّتها هي f

مثال

إذن F دالة أصلية على ℝ للدالة f المعرّفة بـ ⁦f(x) = 2x - 3⁩. و الدالة G المعرّفة بـ ⁦G(x) = x² - 3x - √2⁩ هي كذلك دالة أصلية للدالة f نفسها، لأنّ مشتقّتها هي f أيضا.

F(x) = x² - 3x + 1 ⟹ F'(x) = 2x - 3

للتحقّق من أنّ F دالة أصلية لـ f على مجال I لا تبحث عن حيلة: تأكّد أنّ F قابلة للاشتقاق على I، اشتقّها، و قارن. هذا كلّ ما يُطلب، و هو ما يُنقّط.

2. مجموعة الدوال الأصلية

المثال أعلاه يشير إلى ما هو أعمّ: للدالة f الواحدة أكثر من دالة أصلية. و السؤال هو: كم واحدة، و كيف نصفها كلّها؟

⚠️شرط الوجود: أن تكون f مستمرّة على المجال

الشرط هو الاستمرارية، لا الاشتقاقية. الخاصية تُقبل دون برهان في هذا المستوى، لكنّها الأساس: بدونها لا نضمن وجود دالة أصلية.

∃ F ; F' = f (∀ x ∈ I)

العائلة كاملة

بمجرّد أن نعرف دالة أصلية واحدة، نعرفهنّ جميعا: يكفي أن نضيف ثابتا. و لا شيء آخر — لا توجد دالة أصلية خارج هذه العائلة.

F' = f ⟹ {x ↦ F(x) + k ; k ∈ ℝ}

✅النتيجة العملية

دالتان أصليتان لنفس الدالة تختلفان بثابت فقط. هذه صيغة تُستعمل مباشرة في التمارين لإثبات أنّ دالتين أصليتان لنفس الدالة، دون حساب أيّ مشتقّة.

F' = G' = f ⟹ F - G = k

و الرسم المقابل يقول الشيء نفسه بالعين: إشارة f تحكم اتّجاه تغيّر F، فحيثما كانت f موجبة صعدت F، و حيثما انعدمت f مغيّرة إشارتها بلغت F قيمة حدّية.

في الأعلى منحنى الدالة f و في الأسفل منحنى دالة أصلية لها: حيث تنعدم f مغيّرة إشارتها تبلغ F قيمة حدّية، و حيث تكون f موجبة تتزايد F. — إشارة f هي التي تحكم اتّجاه تغيّر F: موجبة فتصعد، سالبة فتنزل، معدومة مغيّرة إشارتها فتبلغ قيمة حدّية.

مثال 1: التحقّق من أنّ دالة أصلية لأخرى

نعتبر الدالتين f و F المعرّفتين على ⁦]-1 ; +∞[⁩ بـ ⁦f(x) = -(2x² + 4x)/(x + 1)²⁩ و ⁦F(x) = (x - 1)/(x + 1) - 2x⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة F دالة أصلية للدالة f على المجال ⁦]-1 ; +∞[⁩.

🔹الخطوة 1: الاشتقاقية على المجال

الدالة F ناطقة و معرّفة على المجال كلّه، فهي قابلة للاشتقاق عليه — و هذا شرط لا يُفترض بل يُكتب.

F(x) = (x - 1)/(x + 1) - 2x ; x ∈ ]-1 ; +∞[

🔹الخطوة 2: المشتقّة

نشتقّ حاصل القسمة بالقاعدة المعتادة، ثمّ نطرح مشتقّة الحدّ الثاني.

F'(x)=(x + 1) - (x - 1)(x + 1)² - 2=2(x + 1)² - 2

🔹الخطوة 3: توحيد المقام

نوحّد المقام لجمع الحدّين.

F'(x)=2 - 2(x + 1)²(x + 1)²

🔹الخطوة 4: النشر

ننشر المربّع ثمّ نبسّط البسط.

2 - 2(x² + 2x + 1)=-2x² - 4x

✅النّتيجة

و هذا هو بسط الدالة f بعينه.

F'(x)=-2x² + 4x(x + 1)²=f(x)

لاحظ الترتيب: الاشتقاقية أوّلا، الحساب بعدها. سطر « F ناطقة معرّفة على المجال فهي قابلة للاشتقاق عليه » يُنقّط وحده، و نسيانه يُفقد نقطة حتّى لو كان الحساب صحيحا.

مثال 2: البرهان على أنّ الفرق ثابت

لتكن F و G دالتين أصليتين لنفس الدالة f على مجال I.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة F - G ثابتة على المجال I.

🔹الخطوة 1: المعطى

نفرض أنّ للدالتين المشتقّة نفسها على المجال.

F' = f ; G' = f

🔹الخطوة 2: دالة الفرق

نعتبر دالة الفرق و نشتقّها.

H = F - G ⟹ H' = F' - G' = f - f

🔹الخطوة 3: المشتقّة معدومة

فمشتقّة الفرق معدومة في كلّ نقطة من المجال.

H'(x) = 0 (∀ x ∈ I)

✅النّتيجة

و دالة مشتقّتها معدومة على مجال هي دالة ثابتة عليه.

H = k ⟹ F(x) = G(x) + k

⛔ « على مجال » هي كلّ البرهان. مشتقّة معدومة على اتّحاد مجالين لا تعطي دالة ثابتة: تعطي دالة ثابتة على كلّ مجال، بثابتين قد يختلفان. الفرضية ليست زينة في النصّ.

مثال 3: طريقتان لنفس السؤال

نعتبر الدالتين F و G المعرّفتين على ⁦]2 ; +∞[⁩ بـ ⁦F(x) = (x² - 2x + 3)/(x - 2)⁩ و ⁦G(x) = (2x - 1)/(x - 2) + x⁩.

🎯المطلوب: باستعمال طريقتين مختلفتين بيّن أنّ F و G دالتان أصليتان لنفس الدالة.

🔹الخطوة 1: المشتقّة الأولى

الطريقة الأولى: نشتقّ الدالتين و نقارن المشتقّتين.

F'(x)=x² - 4x + 1(x - 2)²

🔹الخطوة 2: المشتقّة الثانية

و نجد للثانية المشتقّة نفسها حرفا بحرف.

G'(x)=x² - 4x + 1(x - 2)²

🔹الخطوة 3: استنتاج الطريقة الأولى

تساوي المشتقّتين يكفي: دالتان لهما المشتقّة نفسها على مجال هما أصليتان لنفس الدالة، و هي تلك المشتقّة.

F' = G'

🔹الخطوة 4: جمع الكسرين

الطريقة الثانية: نحسب الفرق مباشرة، دون أيّ اشتقاق. نجمع الكسرين ذوي المقام الواحد أوّلا.

F(x) - G(x)=x² - 2x + 3 - 2x + 1x - 2 - x

🔹الخطوة 5: مربّع كامل

نجمع الحدود المتشابهة في البسط، فنتعرّف على مربّع كامل.

x² - 4x + 4 = (x - 2)²

🔹الخطوة 6: التبسيط

المقام غير معدوم على المجال، فنبسّط.

F(x) - G(x) = (x - 2) - x

✅النّتيجة

فيسقط المتغيّر و يبقى ثابت.

F(x) - G(x) = -2

⭐ الطريقة الثانية أقصر بكثير، و تُنسى دائما. كلّما رأيت « بيّن أنّ الدالتين أصليتان لنفس الدالة »، جرّب الفرق قبل الاشتقاق: إن سقط ثابتا فقد انتهيت في سطرين.

هذا الدرس يُختبر في سؤال قصير، غالبا في بداية تمرين طويل: « بيّن أنّ F دالة أصلية لـ f ». ⛔ لا تحاول أبدا إيجاد الدالة الأصلية في هذا السؤال — العمل معكوس: تشتقّ F المعطاة و تقارن. من يبدأ بالبحث يضيّع الوقت و النقاط معا.

الخلاصة: دالة أصلية لـ f هي دالة مشتقّتها f. لكلّ دالة مستمرّة على مجال دوال أصلية، و هنّ جميعا من الصيغة ⁦F(x) + k⁩. فدالتان أصليتان لنفس الدالة لا تختلفان إلاّ بثابت، و هذه الجملة وحدها تحلّ نصف تمارين الفصل.

الصفحة 1/6