تطور جملة ميكانيكية
شعاع الموضع و السرعة و التسارع، و القوانين الثلاثة لنيوتن
- أن تكتب شعاع الموضع لمركز عطالة متحرّك في معلم ديكارتي وتحسب طويلته
- أن تحسب شعاع السرعة المتوسطة وسرعة لحظية انطلاقا من تسجيل
- أن تحسب التسارع، وأن تفصل بين مركّبته المماسية ومركّبته الناظمية
- أن تنصّ على قوانين نيوتن الثلاثة وتطبّق القانون الثاني على جملة بسيطة
- المعلم الديكارتي المتعامد والمتجانس وأشعّة وحدته الثلاثة
- الاشتقاق، ومعنى ميل المماس عند نقطة من منحنى بياني
❓إشكالية: التسجيل يعطينا مواضع، والقوانين تتكلّم عن قوى. وبين الاثنين مقداران وسيطان لا غنى عنهما: السرعة والتسارع. هذا الدرس هو الجسر بين ما نقيسه وما نفسّره.
1. النقطة المادية ومركز العطالة
2. شعاع الموضع
والإحداثيات الثلاث دوال للزمن، وتسمّى المعادلات الزمنية للحركة: هي التي تحدّد موضع مركز العطالة في كلّ لحظة. ومتى عرفناها عرفنا الحركة كلّها، لأنّ كلّ ما بعدها اشتقاق.
3. شعاع السرعة
نشاط 1: من تسجيل المواضع إلى سرعة لحظية
📌التجربة:
- نصوّر حركة المتحرّك بكاميرا تلتقط صورة كلّ مجال زمني ثابت.
- نضع الصور بعضها فوق بعض، فنحصل على سلسلة من النقاط المتعاقبة على المسار.
- نرسم من مبدأ المعلم شعاعا نحو كلّ نقطة من هذه النقاط.
- نصل كلّ نقطتين متجاورتين بشعاع آخر، ونلوّنه بلون مختلف.
- نقيس المسافة بين النقطتين المحيطتين بنقطة معيّنة، ونقسمها على المدّة الفاصلة بينهما.
🔍الملاحظة: الأشعّة الأولى تنطلق كلّها من مبدأ المعلم وتنتهي عند النقاط، أمّا الأشعّة الثانية فتصل بين نقطتين متتاليتين ولا تمرّ بالمبدأ؛ والمسافة بين نقطتين متجاورتين تكبر كلّما تقدّمنا في التسجيل.
- شعاع السرعة اللحظية مماسّ دائما للمسار عند النقطة المعتبرة.
- شعاع السرعة اللحظية موجّه دائما في اتجاه الحركة.
والقراءة البيانية طريق ثالث للحصول على السرعة: إذا كان البيان منحنيا حسبنا ميل المماسّ عند اللحظة المطلوبة، وإذا كان مستقيما اكتفينا بميل المستقيم نفسه لأنّه لا يتغيّر. والعملية نفسها تُعاد مرّة ثانية للانتقال من السرعة إلى التسارع.
4. شعاع التسارع
ويُفصل شعاع التسارع إلى مركّبتين، كلّ واحدة تحكي شيئا مختلفا عن الحركة: الأولى تحكي تغيّر شدّة السرعة، والثانية تحكي تغيّر جهتها.
التسارع المماسي حامله منطبق على حامل شعاع السرعة، وهو يترجم تغيّر شدّة السرعة وحدها: يكون معدوما كلّما كانت شدّة السرعة ثابتة.
أمّا التسارع الناظمي فحامله عمودي على حامل السرعة، وهو يترجم تغيّر جهة السرعة، ويتعلّق بنصف قطر انحناء المسار عند النقطة المدروسة.
| رتبة النقطة | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| اللحظة t (ms) | 0 | 40 | 80 | 120 | 160 |
| الفاصلة x (m) | 0 | 0,020 | 0,048 | 0,084 | 0,128 |
يعطي الجدول أعلاه فواصل متحرّك على مسار مستقيم، مسجّلة على مجالات زمنية متساوية.
🎯المطلوب: احسب السرعتين اللحظيّتين عند اللحظتين المطلوبتين، ثمّ استنتج التسارع
لأنّ السرعة اللحظية عند نقطة تُحسب بالنقطتين المحيطتين بها، والمدّة بينهما ضعف المجال الزمني الواحد
لأنّ الحساب نفسه يُعاد عند اللحظة الرابعة بالنقطتين المحيطتين بها
لأنّ التسارع هو تغيّر السرعة مقسوما على المدّة الفاصلة بين النقطتين اللتين حسبنا عندهما السرعة، لا بين نقطتين متجاورتين
لأنّ المسار مستقيم فالتسارع كلّه مماسي ولا وجود لمركّبة ناظمية، وقيمته موجبة فالحركة متسارعة
نمذجة فواصل التسجيل السابق بدلالة الزمن تعطي عبارة كثير حدود من الدرجة الثانية، بالمتر والثانية.
🎯المطلوب: أوجد عبارة السرعة ثمّ عبارة التسارع بدلالة الزمن، وتحقّق من النتيجة السابقة
لأنّ السرعة هي مشتق الفاصلة بالنسبة إلى الزمن، والاشتقاق ينزل بدرجة كثير الحدود درجة واحدة
لأنّ التسارع بدوره هو مشتق السرعة بالنسبة إلى الزمن
لأنّ الطريقتين يجب أن تعطيا الشيء نفسه، وهذا هو الاختبار الوحيد الذي يثبت أنّ النمذجة صحيحة
لأنّ التسارع خرج عددا لا يتعلّق بالزمن، فالحركة مستقيمة متغيّرة بانتظام
5. القوانين الثلاثة لنيوتن
نعود إلى المتحرّك نفسه، ونعتبر مرجع المخبر عطاليّا خلال مدّة التسجيل، وهي قصيرة جدّا أمام دور دوران الأرض حول نفسها.
🎯المطلوب: احسب شدّة حصيلة القوى الخارجية المطبّقة على المتحرّك
لأنّ القانون الثاني لنيوتن لا يُطبّق إلّا في مرجع عطالي، وقد تحقّقنا من ذلك قبل الكتابة
لأنّ الحركة مستقيمة والتسارع ثابت، فالحصيلة ثابتة الشدّة ومحمولة على المسار نفسه
لأنّ جداء كتلة بالكيلوغرام في تسارع بالمتر على الثانية المربّعة يعطي قوّة بالنيوتن
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net