مفهوم المتتالية الرتيبة: تعيين اتجاه تغيّر متتالية

🔊 المعلّمة تقرأ لك

رصيد حساب بنكي يتغير من شهر إلى شهر. قد يرتفع دائما، وقد ينخفض دائما، وقد يتأرجح صعودا ونزولا. فكيف نحسم في اتجاه التغيّر دون أن نحسب مئة حد؟

الجواب لا يمر بالحساب المطوّل: يكفي أن ندرس إشارة الفرق بين حدين متتابعين. إشارة واحدة ثابتة تحسم المسألة كلها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعيين اتجاه تغيّر متتالية بدراسة إشارة ⁦uₙ₊₁ − uₙ⁩
التمييز بين متتالية رتيبة و متتالية ليست رتيبة
إثبات أن متتالية ليست رتيبة بمثال مضاد واحد

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب الفرق بين حدين متتابعين
دراسة إشارة عبارة من الدرجة الأولى

1. التعاريف

⁦(uₙ)⁩ متزايدة يعني: من أجل كل عدد طبيعي n، ⁦uₙ₊₁ ≥ uₙ⁩.
⁦(uₙ)⁩ متناقصة يعني: من أجل كل عدد طبيعي n، ⁦uₙ₊₁ ≤ uₙ⁩.
⁦(uₙ)⁩ ثابتة يعني: من أجل كل عدد طبيعي n، ⁦uₙ₊₁ = uₙ⁩.
⁦(uₙ)⁩ رتيبة يعني: إمّا متزايدة و إمّا متناقصة.

2. الطريقة

ندرس إشارة الفرق ⁦uₙ₊₁ − uₙ⁩. إذا بقيت الإشارة نفسها من أجل كل n، فالمتتالية رتيبة، ونوعها من إشارة الفرق.

فرق حدين متتابعين

uₙ₊₁ − uₙ

سحابتان من النقط: إحداهما ترتفع عند كلّ رتبة، و الأخرى تقفز تارة فوق و تارة تحت، دون اتّجاه ثابت. — المتتالية ليست منحنى: هي نقاط منفصلة، والرتابة تعني أن الاتجاه لا يتغيّر.

ليست كل متتالية رتيبة. المتتالية ذات الحد العام ⁦uₙ = (−1/2)ⁿ⁩ تتناوب بين موجب وسالب، فهي لا متزايدة ولا متناقصة.

مثال 1: متتالية متزايدة

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر المتتالية المعرّفة بـ ⁦uₙ = 2n + 1⁩.

📌المعطى

uₙ = 2n + 1

🔹الخطوة 1: الفرق

نحسب الفرق ونبسّطه قبل الحكم على إشارته.

uₙ₊₁ − uₙ = 2

✅النّتيجة

uₙ₊₁ − uₙ = 2

فرق ثابت موجب: المتتالية متزايدة تماما، ولا حاجة إلى أي حساب آخر.

مثال 2: متتالية متناقصة

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر المتتالية المعرّفة بـ ⁦uₙ = 5 − 3n⁩.

📌المعطى

uₙ = 5 − 3n

🔹الخطوة 1: الفرق

uₙ₊₁ − uₙ = −3

✅النّتيجة

uₙ₊₁ − uₙ = −3

الفرق سالب ثابت ⟸ متناقصة تماما. الإشارة وحدها كافية، لا قيمة الفرق.

مثال 3: متتالية غير رتيبة

🎯المطلوب: بيّن أنّ المتتالية المعرّفة بـ ⁦uₙ = (−1/2)ⁿ⁩ ليست رتيبة.

📌المعطى

uₙ = (−12)ⁿ

🔹الخطوة 1: الحدود

نحسب حدودا قليلة: الإشارة نفسها تتبدّل.

u₀ = 1 , u₁ = −0,5 , u₂ = 0,25

✅النّتيجة

u₀ > u₁ , u₁ < u₂

يكفي ثلاثة حدود تكسر الاتجاه لتثبت أن المتتالية ليست رتيبة، كما في المثال 3: مقارنتان في اتجاهين متعاكسين تقفلان السؤال.

« ادرس اتجاه تغير المتتالية » سؤال يتكرر كل دورة، و الجواب المقبول هو حساب الفرق ⁦uₙ₊₁ − uₙ⁩ و دراسة إشارته — لا سرد بضعة حدود. و إذا طُلب إثبات أن متتالية ليست رتيبة، مثال مضاد واحد يكفي و يُنقّط كاملا: لا تضيّع الوقت في برهان عام.

الخلاصة: اتجاه التغيّر يُقرأ في إشارة ⁦uₙ₊₁ − uₙ⁩. إشارة موجبة ثابتة ⟸ متزايدة، سالبة ثابتة ⟸ متناقصة، معدومة ⟸ ثابتة. وإذا تبدّلت الإشارة فالمتتالية ليست رتيبة، ويكفي مثال مضاد لإثبات ذلك.

الصفحة 1/5