الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية

استعمال التمثيل البياني لحل معادلات أو متراجحات، و مناقشة معادلة بيانيا

🔊 المعلّمة تقرأ لك

لحلّ المعادلة يكفي أن نرسم مستقيما أفقيا و نعدّ نقط التقاطع. تبدو حيلة، لكنّها أقوى من ذلك: فهي تجيب حتّى حين لا نعرف حلّ المعادلة جبريا. فكيف يحلّ الرسم ما يعجز عنه الحساب أحيانا؟

المبدأ واحد في الحالات الثلاث: حلّ ⁦f(x) = k⁩ هو فاصلة نقطة تقاطع المنحنى مع المستقيم الأفقي ⁦y = k⁩. و المتراجحة ليست إلاّ سؤالا عن الجزء الذي يكون فيه المنحنى فوق ذلك المستقيم أو تحته.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حلّ معادلة من الشكل ⁦f(x) = k⁩ بيانيا
حلّ متراجحة من الشكل ⁦f(x) > k⁩ أو ⁦f(x) < k⁩ بيانيا
مناقشة عدد حلول معادلة بيانيا حسب وسيط

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

قراءة صورة عدد على منحنى
تحليل عبارة من الدرجة الثانية إلى جداء عاملين

1. المعادلة و المتراجحة

⁦f(x) = k⁩: نرسم المستقيم ⁦y = k⁩، و حلول المعادلة هي فواصل نقط التقاطع. عدد الحلول هو عدد هذه النقط.
⁦f(x) > k⁩: نبحث عن قيم x التي يكون عندها المنحنى فوق المستقيم.
⁦f(x) < k⁩: نبحث عن قيم x التي يكون عندها المنحنى تحت المستقيم.

الحلّ البياني يعطي فواصل، لا تراتيب. الخطأ الأكثر شيوعا هو كتابة ترتيبة نقطة التقاطع مكان فاصلتها. اسأل نفسك دائما: المطلوب x أم y؟

2. المناقشة حسب وسيط

حين يكون العدد k متغيّرا و نسمّيه وسيطا، لا نبحث عن الحلول بل عن عددها. نتخيّل المستقيم الأفقي و هو يتحرّك من الأسفل إلى الأعلى، و نلاحظ متى يلمس المنحنى، و متى يقطعه في نقطتين، و متى لا يلمسه أبدا.

القيم الحدّية للدالة هي حدود المناقشة. إذا كانت للدالة قيمة دنيا m، فالمستقيم ⁦y = k⁩ لا يلمس المنحنى أبدا ما دام k أصغر من m، و يلمسه في نقطة واحدة إذا ساواها. لا تناقش قبل أن تقرأ القيم الحدّية في الجدول.

قطع مكافئ مفتوح نحو الأعلى وثلاثة مستقيمات أفقية: الأدنى تحت القمّة فلا يلتقي بالمنحنى، والأوسط يمرّ بالقمّة فيلمسه في نقطة واحدة، والأعلى يقطعه في نقطتين مُعلَّمتين بنقطتين خضراوين. — ارتفاع المستقيم الأفقي وحده يقرّر عدد الحلول: ثلاث وضعيات لا رابعة لها.

مثال 1: حلّ معادلة بيانيا ثمّ جبريا

نعود إلى الدالة و منحناها المرسومين في الدرس السابق، على المجال من ⁦−3⁩ إلى 2.

🎯المطلوب: حلّ المعادلة ⁦f(x) = −2⁩ بيانيا، ثمّ تحقّق من الحلّ جبريا.

📌المعطى

f(x) = x² + x - 2

🔹الخطوة 1: القراءة البيانية

نرسم المستقيم الأفقي ذا المعادلة ⁦y = −2⁩ و نقرأ فواصل التقاطع.

y = -2

🔹الخطوة 2

الآن نتحقّق جبريا: نكتب المعادلة و ننقل كلّ شيء إلى طرف واحد.

x² + x - 2 = -2

🔹الخطوة 3

x² + x = 0

🔹الخطوة 4: التحليل

نحلّل إلى جداء عاملين.

x(x + 1) = 0

🔹الخطوة 5

جداء معدوم: أحد العاملين معدوم.

x = 0 ; x + 1 = 0

✅النّتيجة

x = 0 ; x = -1

الحلّان 0 و ⁦−1⁩ هما بالضبط ما تقرأه العين على المنحنى. حين يتّفق الرسم مع الحساب فأنت واثق مرّتين؛ و حين يختلفان فالخطأ في الحساب غالبا، لا في العين.

مثال 2: حلّ متراجحة بيانيا

🎯المطلوب: حلّ المتراجحة ⁦f(x) > −2⁩ على المجال المعطى.

📌المعطى

نطلب الآن أين يكون المنحنى فوق المستقيم ⁦y = −2⁩، لا أين يلمسه.

f(x) > -2

🔹الخطوة 1

ننقل كلّ شيء إلى طرف واحد كما في المعادلة.

x² + x - 2 > -2

🔹الخطوة 2

x² + x > 0

🔹الخطوة 3: التحليل

نحلّل، ثمّ ندرس إشارة الجداء بجدول.

x(x + 1) > 0

🔹الخطوة 4: الإشارة

الجداء موجب خارج الجذرين، و سالب بينهما. الجذران هما ⁦−1⁩ و 0.

x ∈ ]-∞ ; -1[ ∪ ]0 ; +∞[ ⟹ x(x + 1) > 0

✅النّتيجة

لكنّ الدالة معرّفة على المجال ⁦[−3 ; 2]⁩ فقط، فنقصّ الحلّ عليه.

x ∈ [-3 ; -1[ ∪ ]0 ; 2]

لا تنس أبدا تقاطع الحلّ مع مجال التعريف. متراجحة محلولة على ℝ ثمّ منقولة كما هي إلى مجال محدود هي نصف جواب، و السلّم يعرف ذلك.

مثال 3: مناقشة عدد الحلول حسب وسيط

المطلوب هنا ليس الحلول بل عددها، حسب قيم العدد m.

🎯المطلوب: ناقش، حسب قيم العدد m، عدد حلول المعادلة ⁦f(x) = m⁩.

📌المعطى

نأخذ الدالة التي درسناها في الدرس السابق، و نعرف عنها كلّ ما يلزم.

f(x) = 2x² - 4x - 6

🔹الخطوة 1: القيمة الدنيا

من جدول تغيّراتها: تنزل ثمّ تصعد، و أخفض قيمة تبلغها هي صورة 1.

f(1)=2 - 4 - 6=-8

🔹الخطوة 2: الحالة الأولى

نتخيّل المستقيم ⁦y = m⁩ يتحرّك من الأسفل إلى الأعلى. تحت القيمة الدنيا لا يلتقيان.

m < -8 ⟹ 0

🔹الخطوة 3: الحالة الثانية

عند القيمة الدنيا بالضبط يلمس المستقيم رأس القطع في نقطة واحدة.

m = -8 ⟹ 1

🔹الخطوة 4: الحالة الثالثة

فوقها يقطع المستقيم الفرعين النازل و الصاعد، فنقطتان.

m > -8 ⟹ 2

✅النّتيجة

0 ; 1 ; 2

ثلاث حالات دائما في مناقشة قطع مكافئ: تحت الرأس، عند الرأس، فوق الرأس. اكتبها بهذا الترتيب و لا تدمج اثنتين في سطر: كلّ حالة نقطة في السلّم.

سؤال المناقشة يأتي في آخر التمرين، و كثير من المترشّحين يتركونه ظنّا أنّه صعب. هو أسهل ما في التمرين إذا كان جدول التغيّرات أمامك: القيمة الحدّية تعطي الحدّ، و الحالات الثلاث تُكتب في ثلاثة أسطر.

الخلاصة: حلّ ⁦f(x) = k⁩ بيانيا هو قراءة فواصل تقاطع المنحنى مع المستقيم ⁦y = k⁩، و حلّ متراجحة هو تعيين الجزء الذي يكون فيه المنحنى فوق ذلك المستقيم أو تحته. و مناقشة معادلة حسب وسيط تُقرأ في القيم الحدّية للدالة، لا في الحساب.

الصفحة 1/6