الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الإحصاء والاحتمالات

الإحصاء: محاكاة تجربة عشوائية بسيطة و ملاحظة تطوّر التواترات

🔊 المعلّمة تقرأ لك

نرمي قطعة نقود متوازنة أربع مرات. النظرية تقول إنّ للوجه حظا من بين حظين، فننتظر ظهوره مرّتين. لكن قد نرمي أربع مرّات و لا يظهر الوجه و لو مرّة واحدة. فكيف نثق في حساب لا تؤكّده التجربة القصيرة؟

الجواب ليس في رمية واحدة و لا في أربع: إنّه في العدد. كلّما كرّرنا التجربة أكثر، هدأ التذبذب و استقرّت التواترات حول قيمة ثابتة. هذا الدرس يبني هذه الملاحظة خطوة بخطوة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التمييز بين تجربة عشوائية و تجربة نتيجتها مؤكّدة سلفا
تعيين عيّنة و مقاسها، و حساب تواتر كلّ نتيجة
ملاحظة استقرار التواترات كلّما كبر مقاس العيّنة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب تواتر قيمة في سلسلة إحصائية
التمثيل البياني لتواترات سلسلة

1. ثلاثة تعاريف تؤسّس الدرس

تجربة عشوائية: تجربة لا يمكن أن نجزم بصفة قطعية بنتيجتها قبل إنجازها.
عيّنة مقاسها n: السلسلة الإحصائية المشكّلة من النتائج المتحصّل عليها عند تكرار التجربة نفسها n مرّة و في نفس الظروف.
المحاكاة: أن نختار للتجربة نموذجا و سندا ماديا نحقّقها باستعماله.

انتبه إلى « في نفس الظروف » في تعريف العيّنة: لو غيّرنا حجر النرد في منتصف السلسلة لما كانت عيّنة واحدة، بل عيّنتين لا تُقارنان.

2. التجربة المرجعية و بروتوكول العمل

نعتمد في كلّ الدرس التجربة التالية: كيس فيه أربع قريصات مرقّمة من 1 إلى 4، نسحب قريصة عشوائيا ثمّ نعيدها قبل السحب الموالي. النتائج الممكنة أربع، و لها نفس حظوظ الظهور.

يكرّر كلّ تلميذ التجربة 10 مرّات، فيتحصّل على عيّنة مقاسها 10. ثمّ يجمع الأستاذ نتائج تلميذين معا (عيّنة مقاسها 20)، ثمّ نتائج ثلث القسم (عيّنة مقاسها 100)، ثمّ نتائج القسم كلّه من ثلاثين تلميذا (عيّنة مقاسها 300). العيّنة الواحدة لم تتغيّر طبيعتها، مقاسها فقط كبر.

مثال 1: عيّنة صغيرة مقاسها 10

نفترض أنّ تلميذا كرّر التجربة عشر مرّات و سجّل النتائج بالترتيب.

🎯المطلوب: احسب تكرار كلّ نتيجة ثمّ تواترها في هذه العيّنة.

📌المعطى

نبدأ بالسلسلة الخام كما سجّلها التلميذ، فمنها وحدها نستخرج كلّ ما يلي.

2 ; 4 ; 1 ; 3 ; 4 ; 2 ; 4 ; 1 ; 3 ; 2

🔹الخطوة 1: التكرارات

نعدّ ظهور كلّ نتيجة في السلسلة أعلاه، واحدة واحدة.

n(1) = 2 ; n(2) = 3 ; n(3) = 2 ; n(4) = 3

🔹الخطوة 2: التحقّق

نتحقّق أنّ مجموع التكرارات يساوي مقاس العيّنة، و إلاّ فالعدّ خاطئ.

2 + 3 + 2 + 3=10

🔹الخطوة 3: التواترات

التواتر هو التكرار مقسوما على مقاس العيّنة.

f(1) = 210 = 0,2 ; f(2) = 310 = 0,3 ; f(3) = 210 = 0,2 ; f(4) = 310 = 0,3

✅النّتيجة

0,2 ; 0,3 ; 0,2 ; 0,3

مجموع التواترات يساوي دائما 1: هنا ⁦0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,3 = 1⁩. اجعل منه اختبارك الأوّل قبل أن تواصل.

مثال 2: عيّنة مقاسها 100

نفترض أنّ تجميع نتائج عشرة تلاميذ أعطى التكرارات التالية.

🎯المطلوب: احسب تواتر كلّ نتيجة في عيّنة مقاسها 100.

📌المعطى

نعيد نفس العمل، لكن على مائة نتيجة مجمّعة من ثلث القسم.

n(1) = 22 ; n(2) = 27 ; n(3) = 26 ; n(4) = 25

🔹الخطوة 1: التحقّق

نتحقّق من مقاس العيّنة قبل كلّ شيء.

22 + 27 + 26 + 25=100

🔹الخطوة 2: التواترات

كلّ تكرار مقسوم على 100.

f(1) = 0,22 ; f(2) = 0,27 ; f(3) = 0,26 ; f(4) = 0,25

✅النّتيجة

0,22 ; 0,27 ; 0,26 ; 0,25

مثال 3: أيّ العيّنتين أقرب إلى القيمة النظرية؟

نقارن الآن العيّنتين السابقتين بالقيمة التي تنتظرها النظرية.

🎯المطلوب: قارن بعد كلّ عيّنة عن القيمة النظرية 0,25، ثمّ استنتج.

📌المعطى

النتائج الأربع لها نفس الحظّ، فالقيمة النظرية لكلّ تواتر هي واحد على أربعة.

14 = 0,25

🔹الخطوة 1: عيّنة 10

نقيس بعد كلّ تواتر عن 0,25 في عيّنة العشرة، ثمّ نأخذ الأكبر.

|0,2 - 0,25| = 0,05 ; |0,3 - 0,25| = 0,05

🔹الخطوة 2: أكبر بعد في عيّنة 10

0,05

🔹الخطوة 3: عيّنة 100

نعيد نفس القياس على عيّنة المائة.

|0,22 - 0,25| = 0,03 ; |0,27 - 0,25| = 0,02 ; |0,26 - 0,25| = 0,01 ; |0,25 - 0,25| = 0

🔹الخطوة 4: أكبر بعد في عيّنة 100

0,03

✅النّتيجة

نقارن العددين المحصّل عليهما.

0,03 < 0,05

لا تقل « العيّنة الكبيرة أصحّ »: قل « أقرب ». عيّنة كبيرة قد تبتعد مرّة، لكنّها تبتعد أقلّ و أندر.

استقرار التواترات لا يعني أنّها تتجمّد. لو أعدنا التجربة كلّها من جديد لتغيّرت الأرقام قليلا: هذا هو تذبذب العيّنات. ما يستقرّ هو المجال الذي تتحرّك فيه، و هو يضيق كلّما كبر المقاس.

3. من التواتر إلى الاحتمال

هذه الملاحظة هي الباب الذي ندخل منه إلى الدرس الموالي: القيمة الثابتة التي تقترب منها التواترات كلّما كبرت العيّنة، هي ما سنسمّيه احتمال النتيجة. التواتر يُقاس بعد التجربة، و الاحتمال يُحسب قبلها.

في موضوع البكالوريا، سؤال المحاكاة يأتي غالبا في صيغة « ماذا تلاحظ؟ ». الجواب المنتظر ليس رقما بل جملتين: التكرارات تتغيّر من عيّنة إلى أخرى، و التواترات تستقرّ كلّما كبر مقاس العيّنة. اكتبهما صراحة، فهما نقطتان مستقلّتان في السلّم.

الخلاصة: التجربة العشوائية لا تُتوقّع نتيجتها الواحدة، لكنّها تُتوقّع في الجملة. عيّنة صغيرة تكذب كثيرا، عيّنة كبيرة تكاد لا تكذب. و القيمة التي تشدّ إليها التواترات هي الاحتمال، موضوع الدرس الموالي.

الصفحة 1/7