الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الإحصاء والاحتمالات

مراجعة و تتمات

🔊 المعلّمة تقرأ لك

في حديقة تسلية عجلة كبيرة مقسّمة إلى خمس عشرة منطقة مرقّمة من 1 إلى 15 و ملوّنة. يدفع اللاعب عشرة دنانير، ثمّ يدير المشرف العجلة. فهل هذه اللعبة عادلة، أم أنّ أحد الطرفين يربح دائما؟

هذا الدرس لا يضيف قاعدة جديدة: إنّه يمرّ بالمقطع كلّه في وضعية واحدة، من عدّ المخارج إلى الحكم النهائي. و هو تماما شكل موضوع البكالوريا.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

الربط بين التواتر و الاحتمال في سلسلة واحدة
تعيين قانون احتمال لربح حقيقي في وضعية ملموسة
الحكم على عدالة لعبة انطلاقا من أملها الرياضياتي

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعيين قانون احتمال لتجربة بسيطة
حساب الأمل الرياضياتي لقانون احتمال

1. خيط المقطع في ثلاث جمل

التواتر يُقاس بعد التجربة، و يتذبذب. كلّما كبرت العيّنة هدأ تذبذبه.
الاحتمال يُحسب قبل التجربة، و هو القيمة التي تشدّ إليها التواترات. مجموع احتمالات قانون واحد يساوي 1.
الأمل الرياضياتي يلخّص القانون كلّه في عدد واحد: معدّل النتائج على المدى الطويل.

متى تحيّرت في تمرين، اسأل نفسك: هل السؤال عن شيء قِيس (تواتر) أم عن شيء يُتوقّع (احتمال)؟ هذا السؤال وحده يرتّب نصف الحلّ.

2. الوضعية

العجلة تحمل خمس عشرة منطقة مرقّمة من 1 إلى 15، لكلّ منطقة نفس الحظّ. و ألوانها موزّعة كالآتي: سبع مناطق صفراء، أربع خضراء، اثنتان بنّيتان، و اثنتان زرقاوان. يدفع اللاعب عشرة دنانير ثمّ تُدار العجلة، فيقبض حسب لون المنطقة التي يتوقّف عندها السهم: مائة دينار للأزرق، خمسين للبنّي، عشرة للأخضر، و لا شيء للأصفر. الشكل أسفله يبيّن العجلة.

عجلة الحظّ ذات خمس عشرة منطقة مرقّمة و ملوّنة، مع السهم الذي يحدّد الرقم الفائز. — الحظّ نفسه لكلّ منطقة، لكنّ الربح يتبع اللون: هنا يبدأ حساب الاحتمالات و الأمل الرياضياتي.

مثال 1: احتمالات ثلاث حوادث

A « الرقم الفائز مضاعف لـ 5 » ، B « الرقم الفائز ليس مضاعفا لـ 5 » ، C « الرقم الفائز زوجي و أقلّ من 11 ».

🎯المطلوب: احسب احتمالات الحوادث الثلاث A و B و C.

📌المعطى

مجموعة النتائج الممكنة هي الأرقام من 1 إلى 15، و عددها خمسة عشر.

n(E) = 15

🔹الخطوة 1: الحادثة A

مضاعفات 5 بين 1 و 15 هي 5 و 10 و 15، فنعدّها.

n(A) = 3

🔹الخطوة 2

p(A)=315=15

🔹الخطوة 3: الحادثة B

الحادثة B هي عكس A تماما، فلا داعي لعدّ عناصرها.

p(B)=1 - 15=45

🔹الخطوة 4: الحادثة C

الأعداد الزوجية الأصغر من 11 هي 2 و 4 و 6 و 8 و 10، فنعدّها.

n(C) = 5

✅النّتيجة

p(C)=515=13

متى قرأت « ليس »، فكّر في الحادثة العكسية قبل أن تعدّ. حساب ⁦p(B)⁩ بالعدّ ممكن، لكنّ الاستفادة ممّا سبق أقصر و أقلّ عرضة للخطأ.

مثال 2: قانون احتمال الربح الحقيقي

نسمّي X الربح الحقيقي الذي يجنيه لاعب واحد.

🎯المطلوب: عيّن قيم الربح الحقيقي X ثمّ قانون احتماله.

📌المعطى

الربح الحقيقي هو ما يقبضه اللاعب ناقص العشرة التي دفعها.

x = c - 10

🔹الخطوة 1: قيم الربح

نطبّق ذلك على الألوان الأربعة، من الأصفر إلى الأزرق.

0 - 10 = -10 ; 10 - 10 = 0 ; 50 - 10 = 40 ; 100 - 10 = 90

🔹الخطوة 2: الاحتمالات

احتمال كلّ لون هو عدد مناطقه على خمس عشرة.

715 ; 415 ; 215 ; 215

✅النّتيجة

نتحقّق من المجموع قبل أن نغلق القانون.

715 + 415 + 215 + 215=1515=1

ابدأ دائما بتعيين قيم X قبل احتمالاتها. أكثر الأخطاء شيوعا هو نسيان المبلغ المدفوع، فيصير الربح مائة بدل تسعين.

مثال 3: هل اللعبة عادلة؟

🎯المطلوب: احسب الأمل الرياضياتي للربح الحقيقي ثمّ احكم على عدالة اللعبة.

🔹الخطوة 1: البسط

نضرب كلّ قيمة في احتمالها ثمّ نجمع، و كلّ المقامات هي 15.

(-10) × 7 + 0 × 4 + 40 × 2 + 90 × 2=-70 + 0 + 80 + 180

🔹الخطوة 2

-70 + 80 + 180 = 190

🔹الخطوة 3: الأمل

m=19015=383

🔹الخطوة 4: المقارنة

نقارن الأمل بالصفر، فهو معيار العدالة.

383 > 0

✅النّتيجة

m = 383

الأمل موجب و يقارب 12,67 دينارا: اللعبة ليست عادلة، و هي في صالح اللاعب لا المنظّم. لو أراد المنظّم لعبة عادلة لرفع ثمن المشاركة إلى ما يجعل الأمل معدوما.

لا تقل « اللعبة غير عادلة » و تقف. غير عادلة لمن؟ إشارة الأمل هي التي تجيب: موجب لصالح اللاعب، سالب لصالح المنظّم. جملة بلا اتّجاه لا تُنقّط.

موضوع الاحتمالات في البكالوريا يُبنى دائما على نفس الهيكل: عدّ المخارج، ثمّ احتمالات حوادث بسيطة، ثمّ قانون احتمال لمتغيّر، ثمّ الأمل و الحكم. اشتغل عليه بهذا الترتيب حتّى لو جاءت الأسئلة مبعثرة: كلّ سؤال يمهّد للذي بعده.

الخلاصة: من التواتر المقيس إلى الاحتمال المحسوب، و من قانون الاحتمال إلى الأمل الرياضياتي الذي يلخّصه في عدد واحد. و هذا العدد وحده، بإشارته، يقول من تخدمه اللعبة.

الصفحة 1/6