الرياضيات بين المطلق و النسبي (الكلاسيكية و المعاصرة)

عرفنا أنّ المفاهيم الرياضية تنشأ من مصدر ثنائي، وأنّها ماضية في الإغراق في التجريد. ويترتّب على ذلك سؤال آخر: فهذه الصناعة المجرّدة احتلّت في تاريخ الفكر مكانةً لم يبلغها علم آخر، حتّى صارت النموذج المثالي للفكر الصحيح، ومقياسا يُقاس عليه اليقين في سائر المعارف. فهل هذه المكانة قائمة على يقين مطلق لا يتغيّر ؟ أم أنّ ما جرى في القرن التاسع عشر — يوم ظهرت هندسات جديدة تخالف مسلّمات أوقليدس ولا تتناقض معها — قد غيّر معنى اليقين الرياضي نفسه ؟ وهذا هو سؤال هذا المورد: الرياضيات بين المطلق والنسبي، بين صورتها الكلاسيكية وصورتها المعاصرة.

إذا كان الفضول العلمي عموما يطمح إلى الوقوف على النتائج المتّصفة بالدقّة واليقين، فإنّه سيجد في الرياضيات ما يشفي غليله ؛ لأنّها تمثّل النموذج المثالي للفكر الصحيح، والغاية الواضحة التي تنشدها تطلّعات الفيلسوف والعالِم معا. نقول الفيلسوف، لأنّه يرى فيها الحقيقة الثابتة الأزلية التي لا تتغيّر، والنهاية الضرورية الواضحة التي تفرض نفسها على العقل ؛ ونقول العالِم، لأنّه كان وما يزال يحوك على منوالها، فاستطاع بفضلها أن يحوّل سبل البحث العلمي ونتائجه من الكيف إلى الكمّ، ومن التجريب إلى التجريد — كما هو الحال في الفيزياء الرياضية والكيمياء الرياضية. والمعرفة الرياضية معرفة قطعية يقينية في خطّتها ونتائجها: فهي معرفة بوجودٍ تمّ تجريده فلا يحمل في جوهره أيّة إشارة إلى ماهية أو صفة ؛ وهي تقوم على الالتزام بالمبادئ والأسس، وتتّصف بوفائها المطلق لمبدأ الهوية الصارم. وهذا ما جعلها تتّصف باليقين الذي لا يرقى إليه أيّ شكّ أو احتمال، ما دامت حريصةً على الانسجام مُحجمةً عن التناقض.

غير أنّ الحقائق الرياضية المتّصفة باليقين، عندما تنزل إلى التطبيقات التجريبية، تفقد دقّتها وتقع في «التقريبيات». فالنسبة الثابتة بين محيط الدائرة وقطرها محدّدة تحديدا دقيقا حسب العلاقة المجرّدة بينهما ؛ ولكنّي إذا حاولت تقديرها تقديرا حسابيا وعمليا نزلَت دون الدقّة: فنقول إنّها تساوي 3,14 أو اثنين وعشرين على سبعة ؛ والقسمة الفعلية لاثنين وعشرين على سبعة تعطي أكثر من 3,14 — بدليل أنّ حاصل ضرب 3,14 في سبعة يساوي 21,98 لا اثنين وعشرين ؛ بل إنّ قسمة اثنين وعشرين على سبعة لا تنتهي: 3,142857142857…. ولاحظ موضع الصدع بدقّة: النقص ليس في العلاقة المجرّدة، بل في نزولها إلى المقادير المحسوسة ؛ فالرياضيات تبقى دقيقة في عالمها، وإنّما يفقد التطبيق شيئا من دقّتها.

وفي مجال الهندسة تبيّن أنّه ليس لدينا أيُّ دليل عقلي على أنّ المكان يتمتّع بأبعاد ثلاثة: طولٍ وعمق وعرض. وكانت مصادرة أوقليدس تقول إنّه «من نقطة خارج مستقيم لا يمرّ إلاّ موازٍ واحد» ؛ فجاء من بنى على غيرها.

1. هندسة أوقليدس : تقوم على تصوّر مستوٍ للمكان ؛ فمن نقطة خارج مستقيم لا يمرّ إلاّ موازٍ واحد، ومجموع زوايا المثلّث يساوي قائمتين.
2. هندسة لوباتشفسكي ⁦(1792-1856)⁩ : أعلن عن هندسة خاصّة يكون فيها مجموع زوايا المثلّث أقلّ من قائمتين، معتمدا على مصادرة مؤدّاها أنّه من نقطة خارج مستقيم يمكن أن يمرّ أكثر من موازٍ ؛ ذلك لأنّ المكان الذي يسلّم به مكانٌ مقعّر لا مسطّح.
3. هندسة ريمان ⁦(1826-1866)⁩ : قرّر سنة 1854 أنّ المكان كرويّ ؛ وأنّه تبعا لذلك لا يمرّ من نقطة خارج مستقيم أيُّ موازٍ، وأنّ مجموع زوايا المثلّث يساوي أكثر من قائمتين.

والعجيب أنّ هذه الهندسات كلّها ليست متناقضة، على الرغم من أنّ المسلّمات التي تستند إليها حول المتوازيات ليست واحدة مشتركة ؛ فكلّها إنشاءات متّسقة تخلو من التناقض الداخلي. وبذلك فإنّ الهندسة الكلاسيكية — التي كانت إلى القرن التاسع عشر مأخوذةً كحقيقة مطلقة — تظهر اليوم كحالة خاصّة من حالات الهندسة ؛ وما كان يُعتبر ثابتا أصبح متغيّرا، ولم تعد هندسة أوقليدس توصف بالكمال المطلق، بل غدت واحدةً من عددٍ لا ينتهي من الهندسات الممكنة، لكلّ منها مسلّماتها الخاصّة.

فظهور الهندسات اللاأوقليدية جعل الرياضيين والمناطقة المحدثين يعتبرون أيّ بناء رياضي بمجرّد بناء فرضي استنتاجي: أي يقوم على أسس افتراضية لم يقدّم البرهان أيّ شيء عن صحّتها، وكلّ ما في الأمر وجودُ انسجام وتسلسل منطقي بينها وبين النتائج المترتّبة عليها. وبهذا سقطت فكرة البداهة المتّصفة بالوضوح، لأنّ ما هو واضح عند شخص قد يكون غير ذلك عند آخر، نظرا إلى اختلاف الحدس والتصوّر من هذا إلى ذاك. وهكذا باتت الأبواب في مجال الرياضيات مفتوحةً على حرّية اختيار شتّى المنطلقات والافتراضات.

وممّا يترتّب عن حركة تطوّر العلاقات الداخلية للرياضيات ظهورُ منهج الأكسيوماتيك، القائم على الافتراض والاستنتاج والتأكيد على عدم تناقض النتائج مع المقدّمات المفترضة. فالرياضيون أنفسهم لم تعد تهمّهم فكرة الملاءمة، ولا بساطةُ المبادئ والأوّليات ووضوحها — وقد اعتُبرت بمجرّد مواضعات أو تعاريف مقنعة، وهو ما ذهب إليه الرياضي الفرنسي «هنري بوانكاري» ⁦(1854-1912)⁩ في كتابه «قيمة العلم» ؛ بل حصروا اهتمامهم في رفع كلّ تناقض قد يطرأ بين المنطلقات الافتراضية والنتائج الضرورية المترتّبة عنها. ولاحظ ما تغيّر: لم يعد السؤال «هل هذه المسلَّمة صادقة في ذاتها ؟» — وهو سؤال البداهة — وإنّما صار «هل ينسجم البناء القائم عليها مع نفسه ؟» — وهو سؤال الاتّساق. وهذا التحوّل هو الفرق بين الرياضيات الكلاسيكية والرياضيات المعاصرة.

غير أنّ تعدّد الأنساق الرياضية تعدّدٌ لا يقضي على يقين كلّ واحد منها، ما دمنا ننظر إلى الأوّليات على أنّها متواضَعٌ عليها، وأنّها ليست ضرورية لكلّ بناء ولا نهائية. فقد بيّنت لنا الهندسات اللاأوقليدية أنّه «يمكن وضع غيرها أو حذف بعضها أو إضافة أخرى، ويبقى النسق الاستنباطي قائما» ؛ ولا يسقط بذلك يقينُ هذه ولا تلك. فتنوّع الأنساق يمثّل مغامرةً للفكر في آفاق التجريد والإنشاء، وفي عالم العلاقات المعقولة وغياب كلّ تناقض ؛ واليقين الحاصل في كلّ نسق صحيحٌ صادق، لأنّه ينطبق على الواقع المفترض بحدوده ومسلّماته ونتائجه. ومن هنا فإنّ المعرفة الرياضية لا تكتسي صبغة يقينية مطلقة إلاّ في سياق منطلقاتها ومبادئها وانسجامها معها على صورة نسق منطقي ؛ وهذا يجعل من حقائقها حقائق نسقية، ومن يقينها يقينا تابعا لعقلانية المقدّمات ونتائجها الضرورية — والمقصود بالعقلانية هنا انسجام الفكر مع نفسه. محمد أبو حمدان، من طرق الفكر، الاستنباط، ص 11