أصل المفاهيم الرياضية

تحتلّ الرياضيات في التفكير المنطقي والتفكير العلمي مكانةً لا تُنازَع، ويُعزى ذلك إلى دقّة منهاجها ونتائجها. غير أنّ هذه المكانة نفسها تثير سؤالا سابقا عليها: من أين جاءت ؟ فالصناعة التي تُوصف بأنّها أشدّ المعارف تجريدا لا بدّ أن يكون لها أصل، والخلاف في هذا الأصل ليس خلافا في التاريخ، بل في طبيعة العقل نفسه. فهل معدن المفهوم الرياضي حسّي أم عقلي ؟ وهل حقيقته في العالم الخارجي المتغيّر أم في العالم الذهني المستقرّ ؟ وهل يولد الإنسان خِلْوًا من أدوات إدراك الطبيعة، أم يولد بمُعدّات فطرية وأفكار أوّلية سابقة للتجربة ؟ وقبل الرّدّ على ذلك، لنا في الأمر مدخل.

1. منطلقان متقابلان : فبينما كان البحّار يؤسّس تفكيره انطلاقا ممّا يرى من ظواهر طبيعية وما تثيره في نفسه من إعجاب وتذوّق جمالي، جنح صديقه إلى ما وراء هذه الظواهر، معتبرا أنّ أشكالها الهندسية وما تفرزه من مفاهيم رياضية لا معنى لها إلاّ متى كان العقل يحمل — قبْليا — صورَها التجريدية دون سابق تجربة ولا إدراك حسّي.
2. صفحةٌ بيضاء أم عقلٌ مزوَّد : فالأوّل يعتقد أنّ الإنسان ما هو في حقيقته سوى صفحة بيضاء تنطبع فيها المدركات الخارجية ؛ والثاني يستبعد تأثير العالم الخارجي على العقل، معتقدا أنّ هذا العقل يكون بالولادة مزوَّدا بجملة من المعاني الرياضية والمبادئ المنطقية المجرّدة — كالعلم بالعدد والأشكال الهندسية ومبدأ الهوية.
3. حجّةٌ يقدّمها الحوار نفسه : ولماذا لا يوحي المشهدُ نفسُه للبهيمة بهذه المفاهيم وهي تراه ؟ فالرؤية إذن ليست كافية ؛ لا بدّ ممّن يسمّي الشكل «دائرة» على مقاس ما يحمله.
4. وسؤالٌ ترك معلّقا : فهل معدن المفهوم الرياضي حسّي أم عقلي ؟ ويُفهم من آخر الحوار أنّ العقل الرياضي — بقطع النظر عن مصدر مفاهيمه — انطلق في الأحقاب الأخيرة نحو إنتاج ما شاء من منطلقات، متجاوزا الأطروحة الكلاسيكية القائلة بدور العالم الخارجي.

يرى العقليون — أو المثاليون — أنّه بإمكان الإنسان الوصولُ إلى معرفة جوهرية عمّا يحيط به من أشياء بواسطة الاستدلال العقلي الخالص وبغير لجوء إلى مقدّمات تجريبية ؛ فالعقل بطبيعته يتوفّر على مبادئ وأفكار فطرية سابقة للتجربة الحسّية، تتمتّع بالبداهة والوضوح ؛ وكلّ ما يصدر عنه من أحكام وقضايا ومفاهيم يُعتبر ضروريا وكلّيا ومطلقا. وبذلك فالعلم الإنساني عموما لا يأتي من الخارج إلى العقل، بل ينبع من العقل ذاته ؛ والرياضيات جملةٌ من المفاهيم المجرّدة أنشأها الذهن واستنبطها من مبادئه دون حاجة إلى الرجوع إلى الواقع. ودليلهم على ذلك أنّنا إذا تصفّحنا هذه المعرفة وجدناها تتّصف بـالمطلقية والضرورة والكلّية ؛ وهي مميّزات خالصة موجودة في المعرفة الرياضية، وتتعذّر في غيرها من العلوم التي تُنسب إلى التجربة. فالمكان الهندسي والخطّ المستقيم ومفاهيم العدد واللانهائي والأكبر والأصغر، كلّها معانٍ عقلية مجرّدة لا تدلّ على أنّها نشأت عن طريق الملاحظة الحسّية ولا أنّها نسخة منها.

إنّ المبادئ والمفاهيم الرياضية، مثل جميع معارفنا فيما يرى الحسّيون والتجريبيون أمثال «لوك» و«هيوم» و«مل»، لم ترد على الإنسان من أيّ جهة أخرى غير العالَم الواقعي الحسّي أو التجريبي ؛ فهو المصدر اليقيني للمعرفة ولجميع الأفكار والمبادئ، وكلّ معرفة عقلية صدًى لإدراكاتنا الحسّية عن هذا الواقع. فالتجربة هي التي تخطّ سطورها على العقل الذي هو شبيه بالصفحة البيضاء ؛ وفي هذا يقولون: «لا يوجد شيء في الذهن ما لم يوجد من قبلُ في التجربة». أمّا القضايا الرياضية — وهي من الأفكار المركّبة — فليست سوى تعميمات مصدرها التجربة، ترتدّ عند تحليلها إلى مصدرها الحسّي.

1. دليل الطفل : فالطفل في مقبل عمره يدرك العدد كصفةٍ للأشياء، لا كمعنًى قائم بذاته.
2. دليل الإنسان البدائي : فهو لا يفصل العدد عن المعدود، إذ نراه يستخدم لكلّ نوع من الأشياء مسمّيات خاصّة ؛ وقد استعان عبر التاريخ عند العدّ بالحصى وبالعيدان وبأصابع اليدين والرجلين. فالمفاهيم الرياضية عند الأطفال والبدائيين لا تفارق مجال الإدراك الحسّي، وكأنّها صفةٌ ملابسة للشيء المدرَك.
3. دليل تاريخ العلوم : فالرياضيات قبل أن تصبح علما عقليا قطعت مرحلةً كلّها تجريبية ؛ ويشهد على ذلك أنّ الهندسة — وهي أقرب إلى التجربة — سبقت الحساب والجبر. بل إنّ المفاهيم الأكثر تجريدا أخذت نشأتها بمناسبة مشاكل محسوسة، مثل تكعيب البراميل وألعاب «الصدفة» التي عملت على ظهور حساب الاحتمالات.

إنّ العقل والتجربة مرتبطان متلازمان: فلا وجود لعالَم مثالي للمعاني الرياضية في غياب العالم الخارجي، ولا وجود للأشياء المحسوسة في غياب الوعي الإنساني وبمعزل عن ملكة تجريدية. والحقيقة أنّ المعاني الرياضية لم تنشأ دفعةً واحدة، وأنّ فعل التجريد أوجدته عوامل موضوعية حسّية ومناخٌ ذهني يشترك فيه الإنسان ككائن عاقل. ونظرا إلى أنّ الرياضيات صناعة تجريدية، فإنّ التاريخ يخبرنا بأنّها كانت دائما منصرفةً عن المحسوس، مهتديةً نحو الإغراق في التجريد أكثر فأكثر: فالانتقال حصل من الشيء المحسوس إلى العدد، ومنهما إلى الرمز — كالإشارة الجبرية — للتعبير عن المحسوس وغير المحسوس ؛ فالأعداد كميات مجرّدة، والجبر تجريدٌ لهذا التجريد.