الأعداد الطبيعية والأعداد الناطقة والحساب على الجذور › الحساب على الجذور
حل معادلات من الشكل x²=b مع b عدد حقيقي
- تعريف الجذر التربيعي لعدد موجب وكتابته بالرمز √
- معرفة عدد حلول المعادلة x² = b حسب إشارة العدد b
- حلّ معادلة من الشكل x² = b في كل حالة من الحالات الثلاث
- تحديد إشارة الطرف الثاني قبل الشروع في الحلّ عندما يكون عبارة لا عددا
- حساب مربّع عدد ناطق، وأن مربّع عدد وضدّه واحد
- أن مربّع كل عدد حقيقي موجب أو معدوم، ولا يكون سالبا أبدا
- مقارنة عددين موجبين وترتيبهما
معارف — المعادلة x² = b ومعنى حلّها
المعادلة مساواة تحتوي على عدد مجهول نرمز إليه عادة بالحرف x. وحلّ المعادلة x² = b معناه إيجاد كل الأعداد الحقيقية التي إذا عوّضنا بها المجهول تحقّقت المساواة، أي كل عدد مربّعه يساوي b. وقد تكون هذه الأعداد اثنين، أو واحدا، أو لا يوجد أيّ منها.
ولاحظ أوّلا ملاحظة تحسم كل شيء قبل أي حساب: مربّع أيّ عدد حقيقي موجب أو معدوم، ولا يكون سالبا أبدا، لأن جداء عددين لهما نفس الإشارة موجب. فإشارة الطرف الثاني b هي التي تقرّر عدد الحلول.
معارف — الجذر التربيعي لعدد موجب
إذا كان a عددا موجبا أو معدوما، فهناك عدد موجب واحد لا غير مربّعه a؛ نسمّيه الجذر التربيعي للعدد a ونكتبه √a. فالرمز √a يدلّ إذن على عدد موجب دائما، ومربّعه يعيدنا إلى a.
السطران يُقرآن معا: √a هو العدد الذي مربّعه a، وهو موجب. وبدون شرط الإشارة لكان للرمز معنيان اثنان.
وبما أن عددا وضدّه لهما نفس المربّع، فللعدد الموجب a عددان مربّعهما a لا أكثر: هما √a وضدّه. هذا هو سبب وجود حلّين اثنين، لا حلّ واحد.
معارف — الحالات الثلاث حسب إشارة الطرف الثاني
إشارة العدد b تقسم المسألة إلى ثلاث حالات لا رابع لها، وهي كل ما تحتاجه لتعرف عدد الحلول قبل أن تحسبها.
| إشارة الطرف الثاني b | حلول المعادلة x² = b |
|---|---|
| b > 0 | حلّان مختلفان: √b وضدّه |
| b = 0 | حلّ واحد لا غير: الصفر |
| b < 0 | لا يوجد أي حلّ في مجموعة الأعداد الحقيقية |
جداء عاملين معدوم يعني أن أحدهما معدوم؛ وهنا العاملان متساويان، فالحلّ واحد.
الطرف الأول موجب أو معدوم دائما، والطرف الثاني سالب: لا يمكن أن يتساويا، فالمعادلة بلا حلّ في مجموعة الأعداد الحقيقية.
معارف — عندما يكون الطرف الثاني عبارة لا عددا
قد لا يُعطى الطرف الثاني عددا مكتوبا بصيغة عشرية، بل عبارة مثل 3 − √11. عندئذ لا يمكن اختيار الحالة قبل معرفة إشارة هذه العبارة: نقارنها بالصفر أوّلا، ثم نطبّق إحدى الحالات الثلاث. والمقارنة تتم دون حاسبة، لأن الجذر التربيعي يحفظ الترتيب بين الأعداد الموجبة.
كلّما كبر العدد الموجب كبر جذره التربيعي؛ فمقارنة عددين تكفي لمقارنة جذريهما.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحلّ المعادلة x² = b عندما يكون b موجبا تماما؟
ثلاث خطوات لا رابع لها: نتأكّد من إشارة الطرف الثاني، ثم نكتب الحلّين بالجذر التربيعي، ثم نبسّط الكتابة إذا كان الطرف الثاني مربّعا كاملا.
نعتبر المعادلة ذات المجهول x التي طرفها الثاني هو العدد 49.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة x² = 49 في مجموعة الأعداد الحقيقية.
العدد 49 موجب تماما: نحن في الحالة الأولى، فللمعادلة حلّان مختلفان.
نكتب الحلّين بالرمز √ قبل أي تبسيط، حتى لا ننسى الحلّ السالب.
العدد 49 مربّع كامل لأن 7 × 7 = 49، وجذره التربيعي هو العدد الموجب 7 وحده.
طريقة 2: كيف نكتب الحلّين إذا لم يكن الطرف الثاني مربّعا كاملا؟
لا يتغيّر شيء في الطريقة: الحلّان يبقيان √b وضدّه. الفرق الوحيد أن الجذر لا يُكتب بعدد ناطق، فنتركه على حاله في الجواب، ونعطي قيمة مقرّبة فقط إذا طُلب ذلك.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة x² = 7، ثم أعط قيمة مقرّبة لكل حلّ إلى الجزء من المائة.
العدد 7 موجب تماما: الحالة الأولى مرة أخرى.
نكتب الحلّين مباشرة بالرمز √، وهذه هي الكتابة الدقيقة للجواب.
العدد 7 محصور بين المربّعين الكاملين 4 و 9، فجذره محصور بين 2 و 3: ليس عددا ناطقا.
بالحاسبة نأخذ القيمة المقرّبة إلى الجزء من المائة، وهي قيمة تقريبية لا غير.
طريقة 3: كيف نتصرّف إذا كان الطرف الثاني معدوما أو سالبا؟
هاتان الحالتان لا تحتاجان إلى أي حساب: تكفي قراءة إشارة الطرف الثاني، ثم كتابة الاستنتاج مع تعليله. لكن التعليل واجب، ولا يُقبل جواب بلا سبب.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة x² = 0 في مجموعة الأعداد الحقيقية.
الطرف الثاني معدوم: هذه هي الحالة الثانية من الحالات الثلاث.
المربّع جداء العدد في نفسه، وجداء عاملين يكون معدوما إذا كان أحدهما معدوما.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة x² = −4 في مجموعة الأعداد الحقيقية.
الطرف الثاني سالب تماما: هذه هي الحالة الثالثة.
مربّع أيّ عدد حقيقي موجب أو معدوم، فلا يمكن أن يساوي عددا سالبا مهما كان x.
طريقة 4: كيف نبدأ إذا كان الطرف الثاني عبارة فيها جذر؟
نبدأ بتحديد إشارة العبارة، لا بحلّ المعادلة. ولتحديد الإشارة نقارن العددين تحت الجذر، لأن الجذر يحفظ الترتيب، ثم نستنتج الحالة التي نحن فيها.
نعتبر المعادلة التي طرفها الثاني هو العبارة 3 − √11، وهي عبارة لا نعرف إشارتها بمجرّد النظر.
🎯المطلوب: بيّن أن المعادلة x² = 3 − √11 ليس لها حلّ في مجموعة الأعداد الحقيقية.
نقارن العدد 11 بالمربّع الكامل الذي يليه من الأسفل، وهو 9.
الجذر التربيعي يحفظ الترتيب، وجذر 9 هو 3. وبالحاسبة نجد قيمة مقرّبة للجذر هي 3,317، وهي أكبر من 3 كما توقّعنا؛ غير أن المقارنة السابقة تكفي وحدها.
إذا طرحنا عددا أكبر من 3 من العدد 3 كانت النتيجة سالبة تماما.
Page 1/10
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net