Mathématiques

الأشعة والانسحاب والمعلم المعالم

منتصف قطعة

🔊 La maîtresse lit pour toi

بلديّة تريد أن تضع عمود إنارة في منتصف طريق مستقيم بين تقاطعين، وقد رُقّم التقاطعان على خريطة مزوّدة بمعلم. فهل نحتاج إلى الخروج وقياس الطريق بالشريط، أم يكفي عددان لكلّ تقاطع لنعرف موضع العمود بالضبط؟

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف منتصف قطعة مستقيم وذكر خاصيّته المميّزة
حساب إحداثيي منتصف قطعة بمعرفة إحداثيي طرفيها
التحقّق من أنّ نقطة معلومة هي منتصف قطعة
إيجاد الطرف الثاني لقطعة بمعرفة طرفها الأوّل ومنتصفها
إثبات أنّ رباعيا متوازي أضلاع باستعمال منتصف القطرين

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعيين نقطة في معلم بمعرفة فاصلتها وترتيبها
حساب متوسّط عددين نسبيّين وقسمة عدد على 2
خاصيّة قطري متوازي الأضلاع: يتقاطعان في منتصفيهما

الجواب أنّ عددين لكلّ تقاطع يكفيان: فاصلة المنتصف هي متوسّط الفاصلتين، وترتيبه هو متوسّط الترتيبين. عمليّتا جمع وقسمتان على 2، ولا شيء غير ذلك.

احتفظ بهذه الفكرة طوال الدرس: المنتصف هو « المعدّل ». وكما أنّ معدّل علامتين يقع بينهما، فإنّ إحداثيي المنتصف يقعان بين إحداثيي الطرفين.

معارف — ما هو منتصف قطعة

منتصف قطعة مستقيم هو النقطة التي تنتمي إلى القطعة وتبعد المسافة نفسها عن طرفيها. ولكلّ قطعة منتصف واحد لا غير: فهو النقطة التي تقسمها إلى جزأين متقايسين. وهو كذلك مركز تناظر القطعة، أي النقطة التي ينطبق عندها كلّ طرف على الآخر.

الخاصيّة المميّزة للمنتصف

الشرطان معا ضروريّان: نقطة تبعد المسافة نفسها عن A و B دون أن تكون على القطعة ليست منتصفا لها.

MA = MB

Mمنتصف القطعة، وهو نقطة من القطعة نفسهاAالطرف الأوّل للقطعةBالطرف الثاني للقطعة

معارف — إحداثيا المنتصف

في مستو مزوّد بمعلم، إذا عرفنا إحداثيي طرفي القطعة، حصلنا على إحداثيي منتصفها دون أيّ رسم: فاصلة المنتصف هي نصف مجموع الفاصلتين، وترتيبه هو نصف مجموع الترتيبين. وهذا الدستور صحيح مهما كان وضع القطعة: مائلة أو أفقيّة أو عموديّة.

إحداثيا منتصف القطعة التي طرفاها A و B

xM = xA + xB2 , yM = yA + yB2

xMفاصلة المنتصف MyMترتيب المنتصف MxAفاصلة الطرف الأوّل AxBفاصلة الطرف الثاني ByAترتيب الطرف الأوّل AyBترتيب الطرف الثاني B

لاحظ أنّ العمليّتين مستقلّتان تماما: الفواصل مع الفواصل، والتراتيب مع التراتيب. خلط عدد من سطر بعدد من سطر آخر هو أكثر خطأ يقع فيه التلاميذ في هذا الدرس.

قطعة مستقيم في معلم ومنتصفها، مع إسقاط المنتصف على المحورين — فاصلة المنتصف تقع بين فاصلتي الطرفين، وترتيبه بين ترتيبيهما: هذا ما يعنيه المتوسّط.

لا تنسَ القسمة على 2. كثير من التلاميذ يجمعون الفاصلتين ويتوقّفون، فيحصلون على نقطة بعيدة عن القطعة تماما. اجمع، ثمّ اقسم، ثمّ تحقّق أنّ الجواب يقع بين الطرفين.

معارف — من المنتصف إلى الطرف الثاني

يمكن قراءة الدستور في الاتّجاه المعاكس: إذا عرفنا المنتصف وطرفا واحدا، أوجدنا الطرف الآخر. فمجموع الفاصلتين يساوي ضعف فاصلة المنتصف، ومنه فاصلة الطرف المجهول هي ضعف فاصلة المنتصف ناقص فاصلة الطرف المعلوم، والأمر نفسه للتراتيب.

إحداثيا الطرف الثاني بمعرفة المنتصف والطرف الأوّل

xB = 2 × xM − xA , yB = 2 × yM − yA

معارف — المنتصف المشترك لقطري متوازي الأضلاع

رأيت في درس متوازي الأضلاع أنّ قطريه متناصفان، أي يتقاطعان في نقطة هي منتصف كلّ منهما. وفي المعلم تصير هذه الخاصيّة أداة إثبات: يكفي أن نحسب منتصف كلّ قطر، فإذا وجدنا النقطة نفسها كان الرباعي متوازي أضلاع، وإذا وجدنا نقطتين مختلفتين فلا.

شرط أن يكون الرباعي متوازي أضلاع

القطران هما ⁦[AC]⁩ و ⁦[BD]⁩؛ ولمّا كان للمنتصفين الإحداثيان نفسهما، تساوى مجموع فاصلتي كلّ قطر، ومثله مجموع ترتيبيهما.

xA + xC = xB + xD , yA + yC = yB + yD

xAفاصلة الرأس الأوّلxBفاصلة الرأس الثانيxCفاصلة الرأس الثالثxDفاصلة الرأس الرابع

انتبه إلى ترتيب الرؤوس: قطرا الرباعي هما اللذان يصلان رأسين غير متتاليين. إن أخذت ⁦[AB]⁩ و ⁦[CD]⁩ فأنت تحسب منتصفي ضلعين، لا منتصفي قطرين، والنتيجة بلا معنى.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نحسب إحداثيي منتصف قطعة؟

اكتب الدستور، عوّض إحداثيي الطرفين، ثمّ أنجز الجمع قبل القسمة. وتحقّق في الأخير أنّ كلّ إحداثيّ تحصّلت عليه يقع بين إحداثيّي الطرفين.

مثال 1: حساب إحداثيي منتصف قطعة

في معلم متعامد ومتجانس، أُعطيت القطعة التي طرفاها P و Q.

🎯المطلوب: احسب إحداثيي المنتصف K للقطعة التي طرفاها P و Q.

قطعة مستقيم بين نقطتين في معلم، دون أن يكون منتصفها معلّما — المعطى هو الطرفان فقط؛ موضع المنتصف يُحسب ثمّ يُعلَّم بعد ذلك.

📌المعطى: إحداثيا طرفي القطعة

P (−3 ; 5) , Q (5 ; −1)

Pالطرف الأوّل للقطعةQالطرف الثاني للقطعةKمنتصف القطعة، وهو المطلوب

🔹الخطوة 1: الدستور

نكتب الدستور قبل التعويض: كلّ إحداثيّ للمنتصف هو نصف مجموع الإحداثيّين المقابلين.

xK = xP + xQ2 , yK = yP + yQ2

🔹الخطوة 2: التعويض

نعوّض إحداثيي الطرفين، الفواصل مع الفواصل والتراتيب مع التراتيب.

xK = −3 + 52 , yK = 5 + (−1)2

🔹الخطوة 3: الحساب

ننجز الجمع في البسط أوّلا، ثمّ نقسم على 2.

xK = 22 = 1 , yK = 42 = 2

✅النتيجة: إحداثيا المنتصف

K (1 ; 2)

تحقّق بالنظر: الفاصلة 1 تقع بين ⁦−3⁩ و 5، والترتيب 2 يقع بين ⁦−1⁩ و 5. إذا خرج أحد الإحداثيّين خارج هذا المجال فالخطأ في الحساب، لا في الرسم.

مثال 2: منتصف بإحداثيين غير صحيحين

في المعلم نفسه، أُخذت قطعة أخرى طرفاها R و S.

🎯المطلوب: احسب إحداثيي المنتصف T للقطعة التي طرفاها R و S.

📌المعطى: إحداثيا طرفي القطعة

R (3 ; 2) , S (4 ; −1)

Rالطرف الأوّل للقطعةSالطرف الثاني للقطعةTمنتصف القطعة، وهو المطلوب

🔹الخطوة 1: التعويض

نطبّق الدستور نفسه دون تغيير: مجموع الفاصلتين على 2، ومجموع الترتيبين على 2.

xT = 3 + 42 , yT = 2 + (−1)2

🔹الخطوة 2: حساب البسطين

ننجز الجمعين في البسطين.

xT = 72 , yT = 12

🔹الخطوة 3: القسمة على 2

القسمتان لا تعطيان عددين صحيحين هذه المرّة، بل عددين عشريّين.

xT = 3,5 , yT = 0,5

✅النتيجة: إحداثيا المنتصف

T (3,5 ; 0,5)

لا تتفاجأ من جواب غير صحيح ولا تظنّه خطأ: منتصف قطعة ليس ملزما بأن يقع على تقاطع خطوط الشبكة. اترك العدد العشري كما هو، ولا تقرّبه إلى أقرب عدد صحيح.

طريقة 2: كيف نتحقّق من أنّ نقطة هي منتصف قطعة؟

لا تقارن الرسم بالعين: احسب إحداثيي منتصف القطعة بالدستور، ثمّ قارنهما بإحداثيي النقطة المقترحة. إن تطابق العددان معا فهي المنتصف، وإن اختلف أحدهما فلا.

مثال 3: التحقّق من أنّ نقطة هي المنتصف

في المعلم نفسه، اقترح تلميذ أنّ النقطة M هي منتصف القطعة التي طرفاها A و C.

🎯المطلوب: تحقّق من أنّ النقطة M هي منتصف القطعة التي طرفاها A و C.

📌المعطى: الطرفان والنقطة المقترحة

A (3 ; −2) , C (3 ; 4) , M (3 ; 1)

Aالطرف الأوّل للقطعةCالطرف الثاني للقطعةMالنقطة التي يُدَّعى أنّها المنتصف

🔹الخطوة 1: فاصلة المنتصف

نحسب فاصلة المنتصف: نجمع الفاصلتين ثمّ نقسم على 2.

3 + 32=62=3

🔹الخطوة 2: ترتيب المنتصف

ثمّ ترتيب المنتصف بالطريقة نفسها؛ وجمع عدد سالب مع عدد موجب يعطي فرقهما.

−2 + 42=22=1

🔹الخطوة 3: المقارنة

نقارن العددين المحسوبين بإحداثيي النقطة المقترحة: هما متطابقان.

(3 ; 1) = (3 ; 1)

✅النتيجة: النقطة M هي فعلا المنتصف

M (3 ; 1)

للطرفين هنا الفاصلة نفسها، فالقطعة عموديّة وفاصلة المنتصف هي هذه الفاصلة نفسها. هذا ليس استثناء من الدستور بل حالة منه: متوسّط عددين متساويين هو العدد نفسه.

طريقة 3: كيف نوجد الطرف الثاني بمعرفة المنتصف؟

اضرب إحداثيي المنتصف في 2، ثمّ اطرح إحداثيي الطرف المعلوم. وإن نسيت الدستور، أعِد بناءه: مجموع الفاصلتين يساوي ضعف فاصلة المنتصف، فالمجهولة هي الفرق.

مثال 4: إيجاد الطرف الثاني لقطعة

نُقل مسمار من النقطة E في اتّجاه مستقيم، ومرّ بالنقطة I التي هي منتصف مساره كلّه.

🎯المطلوب: أوجد إحداثيي النقطة F التي هي الطرف الثاني للقطعة.

نقطة ومنتصف مسار، والاتّجاه الذي يكمل فيه المسار دون أن ينتهي عند نقطة معلومة — النقطة F تقع على استقامة E و I، وعلى البعد نفسه من I: الحساب هو الذي يعيّنها.

📌المعطى: الطرف الأوّل والمنتصف

E (−1 ; 4) , I (2 ; 1)

Eالطرف المعلوم للقطعةIمنتصف القطعةFالطرف المجهول، وهو المطلوب

🔹الخطوة 1: الدستور المقلوب

نكتب الدستور بعد قلبه: إحداثيّ الطرف المجهول هو ضعف إحداثيّ المنتصف ناقص إحداثيّ الطرف المعلوم.

xF = 2 × xI − xE , yF = 2 × yI − yE

🔹الخطوة 2: حساب الفاصلة

نعوّض ونحسب الفاصلة؛ وطرح عدد سالب يصير جمعا لمقابله.

xF=2 × 2 − (−1)=4 + 1=5

🔹الخطوة 3: حساب الترتيب

ثمّ نحسب الترتيب بالطريقة نفسها.

yF=2 × 1 − 4=2 − 4=−2

✅النتيجة: إحداثيا الطرف الثاني

F (5 ; −2)

تحقّق دائما من جوابك بالدستور المباشر: منتصف القطعة التي طرفاها E و F يجب أن يعيد إليك النقطة I نفسها. تحقّق واحد يكشف كلّ خطأ في الإشارة.

طريقة 4: كيف نثبت أنّ رباعيا متوازي أضلاع بالمنتصف؟

عيّن القطرين أوّلا: هما اللذان يصلان بين رأسين غير متتاليين. ثمّ احسب منتصف كلّ قطر بالدستور. النقطتان المتطابقتان تعنيان أنّ القطرين متناصفان، وهذا وحده يكفي.

مثال 5: إثبات أنّ رباعيا متوازي أضلاع

في معلم متعامد ومتجانس، عيّنت أربع نقط هي رؤوس رباعي مرتّبة في اتّجاه واحد.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

رباعي مرسوم في معلم من أربع نقط معلومة الإحداثيات، دون قطرين ودون أيّ علامة — الرسم يعطي الرؤوس الأربعة فقط؛ القطران يُرسمان بعد أن يقول الحساب كلمته.

📌المعطى: إحداثيات الرؤوس الأربعة

A (−2 ; 1) , B (3 ; 2) , C (4 ; 5) , D (−1 ; 4)

Aالرأس الأوّل للرباعيBالرأس الثانيCالرأس الثالث، وهو مقابل ADالرأس الرابع، وهو مقابل B

🔹الخطوة 1: التعويض للقطر الأوّل

القطران هما ⁦[AC]⁩ و ⁦[BD]⁩. نعوّض إحداثيي A و C في دستور المنتصف.

(−2 + 42 ; 1 + 52)

🔹الخطوة 2: منتصف القطر الأوّل

ننجز الجمع ثمّ القسمة على 2.

(22 ; 62) = (1 ; 3)

🔹الخطوة 3: منتصف القطر الثاني

نعيد العمل نفسه على القطر الثاني ⁦[BD]⁩.

(22 ; 62) = (1 ; 3)

✅النتيجة: القطران متناصفان

للمنتصفين الإحداثيان نفسهما، فالقطران يتقاطعان في منتصفيهما.

(1 ; 3)

هذه الطريقة أسرع من مقارنة الأضلاع: قسمتان اثنتان تكفيان، بينما إثبات تساوي الأضلاع المتقابلة يحتاج إلى أربع عمليّات طرح على الأقلّ.

🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في أسئلة المعلم: «احسب إحداثيي M منتصف ⁦[AB]⁩»، و«عيّن إحداثيي النقطة B علما أنّ M منتصف ⁦[AB]⁩»، و«بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع». ثلاثة عناصر جاهزة: ① الدستور: ⁦xM = (xA + xB)/2⁩ و ⁦yM = (yA + yB)/2⁩ ② في الاتّجاه المعاكس: ⁦xB = 2 × xM − xA⁩ و ⁦yB = 2 × yM − yA⁩ ③ متوازي الأضلاع: إذا كان لقطريه المنتصف نفسه فهو متوازي أضلاع، أي ⁦xA + xC = xB + xD⁩ و ⁦yA + yC = yB + yD⁩ — وهي أسرع طريقة في المعلم. ⛔ والخطأ الشائع: نسيان القسمة على 2 ؛ جمع الفاصلتين وحده يعطي نقطة بعيدة عن القطعة، فاجمع ثمّ اقسم ثمّ تحقّق أنّ الجواب يقع بين الطرفين. وخطأ ثانٍ: مقارنة منتصفي ضلعين بدل منتصفي القطرين ⁦[AC]⁩ و ⁦[BD]⁩.

خلاصة: منتصف قطعة هو النقطة التي تنتمي إليها وتبعد المسافة نفسها عن طرفيها، ولكلّ قطعة منتصف واحد. وفي معلم، إحداثيا المنتصف هما متوسّطا إحداثيي الطرفين: نجمع الفاصلتين ونقسم على 2، ونجمع الترتيبين ونقسم على 2. ويُقرأ الدستور في الاتّجاهين: من الطرفين إلى المنتصف، ومن المنتصف وطرف واحد إلى الطرف الثاني بالضرب في 2 ثمّ الطرح. وأخيرا، إذا كان لقطري رباعي المنتصف نفسه فهو متوازي أضلاع، وهذه أسرع طريقة لإثبات ذلك في المعلم.

Page 1/10

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36

📌 À retenir

خلاصة: منتصف قطعة هو النقطة التي تنتمي إليها وتبعد المسافة نفسها عن طرفيها، ولكلّ قطعة منتصف واحد. وفي معلم، إحداثيا المنتصف هما متوسّطا إحداثيي الطرفين: نجمع الفاصلتين ونقسم على 2، ونجمع الترتيبين ونقسم على 2. ويُقرأ الدستور في الاتّجاهين: من الطرفين إلى المنتصف، ومن المنتصف وطرف واحد إلى الطرف الثاني بالضرب في 2 ثمّ الطرح. وأخيرا، إذا كان لقطري رباعي المنتصف نفسه فهو متوازي أضلاع، وهذه أسرع طريقة لإثبات ذلك في المعلم.