الكرة و الجلة

الكرة التي مركزها O ونصف قطرها R هي مجموعة نقط الفضاء التي تبعد عن O بالمقدار R بالضبط، لا أقل ولا أكثر. فهي سطح فقط، مثل غلاف كرة القدم: لا يدخل في الكرة شيء مما هو بداخل هذا الغلاف.

وكما في الدائرة، فإن قطر الكرة هو ضعف نصف قطرها؛ وكل قطعة تصل بين نقطتين من الكرة وتمر بالمركز هي قطر لها.

Agrandir l'image

الجلة التي مركزها O ونصف قطرها R هي مجموعة نقط الفضاء التي تبعد عن O بمقدار أصغر من R أو يساويه. فهي إذن الكرة مضافا إليها كل ما بداخلها: مجسم ممتلئ، لا سطح.

إذا أدرنا دائرة دورة كاملة حول أحد أقطارها، رسم كل نقطة منها أثرا في الفضاء، والأثر كله هو كرة نصف قطرها هو نصف قطر الدائرة. وإذا أدرنا قرصا حول أحد أقطاره، ملأ القرص الحيز، فتولدت جلة.

ولأن الورقة مستوية، فإننا نمثل الكرة بدائرة نرسم داخلها قوسا بيضويا يمثل دائرة كبرى منها، ونجعل نصفه الخلفي متقطعا للدلالة على أنه غير مرئي.

Agrandir l'image

مساحة الكرة تُحسب من نصف قطرها وحده: نضرب مربع نصف القطر في العدد π ثم في 4. ولأن المقدار المحسوب مساحة، فإن وحدته وحدة مساحة.

أما الجلة فلها حجم لأنها ممتلئة: نضرب مكعب نصف القطر في العدد π ثم في الكسر أربعة على ثلاثة. ووحدة الحجم وحدة مكعبة.

لا يُحسم الأمر بالنظر، بل بالمقارنة. اقرأ بعد النقطة عن المركز ثم قارنه بنصف القطر: المساواة تعني الانتماء إلى الكرة، وكل ما عداها لا ينتمي إليها.

مثال 1: موقع ثلاث نقط بالنسبة إلى كرة

الكرة ⁦(K)⁩ مركزها O ونصف قطرها 5 سم، وثلاث نقط A و B و C من الفضاء أبعادها عن O هي 5 سم و3 سم و7 سم على الترتيب.

🎯المطلوب: حدّد لكل نقطة من هذه النقط الثلاث إن كانت تنتمي إلى الكرة ⁦(K)⁩ أم لا.

Agrandir l'image

🔹الخطوة 1: نصف القطر

نبدأ بكتابة نصف القطر، فهو المرجع الذي نقارن به الأبعاد الثلاثة كلها.

R = 5 cm

🔹الخطوة 2: النقطة A

بعد النقطة A يساوي نصف القطر تماما، فهي إذن على السطح نفسه.

OA=5 cm=R

🔹الخطوة 3: النقطة B

بعد النقطة B أصغر من نصف القطر: هي داخل الكرة، وليست عليها.

OB = 3 cm < R

🔹الخطوة 4: النقطة C

وبعد النقطة C أكبر من نصف القطر: هي خارج الكرة.

OC = 7 cm > R

✅النتيجة: النقط المنتمية إلى الكرة

الشرط هو المساواة وحدها: بعد النقطة A يساوي نصف القطر فهي على الكرة، أما B فداخلها و C فخارجها، وكلتاهما لا تنتمي إليها.

A ∈ (K) ; B ∉ (K) ; C ∉ (K)

الطريقة نفسها، بشرط واحد مختلف: هنا يكفي أن يكون البعد أصغر من نصف القطر أو مساويا له. وإذا أُعطي القطر بدل نصف القطر، فابدأ بقسمته على 2.

السؤال الوحيد هو: ما طبيعة الذي يدور؟ إن كان خطا، أي دائرة، فالمتولد سطح، أي كرة؛ وإن كان سطحا، أي قرصا، فالمتولد ممتلئ، أي جلة. أما نصف القطر فلا يتغير: هو نفسه نصف قطر الشكل الذي دار.

اكتب الدستور أولا، ثم عوّض نصف القطر، ثم احسب مربعه، واترك العدد π إلى آخر خطوة: هكذا تحصل على قيمة مضبوطة أولا، ثم على قيمة مقربة إن طُلبت منك.

العمل نفسه، مع فارقين: نرفع نصف القطر إلى القوة 3، ونضرب في الكسر أربعة على ثلاثة. وإذا أُعطي القطر فابدأ بنصفه قبل كل شيء.