الإحصاء › الاحصاء
الوسط الحسابي لسلسلة احصائية
- حساب الوسط الحسابي لسلسلة إحصائية معطاة بقيمها
- حساب الوسط الحسابي المتوازن انطلاقا من جدول التكرارات
- تعيين مركز فئة وحساب الوسط الحسابي لمراكز الفئات
- حساب الوسط الحسابي المتوازن لسلسلة مجمّعة في فئات وترجمة النتيجة
- جمع عدّة أعداد ناطقة وقسمة مجموعها على عدد طبيعي
- قراءة جدول ذي سطرين: سطر القيم وسطر التكرارات
- حساب منتصف قطعة على مستقيم مدرّج
معارف — السلسلة الإحصائية والوسط الحسابي
السلسلة الإحصائية هي جملة الأعداد التي نجمعها عن ميزة واحدة لدى مجموعة من الأفراد: أعمار تلاميذ، أطوالهم، عدد كتب قرأوها. وهذه الأعداد تُسمّى قيم السلسلة، وعددها هو ما نسمّيه عدد القيم.
والوسط الحسابي لسلسلة إحصائية هو مجموع قيم هذه السلسلة مقسوما على عدد قيمها. هو إذن العدد الذي لو أخذته كل قيمة من قيم السلسلة لبقي المجموع على حاله: نصيب كل فرد لو اقتُسم المجموع بالتساوي.
البسط هو مجموع كل القيم، والمقام هو عددها. فإن نسيت أن تقسم لم تحصل على وسط حسابي، بل على مجموع فقط.
معارف — الوسط الحسابي المتوازن بالتكرارات
عندما تتكرّر القيمة نفسها عدّة مرّات، لا نعيد كتابتها في كل مرّة: نكتبها مرّة واحدة ونكتب أمامها عدد مرّات ظهورها، وهو ما نسمّيه تكرارها. وهكذا يولد جدول التكرارات.
| القيمة | التكرار |
|---|---|
| x₁ | n₁ |
| x₂ | n₂ |
| … | … |
| xₚ | nₚ |
والوسط الحسابي المتوازن لسلسلة إحصائية هو مجموع جداءات قيمها بتكراراتها مقسوما على مجموع التكرارات. فكل قيمة تُحسب بقدر ما تكرّرت، لا مرّة واحدة.
نضرب كل قيمة في تكرارها لأنها تظهر هذا العدد من المرّات، ثم نقسم على عدد الأفراد كلّهم.
معارف — السلسلة المجمّعة في فئات ومركز الفئة
إذا كانت القيم كثيرة ومتباعدة، لا نكتبها واحدة واحدة: نجمعها في مجالات متتالية نسمّيها فئات، مثل الفئة التي تضمّ كل قيمة أكبر من 10 أو تساويها وأصغر تماما من 20، ونكتبها [10 ; 20[. ونستبدل كل فئة بعدد واحد يمثّلها هو مركزها.
ومركز فئة هو منتصف مجالها: نصف مجموع حدّها الأدنى وحدّها الأعلى. وهو يُحسب تماما كما يُحسب منتصف قطعة على مستقيم مدرّج.
والوسط الحسابي لمراكز الفئات هو مجموع مراكز الفئات مقسوما على عدد الفئات. في هذه الحالة تُعامَل كل فئة معاملة واحدة، مهما كان عدد الأفراد الذين تضمّهم؛ فهو لا يساوي الوسط الحسابي للسلسلة عموما، ويتساويان مثلا إذا تساوت تكرارات الفئات.
المقام هنا هو عدد الفئات، لأننا نحسب وسط المراكز نفسها، لا وسط الأفراد.
معارف — الوسط الحسابي المتوازن لسلسلة مجمّعة في فئات
ولمّا كانت الفئات لا تضمّ العدد نفسه من الأفراد، فإن معاملتها معاملة واحدة قد تبعدنا عن الواقع. لذلك نحسب الوسط الحسابي المتوازن لسلسلة مجمّعة في فئات: هو مجموع جداءات مركز كل فئة بتكرارها مقسوما على مجموع التكرارات.
هي نفس صيغة التوازن السابقة، وقد حلّ فيها مركز الفئة محلّ القيمة: كل فئة تُحسب بقدر عدد أفرادها.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحسب الوسط الحسابي لسلسلة معطاة بقيمها ؟
خطوتان لا ثالثة لهما: عدّ القيم أوّلا، ثم اجمعها، ثم اقسم المجموع على عددها. وابدأ دائما بالعدّ، لأنه المقام، وهو أكثر ما يُنسى.
أحصينا عدد الكتب التي قرأها كل تلميذ من تسعة تلاميذ خلال السنة، فتحصّلنا على السلسلة الإحصائية: 1 ؛ 5 ؛ 4 ؛ 3 ؛ 2 ؛ 7 ؛ 15 ؛ 19 ؛ 16.
🎯المطلوب: احسب الوسط الحسابي لهذه السلسلة، ثم تحقّق من أنّ النتيجة معقولة.
نعدّ حدود السلسلة واحدا واحدا قبل أي جمع، لأن هذا العدد سيكون المقام.
نجمع القيم التسع كلّها بالترتيب الذي وردت به؛ الجمع لا يتأثّر بترتيب حدوده.
نقسم المجموع على عدد القيم، وهذا هو تعريف الوسط الحسابي بعينه.
طريقة 2: كيف نحسب الوسط الحسابي انطلاقا من جدول التكرارات ؟
ثلاث خطوات: اجمع التكرارات لتحصل على المقام، ثم اضرب كل قيمة في تكرارها واجمع الجداءات لتحصل على البسط، ثم اقسم. ولا تنتقل إلى خطوة قبل أن تُتمّ التي قبلها.
في اختبار من 20 نقطة، توزّعت علامات فوج من 20 تلميذا حسب جدول التكرارات الآتي.
🎯المطلوب: احسب الوسط الحسابي لعلامات هذا الفوج، ثم عبّر عن معناه بجملة واحدة.
| العلامة | عدد التلاميذ |
|---|---|
| 10 | 5 |
| 12 | 8 |
| 14 | 4 |
| 16 | 3 |
نجمع التكرارات لنعرف عدد التلاميذ كلّهم: هو المقام، لا عدد العلامات المختلفة.
نضرب كل علامة في عدد التلاميذ الذين نالوها، ثم نجمع الجداءات الأربعة.
نقسم مجموع الجداءات على مجموع التكرارات.
طريقة 3: كيف نعيّن مركز فئة ونحسب الوسط الحسابي لمراكزها ؟
ابدأ بحساب مركز كل فئة على حدة بنصف مجموع حدّيها، واكتبها كلّها قبل أن تجمع. ثم اجمع المراكز واقسم على عدد الفئات.
قِيست مدّة إنجاز تمرين، بالدقائق، وجُمعت النتائج في الفئات الأربع المتتالية: [0 ; 10[ و [10 ; 20[ و [20 ; 30[ و [30 ; 40[.
🎯المطلوب: عيّن مركز كل فئة، ثم احسب الوسط الحسابي لمراكز هذه الفئات الأربع.
نطبّق تعريف المركز على الفئة الأولى: نصف مجموع حدّيها.
ونعيد الحساب نفسه على الفئات الثلاث الباقية؛ لاحظ أنّ المراكز تتباعد بنفس المقدار.
نجمع المراكز الأربعة ونعدّ الفئات: العدد الأخير هو المقام.
نقسم مجموع المراكز على عدد الفئات.
طريقة 4: كيف نحسب الوسط الحسابي المتوازن لسلسلة مجمّعة في فئات ؟
هي طريقة جدول التكرارات نفسها، وقد حلّ فيها مركز الفئة محلّ القيمة. احسب المراكز أوّلا، ثم اجمع التكرارات، ثم اجمع الجداءات، ثم اقسم.
نعود إلى مدّة إنجاز التمرين نفسها، بالدقائق، وقد أُضيف إلى كل فئة عدد التلاميذ الذين تضمّهم، فصار عدد التلاميذ كلّهم 25.
🎯المطلوب: احسب الوسط الحسابي المتوازن لهذه السلسلة المجمّعة في فئات.
| الفئة | عدد التلاميذ |
|---|---|
| [0 ; 10[ | 4 |
| [10 ; 20[ | 10 |
| [20 ; 30[ | 6 |
| [30 ; 40[ | 5 |
نحسب مركز كل فئة كما في المثال السابق: المراكز لا تتغيّر بتغيّر التكرارات.
نجمع التكرارات لنحصل على عدد التلاميذ كلّهم، وهو المقام.
نضرب مركز كل فئة في تكرارها ثم نجمع الجداءات الأربعة.
نقسم مجموع الجداءات على مجموع التكرارات.
Page 1/9
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net