Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال العددية (النهايات)

حساب نهاية باستعمال المقارنة أو الحصر و مركب دالتين

🔊 La maîtresse lit pour toi

دالّة يتذبذب بسطها بين ناقص واحد و واحد إلى الأبد، فلا نهاية له. و مع ذلك للكسر كلّه نهاية، و هي معروفة تماما. فكيف نحسب نهاية دالة لا تملك أحد أجزائها نهاية؟

نحبسها. إذا حُوصرت الدالة بين دالّتين لهما نفس النهاية، فلا مفرّ لها: نهايتها هي النهاية نفسها. لا نحسب الدالة، نضيّق عليها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب نهاية دالة مركّبة
توظيف مبرهنة الحصر لرفع تذبذب
توظيف المقارنة لإثبات نهاية لانهائية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حصر الدالتين جيب و جيب التمام بين ناقص واحد و واحد
النهايات المرجعية

1. نهاية دالة مركّبة

عندما تكون الدالة تركيبا لدالّتين، تُحسب النهاية على مرحلتين: أين تذهب الأولى، ثمّ ماذا تفعل الثانية هناك.

المبرهنة

a و b و c قد تكون أعدادا حقيقية أو ±∞. المبرهنة تعمل في كلّ الحالات دون تمييز.

lim(x → a) u(x) = b ; lim(x → b) v(x) = c ⟹ lim(x → a) (v ∘ u)(x) = c

الخطوة الحاسمة ليست الحساب بل التعرّف: أن تكتب f على شكل تركيب و تسمّي u و v صراحة. من لم يسمّهما لن يعرف عند أيّ عدد يحسب نهاية v.

2. النهاية بالحصر

مبرهنة الحصر

يكفي أن يتحقّق الحصر من أجل x كبيرة بالقدر الكافي، لا على كامل المجال.

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ; lim g = lim h = l ⟹ lim f = l

3. النهاية بالمقارنة

إذا لم تتساوَ الحدّان، لا يزال بالإمكان استنتاج لانهاية بمقارنة واحدة:

إذا كانت f أكبر من g و نهاية g هي +∞، فنهاية f هي +∞
إذا كانت f أصغر من g و نهاية g هي -∞، فنهاية f هي -∞

لا تُستعمل المقارنة لإثبات نهاية منتهية: دالة أكبر من دالة نهايتها 0 قد لا تكون لها نهاية أصلا. للمنتهية يلزم حصر من الجهتين.

مثال 1: نهاية دالة مركّبة

🎯المطلوب: عيّن الدالّتين المركّبتين ثمّ احسب نهاية الدالة عند اللانهاية السالبة.

📌المعطى

f(x)=√(2x + 1x - 1)

🔹الخطوة 1: التركيب

نسمّي الدالتين صراحة، بالترتيب الذي تُطبَّقان به.

u(x) = 2x + 1x - 1 ; v(x) = √x

🔹الخطوة 2: نهاية u

نهاية u عند اللانهاية: نسبة الحدّين الأعلى درجة.

lim(x → -∞) u(x) = 2

🔹الخطوة 3: نهاية v

ثمّ نحسب نهاية v عند العدد الذي وصلته u، أي عند 2.

lim(x → 2) √x = √2

✅النّتيجة

lim(x → -∞) f(x) = √2

الخطأ الشائع هو حساب نهاية v عند اللانهاية بدل حسابها عند 2. النهاية الثانية تُؤخذ عند نتيجة الأولى، لا عند نقطة الانطلاق.

مثال 2: رفع تذبذب بالحصر

🎯المطلوب: أنشئ حصرا للدالة انطلاقا من حصر جيب التمام، ثمّ استنتج نهايتيها.

📌المعطى

f(x) = 1 + cos xx² ; x ∈ ℝ*

🔹الخطوة 1: الحصر الأصلي

نبدأ من الحصر المرجعي لجيب التمام.

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

🔹الخطوة 2: القسمة

نقسم على x²، و هو موجب تماما، فلا تنقلب المتراجحة.

-1x² ≤ cos xx² ≤ 1x²

🔹الخطوة 3: الحصر النهائي

نضيف 1 إلى الأطراف الثلاثة.

1 - 1x² ≤ f(x) ≤ 1 + 1x²

🔹الخطوة 4: نهاية الحدّين

الحدّان لهما نفس النهاية، فالدالة محبوسة.

lim(x → ±∞) (1 ± 1x²) = 1

✅النّتيجة

lim(x → +∞) f(x) = 1 ; lim(x → -∞) f(x) = 1

انتبه إلى اتجاه المتراجحة عند القسمة: على x² لا تنقلب لأنّه موجب دائما، لكن على x وحده تنقلب حسب الإشارة. هذا مصدر نصف الأخطاء في هذا الدرس.

مثال 3: لانهاية بالمقارنة

🎯المطلوب: احصر مقلوب المقام، ثمّ استنتج نهايتَي الدالة عند اللانهايتين.

📌المعطى

f(x) = x2 + sin(x) ; x ∈ ℝ

🔹الخطوة 1: حصر المقام

نحصر المقام انطلاقا من حصر الجيب.

1 ≤ 2 + sin(x) ≤ 3

🔹الخطوة 2: قلب الحصر

نقلب الحصر، فينقلب اتجاهه، و الأطراف موجبة.

13 ≤ 12 + sin(x) ≤ 1

🔹الخطوة 3: على الموجبات

من أجل x موجب، الضرب في x يحافظ على الاتجاه.

x3 ≤ f(x)

🔹الخطوة 4: نهاية الحدّ

نهاية الحدّ الأدنى لانهائية، فالدالة تتبعه.

lim(x → +∞) x3 = +∞

✅النّتيجة

lim(x → +∞) f(x) = +∞ ; lim(x → -∞) f(x) = -∞

لاحظ أنّنا لم نحتج إلى حصر من الجهتين هنا: حدّ أدنى ينفجر يكفي. اختر الأداة الأخفّ التي تكفي، لا الأثقل.

متى ترى جيبا أو جيب تمام داخل نهاية، لا تحاول حسابها مباشرة: اكتب الحصر المرجعي في السطر الأوّل. هذا السطر وحده يُنقّط، و هو نفسه في كلّ تمارين هذا النوع منذ سنوات.

الخلاصة: ما لا يُحسب مباشرة يُحاصَر. تركيب دالّتين يُحسب على مرحلتين، و التذبذب يُرفع بحصر من الجهتين إذا كانت النهاية منتهية، و بمقارنة واحدة إذا كانت لانهائية.

Page 1/6