Mathématiques🎓 objectif bac

التزايد المقارن ودراسة الدوال التزايد المقارن

تطبيقات على النهايات الأسية و اللوغاريتمية

🔊 La maîtresse lit pour toi

في الدرس الماضي حفظت أربع نهايات. لكنّ التمرين لا يعطيك أبدا ⁦e^x/x⁩ جاهزة: يعطيك e^x ناقص x، أو ⁦(2x - 1)e^x⁩، أو نسبة فيها أسّية و كثير حدود معا. و كلّها، في لحظتها الأولى، صيغ غير معيّنة. فكيف نحوّل عبارة غير معيّنة حتّى تظهر فيها إحدى النهايات الشهيرة؟

الطريقة واحدة و لا تتغيّر: أخرج العامل الذي يتفوّق على الباقي، فتصير العبارة جداء عامل تعرف نهايته في نهاية تعرفها. لا حيلة أخرى في هذا الباب كلّه.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التعرّف على حالة عدم التعيين و تسميتها
إخراج العامل المهيمن من عبارة أسّية أو لوغاريتمية
توظيف النهايات الشهيرة الأربع لرفع عدم التعيين
حساب نهاية نسبة فيها أسّية أو لوغاريتم و كثير حدود

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

النهايات الشهيرة الأربع للتزايد المقارن
العمليات على النهايات و حالات عدم التعيين

1. الحالة الأولى: فرق فيه أسّية

أمام e^x ناقص x عند +∞ نحن في صيغة ∞ ناقص ∞. نُخرج x عاملا مشتركا، فتظهر النسبة الشهيرة:

مثال 1: فرق و جداء بالأسّية

نعتبر النهايتين ⁦lim(x → +∞) (e^x - x)⁩ و ⁦lim(x → -∞) (2x - 1)e^x⁩.

🎯المطلوب: احسب النهايتين التاليتين بعد تحديد حالة عدم التعيين في كلّ منهما.

🔹الخطوة 1: إخراج العامل

نُخرج x عاملا مشتركا، فتظهر النسبة ⁦e^x/x⁩ داخل القوس.

e^x - x=x × (e^xx - 1)

🔹الخطوة 2: نهاية القوس

النسبة تؤول إلى +∞، فالقوس كلّه يؤول إلى +∞، و x أيضا.

lim(x → +∞) (e^xx - 1) = +∞

🔹الخطوة 3: النهاية الأولى

جداء عاملين يؤولان إلى +∞.

lim(x → +∞) (e^x - x) = +∞

🔹الخطوة 4: النشر

للعبارة الثانية ننشر الجداء بدل إخراج عامل.

(2x - 1)e^x = 2x e^x - e^x

✅النّتيجة

الحدّ الأوّل نهايته صفر حسب النهاية الشهيرة، و الثاني صفر أيضا.

lim(x → -∞) (2x - 1)e^x = 0

لاحظ أنّ الاتّجاهين متعاكسان: عند +∞ نُخرج عاملا لنصنع النسبة، و عند -∞ ننشر الجداء لنصنع الجداءات الشهيرة. الاتّجاه هو الذي يقرّر، لا شكل العبارة.

2. الحالة الثانية: فرق و جداء فيهما لوغاريتم

المبدأ نفسه، و النهايتان المستعملتان هما ln x على x عند +∞، و x ln x عند الصفر:

مثال 2: فرق و جداء باللوغاريتم

نعتبر النهايتين ⁦lim(x → +∞) (x - ln x)⁩ و ⁦lim(x → 0) (x + 2)ln x⁩.

🎯المطلوب: احسب النهايتين، مع تبرير كلّ خطوة بالنهاية الشهيرة المستعملة.

🔹الخطوة 1: إخراج العامل

نُخرج x عاملا مشتركا، فتظهر النسبة ln x على x.

x - ln x=x × (1 - ln xx)

🔹الخطوة 2: نهاية القوس

النسبة تؤول إلى الصفر، فالقوس يؤول إلى 1.

lim(x → +∞) (1 - ln xx) = 1

🔹الخطوة 3: النهاية الأولى

جداء عدد يؤول إلى +∞ في عدد يؤول إلى 1.

lim(x → +∞) (x - ln x) = +∞

🔹الخطوة 4: النشر

للعبارة الثانية ننشر: حدّ أوّل نهايته صفر، و حدّ ثان نهايته -∞.

(x + 2)ln x = x ln x + 2 ln x

✅النّتيجة

صفر زائد -∞ يعطي -∞، و لا عدم تعيين هنا.

lim(x → 0) (x + 2)ln x = -∞

⛔ لا تكتب « ∞ ناقص ∞ يساوي صفرا »: هذه ليست عملية. الفرق بين لانهايتين قد يكون أيّ شيء، و العامل المشترك هو الذي يقرّر.

3. الحالة الثالثة: نسبة فيها كثير حدود

هذه أكثر الحالات ورودا في الباكالوريا. الحيلة: نضرب و نقسم على القوّة المناسبة حتّى تظهر النهاية الشهيرة مضروبة في نسبة كثيري حدود، و هذه الأخيرة نهايتها معروفة.

مثال 3: نسب فيها أسّية أو لوغاريتم

نعتبر النهايات ⁦lim(x → +∞) 2e^x/(x² + x + 1)⁩ و ⁦lim(x → +∞) ln x/(2x² - x + 3)⁩ و ⁦lim(x → -∞) (x³ + 2x - 1)e^x⁩.

🎯المطلوب: احسب النهايات الثلاث بإظهار النهاية الشهيرة المستعملة في كلّ مرّة.

🔹الخطوة 1: تحضير النسبة الأولى

درجة المقام 2، فنُدخل x² تحت الأسّية و نعوّض ما أخذناه.

2e^xx² + x + 1=2 × (e^xx²) × (x²x² + x + 1)

🔹الخطوة 2: النهاية الأولى

العامل الأوّل يؤول إلى +∞، و نسبة كثيري الحدود إلى 1.

lim(x → +∞) 2e^xx² + x + 1 = +∞

🔹الخطوة 3: تحضير النسبة الثانية

الحيلة نفسها للوغاريتم: نُخرج ln x على x².

ln x2x² - x + 3=(ln xx²) × (x²2x² - x + 3)

🔹الخطوة 4: النهاية الثانية

العامل الأوّل يؤول إلى الصفر، و الثاني إلى نصف، فالجداء صفر.

lim(x → +∞) ln x2x² - x + 3 = 0

✅النّتيجة

و في الجداء عند -∞ ننشر: كلّ حدّ من صيغة xⁿ e^x، و نهايته صفر.

lim(x → -∞) (x³ + 2x - 1)e^x = 0

الضرب و القسمة على x² ليس تلاعبا: إنّه إعادة كتابة للعبارة نفسها. اختر دائما أسّ x مساويا لدرجة كثير الحدود الموجود في العبارة، لا أكثر و لا أقلّ.

مثال 4: عبارة فيها أسّيتان مختلفتان

نعتبر النهاية ⁦lim(x → +∞) [(2x - 1)e^x - 3e²^x]⁩.

🎯المطلوب: احسب هذه النهاية بعد تعيين العامل المهيمن في العبارة.

🔹الخطوة 1: اختيار العامل

الأسّية e أسّ 2x هي الأسرع نموّا، فهي العامل المهيمن.

(2x - 1)e^x - 3e²^x=e²^x × (2xe^x - 1e^x - 3)

🔹الخطوة 2: الحدّ الأوّل داخل القوس

النسبة x على e^x تؤول إلى الصفر حسب النهاية الشهيرة.

lim(x → +∞) xe^x = 0

🔹الخطوة 3: الحدّ الثاني

و مقلوب الأسّية يؤول إلى الصفر أيضا.

lim(x → +∞) 1e^x = 0

✅النّتيجة

فالقوس يؤول إلى ⁦−3⁩، و العامل الخارجي إلى +∞.

lim(x → +∞) [(2x - 1)e^x - 3e²^x] = -∞

عند وجود أسّيتين، المهيمن هو صاحب الأسّ الأكبر: e أسّ 2x يسبق e^x كما تسبق e^x أيّ كثير حدود. أخرجه هو، لا غيره، و سيتكفّل الباقي بنفسه.

اكتب دائما ثلاثة أسطر و ليس سطرا واحدا: ① « نحن أمام حالة عدم تعيين من نوع … » ② « نُخرج العامل … » ③ « و بما أنّ ⁦lim … = …⁩ حسب التزايد المقارن، فإنّ … ». المصحّح ينقّط الطريقة قبل النتيجة، و النتيجة وحدها بلا تبرير تُفقد أغلب علامة السؤال.

الخلاصة: لا تحسب نهاية أسّية أو لوغاريتمية مباشرة أبدا. سمّ حالة عدم التعيين، أخرج العامل المهيمن، ثمّ استشهد بالنهاية الشهيرة. ثلاث حركات تكفي لكلّ تمارين هذا الباب.

Page 1/5