مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الأعداد والحساب Z القسمة في

خواص القاسم المشترك الأكبر و توظيفها

🔊 La maîtresse lit pour toi
جمعت سارة طوابعها في حاويات متماثلة: 72 طابعا محليا و 96 طابعا أجنبيا، و أرادت أكبر عدد ممكن من الحاويات. خوارزمية إقليدس تعطي القاسم المشترك الأكبر 24، فتوزّع 3 طوابع محلية و 4 طوابع أجنبية في كلّ حاوية. لكن ماذا يحدث لو ضاعفت سارة مجموعتيها معا؟ و كيف نعرف، دون إعادة الخوارزمية، أنّ قاسما مشتركا وجدناه هو فعلا الأكبر؟

الجواب في كلمة واحدة: الضرب. إذا ضاعفت سارة كلّ شيء عشر مرّات صار لها 720 و 960 طابعا، و القاسم المشترك الأكبر لا يُعاد حسابه بل يُضرب هو أيضا في عشرة. هذا الدرس يبني هذه الفكرة الواحدة و يستخرج منها كلّ ما يُطلب في الامتحان: خاصية الضرب، ثمّ معيار يقول متى يكون قاسم مشترك هو الأكبر، ثمّ تمديد المفهوم إلى الأعداد السالبة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • إثبات خاصية ضرب عددين في عامل واحد، و توظيفها في إخراج عامل مشترك
  • التعرّف على عددين أوليين فيما بينهما و استعمال هذا الشرط في البرهان
  • الحكم على قاسم مشترك: هل هو الأكبر أم لا، بالكتابة المختزلة وحدها
  • تمديد القاسم المشترك الأكبر إلى الأعداد الصحيحة النسبية بالقيمة المطلقة
  • حلّ مسائل تعيين الثنائيات المعرّفة بمجموعها أو بجدائها و بقاسمها المشترك الأكبر
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف قابلية القسمة في ℤ و خواصها الأربع
  • القسمة الإقليدية و تعيين القاسم المشترك الأكبر بخوارزمية إقليدس
  • أنّ مجموعة القواسم المشتركة لعددين هي مجموعة قواسم قاسمهما الأكبر

1. ما نبني عليه

عرفنا في الدرس السابق أنّ القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين غير معدومين هو أكبر عنصر من تقاطع مجموعتي قواسمهما، و أنّ خوارزمية إقليدس تعطيه في بضع قسمات. و عرفنا كذلك أنّ مجموعة القواسم المشتركة لعددين هي بالضبط مجموعة قواسم قاسمهما المشترك الأكبر: هذه الجملة الأخيرة هي محرّك كلّ البراهين التي تأتي الآن.

التعريف الذي ننطلق منه

ما دام التقاطع يحتوي دائما على 1 و ما دامت قواسم عدد غير معدوم منتهية، فالمجموعة غير خالية و منتهية: أكبر عنصر لها موجود دائما.

PGCD(a ; b) = max(Da ∩ Db)
Daمجموعة قواسم العدد aDbمجموعة قواسم العدد b
حالات تُقرأ مباشرة

الحالة الثالثة تفاجئ: كلّ عدد طبيعي غير معدوم يقسم الصفر، فقواسم الصفر هي كلّ الأعداد الطبيعية غير المعدومة، و أكبر قاسم مشترك يبقى a نفسه.

PGCD(a ; a) = a ; PGCD(1 ; a) = 1 ; PGCD(0 ; a) = a

2. الخاصية الأولى: ما يفعله الضرب في عدد

لنعد إلى سؤال المطلع. لدينا عددان، و نضرب كلّا منهما في العدد نفسه. الحدس يقول إنّ كلّ شيء يتضاعف بالنسبة نفسها، و الحدس صحيح هنا، لكنّه يحتاج برهانا: ليس بديهيا أنّ الضرب لا يخلق قواسم مشتركة جديدة من العدم.

خاصية 3

⭐ اقرأها في الاتّجاهين: من اليمين إلى اليسار هي إخراج عامل مشترك، و هي الاستعمال الأكثر ورودا — تُصغّر عددين كبيرين قبل أيّ حساب.

PGCD(k×a ; k×b) = k × PGCD(a ; b)
kعامل الضرب، عدد طبيعي غير معدومaعدد طبيعي غير معدومbعدد طبيعي غير معدوم

البرهان. نضع d القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b، و نضع ⁦d′⁩ القاسم المشترك الأكبر للعددين ⁦k×a⁩ و ⁦k×b⁩. الهدف: إثبات أنّ ⁦d′⁩ يساوي كاف في d. و الطريق في خطوتين متقابلتين — نبيّن أوّلا أنّ كاف في d يقسم ⁦d′⁩، ثمّ نبيّن أنّ حاصل القسمة لا يمكن أن يتجاوز الواحد.

🔹الخطوة 1: تسمية العددين

التسمية ليست شكليّة: كلّ البرهان مقارنة بين هذين العددين، فلا بدّ من اسم لكلّ منهما قبل أن نقارن.

d = PGCD(a ; b) ; d' = PGCD(k×a ; k×b)
🔹الخطوة 2: كاف في d قاسم مشترك

نستعمل الخاصية 3 من قابلية القسمة: إذا كان a يقسم b فإنّ ma يقسم mb من أجل كلّ عدد صحيح غير معدوم. فالضرب في العدد نفسه يحفظ القسمة.

d | a ⟹ k×d | k×a ; d | b ⟹ k×d | k×b
🔹الخطوة 3: قاسم مشترك يقسم الأكبر

هنا نستعمل الجملة المحرّكة: مجموعة القواسم المشتركة لعددين هي مجموعة قواسم قاسمهما المشترك الأكبر. فكلّ قاسم مشترك لـ ⁦k×a⁩ و ⁦k×b⁩ يقسم ⁦d′⁩.

k×d | d' ⟹ d' = k'×(k×d)
k'عدد طبيعي، حاصل قسمة ⁦d′⁩ على كاف في d
🔹الخطوة 4: العودة إلى a و b

نعوّض ⁦d′⁩ بكتابته من الخطوة 3، ثمّ نبسّط العامل كاف من الطرفين: القسمة على العدد نفسه لا تغيّر القابلية.

d' | k×a ; d' | k×b ⟹ k'×k×d | k×a ; k'×k×d | k×b
🔹الخطوة 5: الحاصل يساوي الواحد

فـ ⁦k′d⁩ قاسم مشترك للعددين a و b، إذن هو يقسم d. و عدد يقسم d و هو من مضاعفات d لا يكون إلّا d نفسه، فالمعامل ⁦k′⁩ يساوي 1.

k'×d | a ; k'×d | b ⟹ k'×d | d ⟹ k' = 1
✅الخلاصة

نعوّض ⁦k′⁩ بواحد في كتابة الخطوة 3، فنحصل على المطلوب بالضبط.

d' = k×d ⟹ PGCD(k×a ; k×b) = k × PGCD(a ; b)
⭐ الاستعمال العملي يقرأ الخاصية من اليمين إلى اليسار. أمام عددين كبيرين، ابحث عن عامل مشترك تراه بالعين — أصفار في آخر العددين، أو زوجيّة مشتركة — و أخرجه. تحسب بعدها على عددين صغيرين، و تضرب النتيجة في العامل. هذا يختصر خوارزمية إقليدس إلى نصفها.

3. عددان أوليان فيما بينهما

قبل الخاصية الموالية نحتاج كلمة جديدة. عددان لا يشتركان في أيّ قاسم سوى الواحد يسمّيان أوليين فيما بينهما، و هذا هو أصغر قاسم مشترك أكبر ممكن: لا يمكن النزول تحت الواحد.

تعريف الأوليّة فيما بين عددين

لاحظ أنّ الشرط ينفي كلّ قاسم مشترك غير 1 دفعة واحدة: يكفي أن يوجد قاسم مشترك واحد يفوق الواحد ليسقط الوصف.

PGCD(a ; b) = 1

العددان 13 و 5 أوليان فيما بينهما، و كذلك 45 و 14، و كذلك كلّ عددين طبيعيين متتاليين. أمّا 14 و 10 فليسا كذلك، لأنّهما زوجيان معا فيشتركان في القاسم 2.

⛔ لا تخلط بين وصفين متقاربين في اللفظ و بعيدين في المعنى. «عدد أوّلي» وصف يخصّ عددا واحدا: لا قاسم له سوى 1 و نفسه. و «أوليان فيما بينهما» وصف يخصّ ثنائية: لا قاسم مشترك لهما سوى 1. العددان 45 و 14 أوليان فيما بينهما، و لا واحد منهما أوّلي.

4. الخاصية الثانية: متى يكون قاسم مشترك هو الأكبر؟

هذه هي الخاصية التي يدور عليها كلّ تمرين في هذا الباب. المشكلة التي تحلّها بسيطة الطرح: وجدنا قاسما مشتركا d للعددين a و b — ما الذي يضمن أنّه الأكبر و ليس نصفه أو ثلثه؟ الجواب لا يحتاج حسابا جديدا، بل نظرة إلى ما بقي بعد القسمة على d.

خاصية 4

⭐ المعنى بلغة الحياة: إذا بقي في العاملين ⁦a′⁩ و ⁦b′⁩ قاسم مشترك يفوق الواحد، فقد كان بالإمكان إخراج أكثر — فـ d لم يكن الأكبر.

a = d×a' ; b = d×b' ⟹ (PGCD(a ; b) = d ⟺ PGCD(a' ; b') = 1)
dقاسم مشترك للعددين a و ba'حاصل قسمة a على db'حاصل قسمة b على d

البرهان، المعنى المباشر. نفرض أنّ d هو القاسم المشترك الأكبر، و نستعمل الخاصية السابقة لإخراج العامل d.

🔹الخطوة 1: إخراج العامل d

هذا تطبيق مباشر للخاصية 3 التي برهنّا عليها قبل قليل، بوضع كاف يساوي d.

PGCD(a ; b) = PGCD(d×a' ; d×b') = d × PGCD(a' ; b')
🔹الخطوة 2: التبسيط بالعامل d

الطرف الأيمن هو d بالفرض، فنقسم الطرفين على d — و هي قسمة مشروعة لأنّ d غير معدوم بحكم كونه قاسما.

d = d × PGCD(a' ; b') ⟹ PGCD(a' ; b') = 1

البرهان العكسي. نفرض الآن أنّ ⁦a′⁩ و ⁦b′⁩ أوليان فيما بينهما، و نعود إلى المساواة نفسها لكن في الاتّجاه الآخر.

🔹الخطوة 3: العكس

نعوّض في نتيجة الخطوة 1: القاسم المشترك الأكبر للعاملين يساوي 1، فيبقى العامل d وحده. و بهذا صحّ الاتّجاهان معا.

PGCD(a' ; b') = 1 ⟹ PGCD(a ; b) = d × 1 = d
⭐ احفظ الخاصية على صورة اختبار من سطرين: اقسم العددين على القاسم المقترح، ثمّ اسأل عن العاملين الباقيين — هل هما أوليان فيما بينهما؟ إن نعم فالمقترح هو الأكبر، و إن لا فاضرب المقترح في القاسم المشترك الأكبر للعاملين لتصحّحه. الخاصية 3 هي التي تبرّر هذا التصحيح.
الكتابة المختزلة: العددان يُقسَّمان إلى حزم متطابقة، و عدد الحزم في كلّ منهما لا يقبل تجزئة مشتركة جديدة.

5. تمديد المفهوم إلى الأعداد الصحيحة النسبية

كلّ ما سبق قيل عن أعداد طبيعية. لكنّ تمارين الباكالوريا تعمل في ℤ، و السؤال يُطرح: ما هو القاسم المشترك الأكبر لعددين سالبين؟ الملاحظة التي تفتح الباب رأيناها في الدرس الأوّل: للعددين a و ناقص a نفس القواسم. فالإشارة لا تغيّر شيئا في القواسم، و يكفي أن نتخلّص منها بالقيمة المطلقة.

تعريف التمديد

بهذا التعريف يبقى القاسم المشترك الأكبر عددا طبيعيا دائما، مهما كانت إشارة العددين. و هذا لا يغيّر شيئا: مجموعة القواسم المشتركة في ℤ متناظرة (كلّ قاسم d يرافقه ⁦−d⁩)، فأكبر عناصرها موجب، و هو نفسه القاسم المشترك الأكبر للقيمتين المطلقتين.

PGCD(a ; b) = PGCD(|a| ; |b|)
خاصية الضرب في ℤ

⭐ هي الخاصية 3 نفسها، و الفرق الوحيد هو القيمة المطلقة على العامل: العامل قد يكون سالبا، و النتيجة لا يمكن أن تكون سالبة.

PGCD(k×a ; k×b) = |k| × PGCD(a ; b)
kعدد صحيح غير معدوم، سالبا كان أو موجبا
🔍ملاحظة: حالة القسمة التامّة

إن كان b يقسم a فكلّ قاسم لـ b هو قاسم لـ a بالتعدّي، فمجموعة القواسم المشتركة هي مجموعة قواسم b، و أكبر عنصر فيها هو القيمة المطلقة لـ b.

b | a ⟹ PGCD(a ; b) = |b|
⛔ خطآن يتكرّران في التصحيح. الأوّل: كتابة نتيجة سالبة — القاسم المشترك الأكبر عدد طبيعي دائما، فلا يُكتب ناقص 32 أبدا. الثاني: نسيان القيمة المطلقة على العامل عند إخراجه؛ إخراج ناقص 15 من عددين لا يعطي ناقص 15 في النتيجة بل 15.

6. التوظيف: مسائل الثنائيات

النمط الأشهر في هذا الباب سؤال من سطر واحد: عيّن كلّ الثنائيات ⁦(a ; b)⁩ المعرّفة بمجموعها أو بجدائها و بقاسمها المشترك الأكبر. و الطريقة واحدة في الحالتين، تتكوّن من أربع خطوات لا تتغيّر أبدا.

  1. نكتب العددين على الصيغة المختزلة بضرب القاسم المشترك الأكبر المعطى في عاملين
  2. نفرض على العاملين أن يكونا أوليين فيما بينهما — و هذا هو شرط الخاصية 4
  3. نعوّض في المعادلة المعطاة و نبسّط بالعامل المشترك، فتصير معادلة أصغر بكثير
  4. نعدّ كلّ حلول المعادلة الصغيرة، ثمّ نفرزها بالشرط، ثمّ نضرب في القاسم المعطى
⛔ الخطوة الثانية ليست زينة، و نسيانها يكلّف نصف العلامة. بدونها تجد ثنائيات مجموعها أو جداؤها صحيح لكنّ قاسمها المشترك الأكبر أكبر من المعطى. هي المصفاة الوحيدة في التمرين.
الطريقة نفسها للمجموع و للجداء؛ الفرق الوحيد في التبسيط: العامل يخرج مرّة واحدة من المجموع و مرّتين من الجداء.
مثال 1: إخراج عامل مشترك

العددان 1300 و 500 كبيران، و خوارزمية إقليدس عليهما مباشرة ممكنة لكنّها أطول.

🎯المطلوب: احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1300 و 500 بإخراج عامل مشترك أوّلا.

🔹الخطوة 1: إخراج العامل المشترك

العددان ينتهيان بصفرين، فالعامل 100 يُقرأ بالعين دون حساب.

1300 = 100 × 13 ; 500 = 100 × 5
🔹الخطوة 2: تطبيق الخاصية

نطبّق الخاصية الأولى بوضع العامل يساوي مائة.

PGCD(1300 ; 500) = 100 × PGCD(13 ; 5)
🔹الخطوة 3: قسمات إقليدس

بقي أن نحسب على عددين صغيرين، بخوارزمية إقليدس.

13 = 5 × 2 + 3 ; 5 = 3 × 1 + 2 ; 3 = 2 × 1 + 1 ; 2 = 1 × 2 + 0
🔹الخطوة 4: قراءة آخر باق

آخر باق غير معدوم في السلسلة هو الواحد.

PGCD(13 ; 5) = 1
✅النّتيجة

نعوّض هذه القيمة في نتيجة الخطوة الثانية.

PGCD(1300 ; 500) = 100 × 1 = 100
⭐ قارن الجهد: أربع قسمات على عددين من رقمين، بدل قسمات على عددين من أربعة أرقام. و لاحظ أنّ العاملين الباقيين خرجا أوليين فيما بينهما — و هذا بالضبط ما تقوله الخاصية الثانية: مائة هو فعلا الأكبر.
مثال 2: هل القاسم المقترح هو الأكبر؟

نقترح العدد 17 قاسما مشتركا للعددين 204 و 289، و العدد 6 قاسما مشتركا للعددين 84 و 60. كلا الاقتراحين قاسم مشترك فعلا، و السؤال في «الأكبر» لا في «المشترك».

🎯المطلوب: تحقّق في كلّ حالة ممّا إذا كان القاسم المشترك المقترح هو القاسم المشترك الأكبر، و صحّحه إن لم يكن كذلك.

🔹الخطوة 1: الكتابة المختزلة الأولى

في الحالة الأولى نكتب العددين على الصيغة المختزلة بالقاسم المقترح.

204 = 17 × 12 ; 289 = 17 × 17
🔹الخطوة 2: اختبار الأولية فيما بين

نختبر العاملين الباقيين بخوارزمية إقليدس.

17 = 12 × 1 + 5 ; 12 = 5 × 2 + 2 ; 5 = 2 × 2 + 1 ; 2 = 1 × 2 + 0
🔹الخطوة 3: خلاصة الحالة الأولى

آخر باق غير معدوم هو الواحد، فالشرط محقّق و المقترح هو الأكبر.

PGCD(12 ; 17) = 1 ⟹ PGCD(204 ; 289) = 17
🔹الخطوة 4: الكتابة المختزلة الثانية

في الحالة الثانية نكتب العددين على الصيغة نفسها.

84 = 6 × 14 ; 60 = 6 × 10
🔹الخطوة 5: سقوط الشرط

العاملان الباقيان زوجيان معا، فيشتركان في القاسم 2 و الشرط يسقط.

PGCD(14 ; 10) = 2 ⟹ 2 ≠ 1
🔹الخطوة 6: التصحيح

نصحّح بالخاصية الأولى: نضرب المقترح في القاسم المشترك الأكبر للعاملين.

PGCD(84 ; 60) = 6 × PGCD(14 ; 10) = 6 × 2 = 12
✅النّتيجة

فالمقترح صائب في الحالة الأولى و خاطئ في الثانية.

PGCD(204 ; 289) = 17 ; PGCD(84 ; 60) = 12
⭐ الحالة الثانية تعلّم أكثر من الأولى. لمّا يسقط الشرط لا يُرمى العمل: القاسم المشترك الأكبر للعاملين الباقيين هو بالضبط ما كان ينقص المقترح. و تحقّق دائما بالكتابة المختزلة الصحيحة: 84 يساوي 12 في 7، و 60 يساوي 12 في 5، و العددان 7 و 5 أوليان فيما بينهما.
مثال 3: ثنائيات معلوم مجموعها

نبحث عن ثنائيات ⁦(a ; b)⁩ من الأعداد الطبيعية غير المعدومة. الثنائية مرتّبة: ⁦(6 ; 60)⁩ و ⁦(60 ; 6)⁩ حلّان متمايزان.

🎯المطلوب: عيّن كلّ الثنائيات ⁦(a ; b)⁩ حيث ⁦a + b = 66⁩ و قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 6.

🔹الخطوة 1: الكتابة المختزلة

القاسم المشترك الأكبر يقسم العددين، فنكتب كلّا منهما على صيغة جداء به.

a = 6a' ; b = 6b'
🔹الخطوة 2: شرط الخاصية

الخاصية الثانية تفرض على العاملين أن يكونا أوليين فيما بينهما.

PGCD(a' ; b') = 1
🔹الخطوة 3: تبسيط المعادلة

نعوّض في المعادلة المعطاة و نُخرج العامل المشترك ثمّ نبسّط به.

6a' + 6b' = 66 ⟹ 6(a' + b') = 66 ⟹ a' + b' = 11
🔹الخطوة 4: الثنائيات الممكنة

نعدّ كلّ ثنائيات الأعداد الطبيعية غير المعدومة التي مجموعها 11: العامل الأوّل يأخذ كلّ قيمة من 1 إلى 10 و الثاني يتبعه.

(a' ; b') ∈ {(1 ; 10) , (2 ; 9) , (3 ; 8) , (4 ; 7) , (5 ; 6) , (6 ; 5) , (7 ; 4) , (8 ; 3) , (9 ; 2) , (10 ; 1)}
🔹الخطوة 5: الفرز

نفرز بشرط الخطوة 2. كلّ قاسم مشترك للعاملين يقسم مجموعهما 11، و 11 عدد أوّلي، فالقاسم المشترك الوحيد هو 1: الشرط محقّق في الخمس الأولى و في الخمس المتناظرة معها.

PGCD(1 ; 10) = 1 ; PGCD(2 ; 9) = 1 ; PGCD(3 ; 8) = 1 ; PGCD(4 ; 7) = 1 ; PGCD(5 ; 6) = 1
🔹الخطوة 6: الجداءات الخمسة الأولى

نعود إلى العددين الأصليين بضرب العامل الأوّل في 6.

6 × 1 = 6 ; 6 × 2 = 12 ; 6 × 3 = 18 ; 6 × 4 = 24 ; 6 × 5 = 30
🔹الخطوة 7: الجداءات الخمسة الباقية

و بالطريقة نفسها للقيم الخمس الباقية.

6 × 6 = 36 ; 6 × 7 = 42 ; 6 × 8 = 48 ; 6 × 9 = 54 ; 6 × 10 = 60
✅النّتيجة

نرفق كلّ ثنائية من الخطوة 4 بجداءي عامليها.

(a ; b) ∈ {(6 ; 60) , (12 ; 54) , (18 ; 48) , (24 ; 42) , (30 ; 36) , (36 ; 30) , (42 ; 24) , (48 ; 18) , (54 ; 12) , (60 ; 6)}
⭐ لماذا صلحت الثنائيات العشر كلّها، دون أن نطرح واحدة؟ لأنّ مجموع العاملين يساوي 11، و 11 عدد أوّلي: كلّ قاسم مشترك للعاملين يقسم مجموعهما، أي يقسم 11، فهو 1 أو 11 — و 11 مستحيل لأنّ كلّ عامل أصغر منه. ⚖️ و ليست هذه صدفة: لو كان المجموع 66 مستبدلا بـ 60 لصار مجموع العاملين 10، و هو غير أوّلي، فلا يبقى من الثنائيات التسع الممكنة سوى أربع. اقرأ دائما مجموع العاملين قبل أن تفرز: إن كان أوّليا فالفرز مضمون.
مثال 4: ثنائيات معلوم جداؤها

نبحث عن ثنائيات ⁦(a ; b)⁩ من الأعداد الطبيعية غير المعدومة، و الثنائية مرتّبة كما في المثال السابق.

🎯المطلوب: عيّن كلّ الثنائيات ⁦(a ; b)⁩ حيث ⁦a × b = 900⁩ و قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 5.

🔹الخطوة 1: الكتابة المختزلة

الطريقة هي نفسها: نكتب العددين على الصيغة المختزلة.

a = 5a' ; b = 5b' ; PGCD(a' ; b') = 1
🔹الخطوة 2: تبسيط المعادلة

نعوّض في الجداء. العامل يخرج مرّتين هنا، لا مرّة واحدة كما في المجموع.

5a' × 5b' = 900 ⟹ 25 × (a' × b') = 900 ⟹ a' × b' = 36
🔹الخطوة 3: التفكيكات الخمسة الأولى

نعدّ كلّ تفكيكات 36 إلى جداء عاملين طبيعيين، بدءا من الواحد.

1 × 36 = 36 ; 2 × 18 = 36 ; 3 × 12 = 36 ; 4 × 9 = 36 ; 6 × 6 = 36
🔹الخطوة 4: التفكيكات الأربعة المتناظرة

ثمّ التفكيكات المتناظرة معها، لأنّ الثنائية مرتّبة.

9 × 4 = 36 ; 12 × 3 = 36 ; 18 × 2 = 36 ; 36 × 1 = 36
🔹الخطوة 5: التفكيكات المرفوضة

نفرز بشرط الخطوة 1، و خمس تفكيكات تسقط لأنّ عامليها يشتركان في قاسم يفوق الواحد.

PGCD(2 ; 18) = 2 ; PGCD(3 ; 12) = 3 ; PGCD(6 ; 6) = 6
🔹الخطوة 6: التفكيكات المقبولة

و مثلها المتناظرتان معها، فتبقى أربع تفكيكات تحقّق الشرط.

PGCD(1 ; 36) = 1 ; PGCD(4 ; 9) = 1 ; PGCD(9 ; 4) = 1 ; PGCD(36 ; 1) = 1
🔹الخطوة 7: الجداءات

نعود إلى العددين الأصليين بضرب كلّ عامل مقبول في 5.

5 × 1 = 5 ; 5 × 36 = 180 ; 5 × 4 = 20 ; 5 × 9 = 45
✅النّتيجة

نرفق كلّ تفكيك مقبول بجداءي عامليه.

(a ; b) ∈ {(5 ; 180) , (20 ; 45) , (45 ; 20) , (180 ; 5)}
⭐ الفرق الوحيد عن المثال السابق هو الخطوة 2: في المجموع يخرج العامل مرّة واحدة، و في الجداء يخرج مرّتين — فالتبسيط بمربّعه، لا به. ⛔ و هنا الفرز يعمل فعلا: خمس تفكيكات من التسع سقطت. قارن بالمثال 3 حيث لم تسقط واحدة، و السبب أنّ 11 أوّلي بينما 36 كثير القواسم.
مثال 5: عددان سالبان

العددان سالبان معا، و القاسم المشترك الأكبر عدد طبيعي دائما.

🎯المطلوب: احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين ⁦−1440⁩ و ⁦−448⁩.

🔹الخطوة 1: المرور إلى القيمة المطلقة

التعريف في ℤ يمرّ بالقيمتين المطلقتين، فنتخلّص من الإشارتين أوّلا.

PGCD(−1440 ; −448) = PGCD(|−1440| ; |−448|) = PGCD(1440 ; 448)
🔹الخطوة 2: إخراج العامل المشترك

نلاحظ عاملا مشتركا: كلا العددين مضاعف للعدد 32.

1440 = 32 × 45 ; 448 = 32 × 14
🔹الخطوة 3: تطبيق الخاصية

نطبّق الخاصية الأولى بوضع العامل يساوي اثنين و ثلاثين.

PGCD(1440 ; 448) = 32 × PGCD(45 ; 14)
🔹الخطوة 4: قسمات إقليدس

نجري خوارزمية إقليدس على العددين الصغيرين.

45 = 14 × 3 + 3 ; 14 = 3 × 4 + 2 ; 3 = 2 × 1 + 1 ; 2 = 1 × 2 + 0
🔹الخطوة 5: قراءة آخر باق

آخر باق غير معدوم هو الواحد، فالعاملان أوليان فيما بينهما و الشرط محقّق.

PGCD(45 ; 14) = 1
✅النّتيجة

نعوّض في نتيجة الخطوة الثالثة.

PGCD(−1440 ; −448) = 32 × 1 = 32
⭐ الخطوة 5 ليست زائدة. هي التي تثبت أنّ 32 هو الأكبر و ليس نصفه: لو خرج القاسم المشترك الأكبر للعاملين 2 مثلا لكان الجواب 64. ⚖️ و لاحظ أنّ إخراج العامل 32 لم يُخترع: نقسم العددين على 2 معا مرّة بعد مرّة، فبعد خمس قسمات يصير الأوّل 45 و هو فرديّ فنتوقّف، و جداء خمسة عوامل تساوي 2 هو 32.
مثال 6: القيمة المطلقة على العامل، و حالة القسمة التامّة

حالتان تختبران التمديد إلى ℤ: عددان سالبان بعامل مشترك سالب، ثمّ عددان أحدهما يقسم الآخر.

🎯المطلوب: احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين ⁦−45⁩ و ⁦−30⁩، ثمّ للعددين ⁦−72⁩ و 12.

🔹الخطوة 1: عامل مشترك سالب

في الحالة الأولى نُخرج عاملا مشتركا سالبا عمدا، لنرى أثر القيمة المطلقة.

−45 = (−15) × 3 ; −30 = (−15) × 2
🔹الخطوة 2: تطبيق خاصية التمديد

خاصية الضرب في ℤ تضع القيمة المطلقة على العامل.

PGCD(−45 ; −30) = |−15| × PGCD(3 ; 2) = 15 × PGCD(3 ; 2)
🔹الخطوة 3: العاملان الباقيان

العددان 3 و 2 متتاليان، و قسمة واحدة تكفي لإثبات أوليّتهما فيما بينهما.

3 = 2 × 1 + 1 ⟹ PGCD(3 ; 2) = 1
🔹الخطوة 4: قابلية القسمة

في الحالة الثانية نلاحظ قبل كلّ حساب أنّ 12 يقسم العدد الآخر.

−72 = 12 × (−6) ⟹ 12 | (−72)
🔹الخطوة 5: تطبيق الملاحظة

الملاحظة تعطي الجواب مباشرة: القاسم المشترك الأكبر هو القيمة المطلقة للقاسم.

PGCD(−72 ; 12) = |12| = 12
✅النّتيجة

فالجوابان، و كلاهما عدد طبيعي.

PGCD(−45 ; −30) = 15 × 1 = 15 ; PGCD(−72 ; 12) = 12
⭐ الحالة الثانية تُحلّ في سطر إذا رأيت القسمة التامّة. قبل أن تشرع في خوارزمية إقليدس، اسأل: هل أحد العددين يقسم الآخر؟ إن نعم فالجواب هو القيمة المطلقة للعدد الذي يقسم الآخر، و انتهى التمرين. ⛔ و لا تكتب أبدا ناقص 15 أو ناقص 12: النتيجة عدد طبيعي مهما كانت الإشارات.
⛔ في الباكالوريا يأتي هذا الدرس في ثلاث صور، و كلّها من الخاصية الثانية: ① «عيّن كلّ الثنائيات حيث مجموعها كذا و قاسمها المشترك الأكبر كذا» — أربع خطوات، و العلامة كلّها في شرط الأولية فيما بين؛ ② «بيّن أنّ العددين أوليان فيما بينهما» — يكفي أن تنتهي خوارزمية إقليدس بباق يساوي 1؛ ③ «استنتج قيم n التي من أجلها يكون الكسر قابلا للاختزال» — و هي الصورة نفسها متنكّرة، لأنّ كسرا يُختزل معناه قاسم مشترك يفوق الواحد. و في الثلاث، اكتب الكتابة المختزلة صراحة: المصحّح ينقّط الخطوة، لا الجواب وحده.
الخلاصة: فكرة واحدة تحكم الدرس كلّه — الضرب في عدد يضرب القاسم المشترك الأكبر في العدد نفسه. منها تخرج طريقة إخراج عامل مشترك قبل أيّ حساب، و منها يخرج المعيار الذي يقول متى يكون قاسم مشترك هو الأكبر: نقسم عليه، فإن بقي في العاملين قاسم مشترك يفوق الواحد فلم يكن الأكبر. و لمّا نمرّ إلى الأعداد النسبية لا يتغيّر شيء سوى قيمة مطلقة توضع على العامل و على النتيجة. و مسائل الثنائيات كلّها تطبيق واحد لهذا المعيار في أربع خطوات.

Page 1/13

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net