الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
المجموعة ℂ، الشكل الجبري و العمليات الحسابية
الجواب في جملة واحدة: نوسّع. نضيف إلى الأعداد الحقيقية عددا جديدا واحدا، نرمز له بالحرف i، و نفرض عليه شرطا واحدا: مربّعه يساوي −1. ثمّ نترك قواعد الحساب المعروفة تعمل كما هي. من هذا الشرط الوحيد تولد مجموعة جديدة تسمّى مجموعة الأعداد المركّبة، تحتوي الأعداد الحقيقية كلّها و تزيد عليها، و فيها تصير المعادلة z² = −1 معادلة عادية لها حلّان.
- كتابة عدد مركّب على الشكل الجبري و تسمية جزأيه
- تعيين الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي لعدد مركّب معطى
- التمييز بين عدد حقيقي و عدد تخيلي صرف انطلاقا من كتابته الجبرية
- استعمال شرط تساوي عددين مركّبين في تعيين مجهولين حقيقيين
- إجراء الجمع و الجداء في ℂ دون تخطّي الخطوة التي تعوّض i² بـ −1
- حساب كلّ قوّة للعدد i مهما كان أسّها الطبيعي
- النشر و التحليل و المتطابقات الشهيرة في مجموعة الأعداد الحقيقية
- الحساب على الجذور التربيعية مثل √2 و √3، و جمع الكسور
- القسمة الإقليدية لعدد طبيعي على 4: الحاصل و الباقي
1. العدد المركّب و المجموعة ℂ
نبدأ بالعدد الجديد نفسه. لا نبني i و لا نفسّره: نضع له خاصّية واحدة، و كلّ ما يأتي بعد ذلك يُستنتج منها. و هذه الخاصّية هي التي تجعل الحساب في المجموعة الجديدة ممكنا.
هذا هو السطر الوحيد الذي يجب حفظه في هذا الدرس. كلّ حساب يأتي بعده ليس إلاّ حسابا عاديا يُستعمل فيه هذا التعويض في المكان المناسب.
و الآن نعرّف الأعداد الجديدة. كلّ عدد مركّب يُكتب بواسطة عددين حقيقيين اثنين و العدد i، و لا شيء غير ذلك.
نسمّي عددا مركّبا كلّ عدد z يُكتب على هذا الشكل حيث x و y عددان حقيقيان. و هذه الكتابة تسمّى الشكل الجبري للعدد المركّب z.
نرمز إلى مجموعة الأعداد المركّبة بالرمز ℂ. و انتبه إلى نقطة تُنسى بسرعة: الجزء التخيلي y عدد حقيقي، هو معامل i وحده دون i. فالجزء التخيلي للعدد 3 + 5i هو 5، لا 5i.
و تسمية العدد تتبع جزأيه:
- إذا انعدم الجزء التخيلي y بقي الجزء الحقيقي وحده، و نقول إنّ z عدد حقيقي
- إذا انعدم الجزء الحقيقي x بقي الجزء التخيلي وحده، و نقول إنّ z عدد تخيلي صرف (و يقال أيضا تخيلي محض أو تخيلي بحت)
- و يكون z معدوما إذا و فقط إذا كان جزؤه الحقيقي معدوما و جزؤه التخيلي معدوما معا
لاحظ أنّ شرطا واحدا لا يكفي: العدد 3 ليس معدوما رغم أنّ جزأه التخيلي معدوم، و العدد 3i ليس معدوما رغم أنّ جزأه الحقيقي معدوم.
نعتبر العدد المركّب z المكتوب على الشكل الجبري z = 3 − 11i.
🎯المطلوب: عيّن الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي للعدد z، ثمّ حدّد طبيعته.
نبدأ بردّ الكتابة إلى الشكل النموذجي حتّى تظهر الإشارتان بوضوح: نكتب الطرح على صورة جمع لعدد سالب.
الجزء الحقيقي هو المعامل الذي لا يرافق i.
الجزء التخيلي هو معامل i، بإشارته، و بدون i.
الجزءان معا غير معدومين، فالعدد ليس حقيقيا و ليس تخيليا صرفا.
و نرتّب في الجدول التالي أربعة أعداد يقترحها الدرس، مع جزأيها و طبيعة كلّ واحد منها. اقرأ الصفّ الأخير خاصّة: عدد حقيقي هو أيضا عدد مركّب، جزؤه التخيلي معدوم.
| العدد المركّب z | الجزء الحقيقي x | الجزء التخيلي y | طبيعته |
|---|---|---|---|
| 2 + 8i | 2 | 8 | ليس حقيقيا و ليس تخيليا صرفا |
| 3 − 11i | 3 | −11 | ليس حقيقيا و ليس تخيليا صرفا |
| 4i | 0 | 4 | تخيلي صرف |
| −2 | −2 | 0 | حقيقي |
2. متى يتساوى عددان مركّبان؟
في مجموعة الأعداد الحقيقية، المساواة بين عددين معلومة و لا تحتاج تعريفا. أمّا هنا فالعدد المركّب يحمل معلومتين اثنتين لا معلومة واحدة، و لذلك يحتاج التساوي إلى شرطين اثنين.
الفاصلة المنقوطة تعني «و»: يجب أن يتحقّق الشرطان معا. عددان مركّبان متساويان إذا و فقط إذا كان لهما نفس الجزء الحقيقي و نفس الجزء التخيلي.
و لهذا الشرط نتيجة عملية مهمّة جدّا: معادلة واحدة بين عددين مركّبين تعطي معادلتين حقيقيتين. هذه هي الآلة التي سنستعملها في كلّ الدروس القادمة، من الجذور التربيعية إلى مجموعات النقط. و منها نستنتج كذلك أنّ الشكل الجبري لعدد مركّب وحيد: لو كان العددان المركّبان متساويين لزم أن يتساوى الجزءان الحقيقيان و أن يتساوى الجزءان التخيليان.
x و y عددان حقيقيان، و نضع z = x² + y(1 + i) − i.
🎯المطلوب: اكتب z على الشكل الجبري، ثمّ عيّن الشرط الذي يجعل z عددا حقيقيا.
ننشر أوّلا الجداء y(1 + i) حتّى تنفصل الحدود.
نجمع الحدود التي لا تحمل i من جهة، و التي تحمله من جهة أخرى.
صار z مكتوبا على الشكل الجبري، فنقرأ جزأيه مباشرة.
و معامل i هو الجزء التخيلي.
يكون z حقيقيا إذا و فقط إذا انعدم جزؤه التخيلي.
نحلّ هذه المعادلة الحقيقية البسيطة.
نبقى مع العدد نفسه z = x² + y(1 + i) − i المكتوب على الشكل الجبري z = ( x² + y ) + i( y − 1 ).
🎯المطلوب: عيّن العلاقة بين x و y التي تجعل z عددا تخيليا صرفا.
يكون z تخيليا صرفا إذا و فقط إذا انعدم جزؤه الحقيقي.
نعزل y في هذه المعادلة الحقيقية.
و نتحقّق: بتعويض y بـ −x² يصير الجزء الحقيقي معدوما فعلا.
فيبقى من z جزؤه التخيلي وحده.
3. جمع عددين مركّبين
قواعد الحساب المعروفة في مجموعة الأعداد الحقيقية تبقى صحيحة كما هي في ℂ: التجميعية، التبديلية، و توزيعية الضرب على الجمع. و لذلك لا نتعلّم حسابا جديدا، بل نطبّق الحساب القديم على كتابة فيها الحرف i.
نجمع الجزأين الحقيقيين من جهة، و الجزأين التخيليين من جهة أخرى — تماما كما نجمع شعاعين بجمع فاصلتيهما ثمّ ترتيبتيهما. لا تحفظ هذا الدستور: انشر و اجمع الأشباه.
🎯المطلوب: احسب مجموع العددين 2 − i و −7 + 4i، و اكتب النتيجة على الشكل الجبري.
نضع العددين أحدهما إلى جانب الآخر.
نرفع الأقواس: الجمع لا يغيّر الإشارات.
نجمع الحدود التي لا تحمل i.
ثمّ نجمع معاملي i.
و نعيد تركيب الشكل الجبري.
4. جداء عددين مركّبين، و الخطوة التي لا تُقفز
الجداء أيضا ينشر كما تنشر جداء عبارتين حقيقيتين. الفرق الوحيد يظهر في الحدّ الذي يحمل i². و هناك بالضبط تُستعمل الخاصّية الوحيدة التي وضعناها في أوّل الدرس.
هذا الدستور نتيجة النشر لا قاعدة تُحفظ: ننشر جداء الشكلين الجبريين فنحصل على أربعة حدود، أحدها يحمل i²، ثمّ نعوّض i² بـ −1 فيصير ذلك الحدّ سالبا: و هذا هو أصل الإشارة السالبة في الجزء الحقيقي.
🎯المطلوب: احسب جداء العددين 3 − 2i و −4 − 7i، و اكتب النتيجة على الشكل الجبري.
نضع الجداء كما هو.
ننشر بالتوزيعية المضاعفة: كلّ حدّ من القوس الأوّل في كلّ حدّ من الثاني.
و هنا الخطوة الحاسمة: نعوّض i² بـ −1، فيصير الحدّ 14i² عددا حقيقيا سالبا.
نعيد كتابة السطر بعد التعويض.
نجمع الحدود الحقيقية.
ثمّ معاملي i.
و نعيد تركيب الشكل الجبري.
5. قوى عدد مركّب و الحسابات المركّبة
لا شيء جديد في رفع عدد مركّب إلى قوّة: هو جداء متكرّر. لكنّ التنظيم الجيّد للحساب يوفّر عليك أسطرا كثيرة و أخطاء أكثر. القاعدة العملية: جزّئ القوّة الكبيرة إلى مربّعات، و احسب المربّع مرّة واحدة.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب z₁ = ( 1 − i )⁴ على الشكل الجبري.
بدل أن ننشر أربع مرّات، نكتب القوّة الرابعة على صورة مربّع المربّع.
نحسب المربّع مرّة واحدة بالمتطابقة الشهيرة.
نعوّض i² بـ −1 في هذا السطر.
ثمّ نضرب النتيجة في نفسها.
و نعوّض i² مرّة أخيرة.
فنجد عددا حقيقيا، و هذا ممكن تماما.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب z₃ = ( −7 − 2i )( 6 − 4i )² على الشكل الجبري.
نبدأ بالمربّع وحده، فهو أصغر حسابا.
نعوّض i² بـ −1 في الحدّ الأخير.
و نجمع الحدود الحقيقية داخل المربّع.
الآن نضرب في العامل الأوّل، بالتوزيعية المضاعفة.
نعوّض i² مرّة أخيرة.
نجمع الحدود الحقيقية.
ثمّ معاملي i.
و نعيد تركيب الشكل الجبري.
نعتبر العدد z₂ = ( −2 + i√3 )( 3 − 5i ) + ( 1 − 1/2 i )( 3/2 + 4i ). نحسب كلّ جداء على حدة ثمّ نجمع.
🎯المطلوب: اكتب العدد المركّب z₂ على الشكل الجبري.
ننشر الجداء الأوّل.
نعوّض i² بـ −1 في الحدّ الأخير، فيصير موجبا.
و نرتّب الجداء الأوّل على الشكل الجبري.
ثمّ ننشر الجداء الثاني.
نعوّض i² هنا أيضا.
و نرتّب الجداء الثاني على الشكل الجبري.
نجمع الجزأين الحقيقيين للجداءين.
ثمّ الجزأين التخيليين.
و نجمع الكلّ في كتابة واحدة.
6. قوى العدد i: دورة طولها أربعة
قوى i ليست عشوائية: هي تدور. نحسب الأولى منها بالتعريف وحده، ثمّ نلاحظ أنّ كلّ شيء يعيد نفسه بعد أربع خطوات.
🎯المطلوب: اكتب على الشكل الجبري كلاّ من i³ و i⁴.
نفكّك i³ إلى i² في i.
نعوّض i² بـ −1.
فنحصل على المقابل للعدد i.
و نفكّك i⁴ إلى جداء مربّعين.
نعوّض المربّعين معا.
و نجد الواحد: هنا تُغلق الدورة.
و بالمواصلة على المنوال نفسه نتمّ القوى الثماني الأولى، فنرى الدورة بالعين المجرّدة.
| الأسّ n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| قيمة القوّة | i | −1 | −i | 1 | i | −1 | −i | 1 |
و ما دام كلّ عدد طبيعي n يُكتب على أحد الأشكال الأربعة 4k أو 4k + 1 أو 4k + 2 أو 4k + 3 حيث k عدد طبيعي، فإنّ القوى كلّها تُختصر في أربع حالات لا خامسة لها.
لأنّ i⁴k يساوي ( i⁴ )k، و قد رأينا أنّ i⁴ = 1، و 1 مرفوعا إلى أيّ قوّة يبقى 1.
نفصل عاملا واحدا: القوّة i⁴k⁺¹ تساوي i⁴k في i، أي 1 في i.
نفصل مربّعا: القوّة i⁴k⁺² تساوي i⁴k في i²، أي 1 في −1.
نفصل مكعّبا: القوّة i⁴k⁺³ تساوي i⁴k في i³، أي 1 في −i.
🎯المطلوب: احسب i⁷ باستعمال القسمة الإقليدية للأسّ على 4.
نقسم الأسّ على 4 و نكتب القسمة الإقليدية كاملة.
إذن الباقي هو 3، و نحن في الحالة الرابعة.
نفصل القوّة إلى جزء دوري و جزء متبقّ.
نعوّض i⁴ بـ 1.
و i³ يساوي −i كما حسبناه في المثال 9.
Page 1/15
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net