الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
معادلات يؤول حلها إلى معادلة من الدرجة الثانية
الجواب في جملة واحدة: لا نبحث عن دستور جديد، بل نُنقص الدرجة. فإذا عرفنا جذرا واحدا لكثير الحدود، انفصل منه عامل من الدرجة الأولى، و بقي كثير حدود درجته أقلّ بواحد. و إذا عرفنا عاملا من الدرجة الثانية، بقي عامل آخر من الدرجة الثانية. و في الحالتين ننتهي إلى ما نعرف حلّه. هذا الدرس يبني هذا الطريق مرّتين: مرّة على معادلة من الدرجة الرابعة، و مرّة على معادلة من الدرجة الثالثة.
- التحقّق من أنّ عددا مركّبا معطى هو جذر لكثير حدود، بالتعويض خطوة خطوة
- تفكيك كثير حدود إلى جداء عاملين انطلاقا من عامل معطى، بالمطابقة
- حلّ معادلة من الدرجة الرابعة بردّها إلى معادلتين من الدرجة الثانية
- حلّ معادلة من الدرجة الثالثة يقبل كثير حدودها جذرين مترافقين
- كتابة مجموعة الحلول كاملة، و التحقّق من كلّ جذر قبل تسليم الجواب
- حلّ معادلة من الدرجة الثانية في ℂ بالمميّز، بمعاملات مركّبة أو حقيقية
- تعيين الجذرين التربيعيين لعدد مركّب معلوم
- إجراء العمليات على الأعداد المركّبة، و تعويض i² بالعدد −1
- مرافق عدد مركّب، و أنّ مرافق العدد الحقيقي هو نفسه
1. الفكرة الواحدة: جذر معلوم يعني عاملا منفصلا
كلّ ما في هذا الدرس يخرج من ملاحظة واحدة تعرفها من الدرجة الثانية. هناك، لمّا كان z′ و z″ حلّي المعادلة، كتبنا كثير الحدود جداء عاملين. و الشيء نفسه يصحّ في أيّ درجة: الجذر يُخرج عامله.
هذه هي الملاحظة التي رأيتها في درس المعادلات من الدرجة الثانية. اقرأها في الاتّجاه المعاكس: كلّ جذر يترك خلفه عاملا من الدرجة الأولى، و ما يبقى هو كثير حدود درجته أنقص.
⭐ هذا هو محور الدرس كلّه. جذر واحد معلوم يحوّل مسألة من الدرجة الرابعة إلى مسألة من الدرجة الثالثة، و مسألة من الدرجة الثالثة إلى مسألة من الدرجة الثانية.
و من هنا تأتي بنية كلّ تمرين من هذا النوع، و هي دائما البنية نفسها. الأسئلة الأولى تعطيك جذرا أو عاملا، ثمّ يأتي سؤال التفكيك، ثمّ سؤال الحلّ. فإذا طُلب منك في بداية التمرين أن تحسب قيمة كثير الحدود عند عدد معيّن، فاعلم أنّ ذلك ليس تمرينا على الحساب: إنّه الجذر الذي سيفتح لك الباب.
2. الحالة الأولى: معادلة من الدرجة الرابعة
نعمل على كثير الحدود الآتي، للمتغيّر المركّب z. لاحظ منذ الآن أنّ معاملاته مركّبة لا حقيقية: المعامل الذي أمام المربّع يحمل i، و الذي أمام الحدّ ذي الدرجة الأولى يحمله كذلك. هذه ملاحظة مهمّة سنعود إليها، لأنّها تمنع علينا حيلة الجذور المترافقة التي سنستعملها في الحالة الثانية.
الدرجة أربعة، و المعاملات مركّبة. لا دستور يحلّ هذه المعادلة مباشرة؛ الطريق الوحيد هو التفكيك.
و الموضوع يقدّم لنا عاملا من الدرجة الثانية جاهزا، و يطلب منّا العامل الآخر. هذا هو المدخل: عامل معطى، و عامل مجهول، و جداؤهما هو f.
ليس علينا أن نبحث عنه: الموضوع يعطيه. و لاحظ أنّ درجته 2 و درجة f هي 4، فدرجة العامل الآخر هي 2 أيضا.
ثلاثة مجاهيل مركّبة، و طريقة واحدة لتعيينها: المطابقة. ننشر الجداء، ثمّ نطابق معاملات القوى المتماثلة مع معاملات f.
نأخذ كثير الحدود f من الفقرة السابقة، و نجرّب فيه العدد الحقيقي −3.
🎯المطلوب: احسب f(−3)، و استنتج ما إذا كان العدد −3 جذرا لكثير الحدود f.
نعوّض z بالعدد −3 في الحدّ ذي الدرجة الرابعة. القوّة زوجية، فالنتيجة موجبة.
ثمّ الحدّ ذو الدرجة الثانية: نحسب المربّع أوّلا.
و نضربه في المعامل 4i.
ثمّ الحدّ ذو الدرجة الأولى: ننشر الجداء 12(1 + i) أوّلا.
و نضرب في العدد −3.
نجمع الحدود الأربعة، الحدّ الثابت −45 داخل في الجمع كما هو.
نجمع الأجزاء الحقيقية وحدها: 81 ناقص 36 ناقص 45.
ثمّ الأجزاء التخيلية: 36i و −36i متعاكسان.
الجزءان معدومان معا، و العدد المركّب معدوم إذا و فقط إذا انعدم جزآه.
نجرّب الآن في كثير الحدود f نفسه العدد التخيلي الصرف 3i.
🎯المطلوب: احسب f(3i)، و بيّن أنّ العدد 3i جذر لكثير الحدود f.
نبدأ بمربّع العدد 3i، و هنا يظهر i².
⭐ و الآن نعوّض i² بالعدد −1. هذه الخطوة لا تُقفز أبدا.
و القوّة الرابعة هي مربّع المربّع.
ثمّ الحدّ ذو الدرجة الثانية: نضرب المعامل 4i في المربّع الذي وجدناه.
ثمّ الحدّ ذو الدرجة الأولى: ننشر الجداء.
و نعوّض i² مرّة أخرى بالعدد −1.
نجمع الحدود الأربعة.
الأجزاء الحقيقية أوّلا.
ثمّ الأجزاء التخيلية.
الجزءان معدومان.
3. تعيين العامل الآخر بالمطابقة
عندنا الآن جذران: −3 و 3i. و عندنا عامل من الدرجة الثانية أعطاه الموضوع. الخطوة التالية هي تعيين العامل الثاني g. و الطريقة هي المطابقة: ننشر الجداء المطلوب، ثمّ نساوي معاملات القوى المتماثلة على الطرفين. عددان مركّبان متساويان لهما الجزء الحقيقي نفسه و الجزء التخيلي نفسه، و كثيرا حدود متساويان لهما المعاملات نفسها، قوّة بقوّة.
و قبل النشر، سطر واحد يختصر ثلث العمل: حدّ الدرجة الرابعة و الحدّ الثابت يُقرآن مباشرة. فمعامل أقوى قوّة في جداء كثيري حدود هو جداء معاملي أقوى قوّة فيهما؛ و الحدّ الثابت في الجداء هو جداء الحدّين الثابتين. هاتان قراءتان مباشرتان، بلا نشر.
معامل z⁴ في الجداء هو جداء معاملي z² في العاملين، أي a في 1. و في f هو 1، لأنّ الحدّ مكتوب z⁴ بلا معامل ظاهر.
نتيجة مباشرة من السطر السابق. و هذا معقول: كثير الحدود f معامله الأقوى 1، و العامل المعطى كذلك، فالعامل الثالث لا يمكن أن يكون إلّا معامله الأقوى 1.
الحدّ الثابت في جداء كثيري حدود هو جداء حدّيهما الثابتين، لا أكثر. نضع القيمتين و نحلّ معادلة من الدرجة الأولى في c.
نعلم أنّ f يساوي جداء العامل المعطى في كثير حدود g من الدرجة الثانية. ننشر هذا الجداء و نطابق معاملات القوى المتماثلة.
🎯المطلوب: عيّن كثير الحدود g بحيث يكون f يساوي جداء g في العامل المعطى.
نبدأ بالحدّ الثابت: نقسم طرفي المعادلة السابقة على العدد −9i.
نبسّط العددين: 45 على 9 يساوي 5، و الإشارتان السالبتان تتلاشيان.
⭐ لا نترك i في المقام أبدا: نضرب البسط و المقام في i.
و المقام صار i²، أي العدد −1.
فنحصل على قيمة الحدّ الثابت.
بقي المعامل b. نطابق معاملات z³. في الجداء، حدّ الدرجة الثالثة يأتي من ضرب z² في (3 − 3i)z و من ضرب b z في z².
و معامل z³ في f معدوم، لأنّ f لا يحتوي حدّا من الدرجة الثالثة. نعزل b.
نجمع القيم الثلاث في كتابة واحدة.
4. من التفكيك إلى مجموعة الحلول
صار كثير الحدود f جداء عاملين من الدرجة الثانية. و الجداء معدوم إذا و فقط إذا انعدم أحد عامليه: هذه هي الخاصية التي تفتح الحلّ. فبدل معادلة واحدة من الدرجة الرابعة، صار عندنا معادلتان من الدرجة الثانية، تُحلّ كلّ واحدة منهما بالمميّز.
هذه هي المعادلة f(z) = 0 مكتوبة على شكل جداء. الجداء معدوم يعني أنّ أحد العاملين على الأقلّ معدوم، فنفصل حالتين.
و العامل المعطى انتهى أمره: جذراه هما العددان اللذان جرّبناهما في المثالين 1 و 2. فالعددان اللذان بيّنّا أنّهما جذران لكثير الحدود f هما في الحقيقة جذرا هذا العامل، و يمكنك التحقّق من ذلك بتعويضهما فيه وحده. يبقى إذن العامل g.
تعويض العدد −3 في العامل المعطى وحده: الحدود تتلاشى مثنى مثنى، فالنتيجة معدومة. و التعويض بالعدد 3i يعطي النتيجة نفسها.
نحلّ الآن المعادلة g(z) = 0، حيث g هو كثير الحدود الذي عيّنّاه في المثال 3. معاملاته مركّبة، لكنّ دستور المميّز يشتغل في ℂ مهما كانت المعاملات.
🎯المطلوب: حلّ في المجموعة ℂ المعادلة ذات المجهول z التي كثير حدودها هو g.
نقرأ المعاملات الثلاثة على كتابة g، و نحسب مربّع المعامل الأوسط.
⭐ نعوّض i² بالعدد −1، فيصير الحدّ الأخير −9.
ثمّ الجزء الثاني من المميّز: أربعة أمثال جداء المعامل الأوّل في الحدّ الثابت.
نطرح، فنحصل على المميّز.
المميّز غير معدوم، فالمعادلة تقبل حلّين متمايزين. نبحث عن جذر تربيعي له، أي عن عدد مربّعه 2i. نجرّب العدد 1 + i و ننشر مربّعه.
و نعوّض i² بالعدد −1: الحدّان 1 و −1 يتلاشيان.
فالعدد 1 + i جذر تربيعي للمميّز. نضعه ω و نكتب الحلّ الأوّل.
نجمع في البسط ثمّ نقسم على 2.
ثمّ الحلّ الثاني، بالإشارة المعاكسة أمام ω.
نجمع في البسط ثمّ نقسم على 2.
المعادلة f(z) = 0 صارت جداء عاملين معدوما. نجمع الآن جذور العاملين معا.
🎯المطلوب: اكتب مجموعة حلول المعادلة f(z) = 0 في ℂ، ثمّ تحقّق من الحلّين الأخيرين.
نجمع أوّلا جذري العامل المعطى، و هما العددان اللذان تحقّقنا منهما في المثالين 1 و 2.
ثمّ جذري العامل g، و هما ما وجدناه في المثال 4.
و نتحقّق من الجذرين الأخيرين بخاصيتي المجموع و الجداء، دون إعادة الحساب كلّه. مجموع حلّي معادلة من الدرجة الثانية يساوي معاكس المعامل الأوسط مقسوما على الأوّل.
و هو فعلا معاكس المعامل −3 + 3i، فالتحقّق الأوّل يمرّ. ثمّ الجداء: ننشره.
⭐ نعوّض i² بالعدد −1.
و هو فعلا الحدّ الثابت للعامل g، فالتحقّق الثاني يمرّ أيضا.
نجمع الجذور الأربعة في مجموعة واحدة.
5. الحالة الثانية: معادلة من الدرجة الثالثة و جذران مترافقان
ننتقل إلى موضوع ثان، من الدرجة الثالثة هذه المرّة. و الفكرة هي نفسها — إنقاص الدرجة — لكنّ المدخل يختلف: هنا يطلب الموضوع أوّلا أن نُثبت وجود جذرين مترافقين. و هذه صيغة تستحقّ التوقّف، لأنّها تقول لك بأيّ عامل تبدأ.
الدرجة ثلاثة، و المعاملات مركّبة كذلك: فيها i√2 في ثلاثة مواضع. لا تحاول تطبيق دستور: ابحث عن العامل.
و الطريق إذن واضح: نبحث عن الجذر الذي يحمل i√2، فننزع عامله من الدرجة الأولى، فيبقى كثير حدود من الدرجة الثانية. و إن كانت معاملاته حقيقية و مميّزه سالبا، فجذراه مترافقان — و تلك هي الجملة التي يطلبها السؤال الأوّل.
نشتغل على كثير الحدود f من الدرجة الثالثة. الموضوع يقترح العدد i√2، و يطلب إثبات وجود جذرين مترافقين ثمّ حلّ المعادلة.
🎯المطلوب: بيّن أنّ العدد i√2 جذر لكثير الحدود f، ثمّ حلّ في ℂ المعادلة f(z) = 0.
نجرّب العدد i√2. نبدأ بمربّعه: يظهر i² و يظهر مربّع الجذر.
⭐ نعوّض i² بالعدد −1.
ثمّ المكعّب: نضرب المربّع في العدد نفسه.
نحسب الحدّ ذا الدرجة الثانية: نضرب المعامل في المربّع الذي وجدناه.
ثمّ الحدّ ذا الدرجة الأولى: نضرب المعامل في العدد المجرّب، مع تعويض i² في أثناء النشر.
نجمع الحدود الأربعة، بما فيها الحدّ الثابت.
الحدود تتلاشى مثنى مثنى: −28 مع 28، و الحدود التي تحمل i√2 مجموعها معدوم.
فالعدد i√2 جذر، و ينفصل منه عامل من الدرجة الأولى. نكتب التفكيك المقترح ثمّ ننشره للتحقّق منه.
⭐ و ها هو المفتاح: العامل الثاني معاملاته حقيقية. نحسب مميّزه.
فالمميّز سالب تماما.
و جذراه التربيعيان هما 10i و −10i، لأنّ مربّع العدد 10i يساوي −100.
نكتب الحلّ الأوّل بالدستور.
ثمّ الحلّ الثاني.
العددان مترافقان فعلا: لهما الجزء الحقيقي نفسه و جزآهما التخيليان متعاكسان. نجمع الجذور الثلاثة.
| الحالة | ما يعطيه الموضوع | الخطوة الأولى | ما يبقى بعدها |
|---|---|---|---|
| الدرجة الرابعة | عامل من الدرجة الثانية | المطابقة لتعيين العامل الآخر | معادلتان من الدرجة الثانية |
| الدرجة الثالثة | جذر مقترح | التحقّق من الجذر ثمّ التفكيك | معادلة واحدة من الدرجة الثانية |
| الدرجة الثالثة بمعاملات حقيقية | جذر حقيقي أو مركّب | التحقّق من الجذر ثمّ التفكيك | معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات حقيقية |
Page 1/12
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net