الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
تحويلات نقطية كتابتها المركبة z′ = a·z̄ + b
الجواب في جملة واحدة: الأطوال تتصرّف كما كانت، و الزوايا تنقلب. المرافق لا يغيّر الطويلة، فالمسافات تبقى مضروبة في طويلة a؛ لكنّه يقلب العمدة، فالزاوية الموجهة تصير معاكسها. و هذا بالضبط ما تفعله المرآة: تحفظ الأشكال و تعكس الاتّجاه. و سنرى أنّ كلّ تحويل من هذا النوع هو فعلا تناظر عمودي يتبعه تشابه مباشر.
- التعرّف على تحويل نقطي كتابته المركبة تحمل المرافق، و تمييزه عن التشابه المباشر
- الانتقال من الكتابة المركبة إلى العبارة الديكارتية، و العودة منها إليها
- تعيين النقط الصامدة لمثل هذا التحويل
- إثبات أنّ مركّب هذا التحويل مع نفسه تشابه مباشر، و تعيين عناصره
- تفكيك التحويل إلى تناظر عمودي يتبعه تشابه مباشر، و تعيين صورة مستقيم
- مرافق عدد مركب و خواصّه: مرافق الجداء و مرافق المجموع
- أنّ التحويل الذي كتابته z′ = a z + b تشابه مباشر نسبته طويلة a
- التناظر العمودي بالنسبة إلى مستقيم، و أنّ نقط المستقيم صامدة به
1. الشكل الجديد، و الفرق بينه و بين ما سبق
العلامة فوق z تعني المرافق: نأخذ لاحقة النقطة، نستبدلها بمرافقها، ثمّ نضربها في a و نضيف b. الفرق مع الدرس السابق كلّه في هذه العلامة.
و لنرى أثر هذا التغيير، نكتب التحويل بالإحداثيات. نضع لاحقة النقطة و مرافقها، ثمّ نُجري الحساب. و ستلاحظ أنّ الفاصلة و الترتيبة تتبادلان الأدوار: هذا هو أثر المرافق.
المرافق يغيّر إشارة الجزء التخيلي وحده: النقطة تنعكس بالنسبة إلى محور الفواصل.
2. ماذا يفعل بالمسافات، و ماذا يفعل بالزوايا
هذه هي الخاصّتان اللتان تحكمان الدرس كلّه، و برهانهما سطران. نأخذ نقطتين و صورتيهما، و نحسب الفرق بين لاحقتي الصورتين.
الحدّ الثابت b يختفي عند الطرح، تماما كما في الدرس السابق. و يبقى المعامل a مضروبا في فرق المرافقين.
من خواصّ المرافق: مرافق فرق يساوي فرق المرافقين. هذه الخاصّة هي التي تسمح بجمع المرافق في مكان واحد.
نأخذ الطويلة: طويلة جداء هي جداء الطويلتين، و طويلة عدد تساوي طويلة مرافقه. فالمسافات تُضرب في طويلة a، تماما كما في التشابه المباشر.
⭐ نأخذ العمدة: عمدة مرافق عدد هي معاكس عمدته. فالزاوية الموجهة بين الشعاعين الصورتين هي معاكس الزاوية بين الشعاعين الأصليين: الاتّجاه ينقلب.
| ما ننظر إليه | في التحويل ذي المرافق |
|---|---|
| المسافات | تُضرب في طويلة المعامل |
| نسب المسافات | محفوظة |
| قياس الزاوية غير الموجهة | محفوظ |
| الزاوية الموجهة | تنقلب إلى معاكسها |
| اتّجاه شكل | ينقلب |
| مركّبه مع نفسه | تشابه مباشر |
3. النقط الصامدة: كيف نبحث عنها
معادلة النقطة الصامدة تُكتب كما في الدرس السابق، لكنّها تحمل المرافق، فلا نستطيع عزل المجهول مباشرة. و لهذا نسلك أحد طريقين، و كلاهما مقبول في الامتحان.
- الطريق الأوّل، و هو الأضمن في التمارين: نضع الإحداثيات، فتصير المعادلة المركبة جملة معادلتين حقيقيتين بمجهولين حقيقيين، و نحلّها بالتعويض
- الطريق الثاني: نأخذ مرافق المعادلة فنحصل على معادلة ثانية، ثمّ نعوّض إحداهما في الأخرى حتّى يختفي المرافق
⭐ اختفى المرافق: صارت معادلة من الدرجة الأولى في z. و الذي يقرّر عدد الحلول هو المعامل 1 − |a|²، أي مقارنة طويلة a بالواحد.
- إذا كانت طويلة المعامل تختلف عن 1، فللتحويل نقطة صامدة وحيدة
- و إذا كانت تساوي 1، فالمعادلة إمّا مستحيلة و لا نقطة صامدة، و إمّا محقّقة على مستقيم كامل من النقط: هذه الحالة خارج ما ندرسه هنا
تحويل نقطي يرفق بكلّ نقطة من المستوي لاحقتها، النقطة التي لاحقتها معطاة بالعلاقة المكتوبة أدناه، و فيها مرافق اللاحقة لا اللاحقة نفسها.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط الصامدة بهذا التحويل.
نكتب المعطى.
نسلك الطريق الأوّل: نضع الإحداثيات.
و مرافقها.
نضرب في المعامل: جداء الوحدة التخيلية في نفسها يعطي واحدا سالبا.
نضيف الحدّ الثابت، و نفصل الجزء الحقيقي عن الجزء التخيلي.
النقطة صامدة يعني أنّ فاصلة الصورة هي الفاصلة نفسها.
و ترتيبة الصورة هي الترتيبة نفسها.
نعوّض الفاصلة من الشرط الأوّل في الشرط الثاني.
ننشر: الحدّان الثابتان يتلاشيان.
نجمع في طرف واحد.
الترتيبة معدومة، فنرجع إلى الشرط الأوّل لنجد الفاصلة.
و التحقّق: مرافق العدد 2 هو 2 نفسه، لأنّه حقيقي.
نبقى مع التحويل نفسه. السؤال هنا في شقّين، و الشقّان مختلفان: الأوّل يعطي الصورة بدلالة النقطة، و الثاني يعطي النقطة بدلالة صورتها.
🎯المطلوب: عيّن إحداثيّي الصورة بدلالة إحداثيّي النقطة، ثمّ إحداثيّي النقطة بدلالة إحداثيّي صورتها.
نأخذ لاحقة الصورة كما حسبناها في المثال السابق: فاصلتها لا تحمل إلّا الترتيبة.
و ترتيبتها لا تحمل إلّا الفاصلة: هذا هو أثر المرافق، الدوران بين الدورين.
ننتقل إلى الاتّجاه المعاكس. نعزل الترتيبة من السطر الأوّل.
نقسم على 3.
ثمّ نعزل الفاصلة من السطر الثاني.
نقسم على 3 و نبسّط.
نبقى مع التحويل نفسه، و نطبّقه مرّتين متتاليتين على النقطة نفسها. المرافق يظهر مرّتين، فماذا يبقى منه؟
🎯المطلوب: عيّن طبيعة مركّب التحويل مع نفسه و عناصره الهندسية.
نكتب المعطى.
نطبّق التحويل على الصورة: نحتاج إذن مرافق لاحقة الصورة.
نحسب مرافق لاحقة الصورة: مرافق المجموع مجموع المرافقين، و مرافق المرافق هو العدد نفسه.
نعوّض.
ننشر الجداء. الحدّ الأوّل يعطي معاملا حقيقيا موجبا.
ثمّ باقي الجداء.
نجمع كلّ الحدود الثابتة.
الأجزاء التخيلية تتلاشى.
لم يبق مرافق: المركّب تشابه مباشر. معامله حقيقي موجب، فزاويته معدومة.
نبحث عن مركزه بمعادلة النقطة الصامدة.
نقسم على معامل المجهول.
نبقى مع التحويل نفسه، و ننظر هذه المرّة إلى مستقيم معطى بمعادلته الديكارتية. صورة مستقيم مستقيم، لأنّ العبارة الديكارتية للتحويل من الدرجة الأولى.
🎯المطلوب: عيّن معادلة صورة المستقيم بهذا التحويل، ثمّ تحقّق من النتيجة على نقطة.
نكتب معادلة المستقيم.
⭐ نستعمل العبارة العكسية، لأنّ المعادلة مكتوبة بإحداثيّي النقطة لا بإحداثيّي صورتها.
نعوّض في معادلة المستقيم.
نضرب المعادلة كلّها في 3 للتخلّص من المقامات.
ننشر.
نجمع الحدود الثابتة.
نضرب في واحد سالب لنجعل معامل الفاصلة موجبا.
نتحقّق على نقطة. نأخذ نقطة من المستقيم الأوّل، و نتأكّد أنّها تحقّق معادلته.
نحسب صورتها: لاحقتها حقيقية، فمرافقها هو هي.
نعوّض إحداثيّي الصورة في معادلة المستقيم الصورة.
نبقى مع التحويل نفسه. المطلوب إثبات أنّه مركّب تحويلين نعرفهما جيّدا: تناظر عمودي بالنسبة إلى حامل محور الفواصل، يتبعه تشابه مباشر.
🎯المطلوب: أثبت أنّ التحويل مركّب من تناظر عمودي يتبعه تشابه مباشر، ثمّ عيّن عناصر هذا التشابه.
نكتب التناظر العمودي بالنسبة إلى حامل محور الفواصل: هو التحويل الذي يرفق بكلّ لاحقة مرافقها.
ثمّ نطبّق على النتيجة تشابها مباشرا كتابته المركبة تحمل المعامل و الحدّ الثابت نفسيهما.
نعوّض لاحقة النقطة الوسطى.
و هي كتابة التحويل المدروس بالضبط: التفكيك صحيح.
نعيّن الآن عناصر التشابه المباشر. النسبة هي طويلة المعامل.
و زاويته عمدة المعامل: العدد تخيلي صرف و جزؤه التخيلي سالب.
و مركزه من معادلة النقطة الصامدة.
نلاحظ أنّ الطرف الأيمن ضعف معامل المجهول.
التفكيك ليس وحيدا. نقترح هذه المرّة تفكيكا آخر للتحويل نفسه: تحاك مركزه النقطة الصامدة و نسبته ثلاثة سالبة، يتبعه تناظر عمودي بالنسبة إلى مستقيم يشمل هذه النقطة و معامل توجيهه 1.
🎯المطلوب: أثبت أنّ التحويل مركّب من هذا التحاكي يتبعه هذا التناظر العمودي.
نكتب التحاكي الذي مركزه النقطة الصامدة و نسبته ثلاثة سالبة، بصورته المركزية.
ننشر و نعزل.
ننتقل إلى المستقيم الذي يشمل النقطة الصامدة و معامل توجيهه 1.
نأخذ نقطة كيفية منه، معرّفة بوسيط حقيقي.
و نكتب مرافقها.
نقترح للتناظر بالنسبة إلى هذا المستقيم الكتابة الآتية، و نتحقّق منها.
نعوّض نقطة المستقيم في هذه الكتابة: كلّ نقطة منه ترجع إلى نفسها، و هذا هو شرط التناظر.
نركّب الآن: نأخذ صورة النقطة بالتحاكي، ثمّ مرافق هذه الصورة.
نعوّض في كتابة التناظر.
ننشر.
و هي كتابة التحويل المدروس: التفكيك الثاني صحيح كذلك.
تحويل ثانٍ من النوع نفسه، بمعامل آخر و حدّ ثابت آخر. نركّبه مع الأوّل، ثمّ نعكس الترتيب، و نقارن.
🎯المطلوب: عيّن التحويلين المركّبين في الترتيبين، ثمّ قارن بينهما.
نكتب التحويل الثاني.
نبدأ بترتيب: الثاني أوّلا ثمّ الأوّل. نحسب صورة النقطة بالتحويل الثاني.
نحتاج مرافقها لأنّ التحويل الأوّل يحمل مرافقا.
نطبّق التحويل الأوّل.
ننشر الحدّ الأوّل من الجداء.
ثمّ باقي الجداء.
نجمع الحدود الثابتة.
نحسب مركزه.
نعكس الترتيب الآن: الأوّل ثمّ الثاني. الصورة الوسطى تتغيّر.
و مرافقها.
نطبّق التحويل الثاني.
ننشر الحدّ الأوّل.
ثمّ باقي الجداء.
نجمع.
نحسب مركزه بدوره.
المعاملان متساويان، و الحدّان الثابتان مختلفان: التركيبان تحويلان مختلفان.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net