الهندسة في الفضاء › المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء
توظيف الجداء السلمي لتعيين معادلة ديكارتية لمستوٍ
الجواب هو الجداء السلّمي، و لا شيء غيره. إذا كان الشعاع n عموديا على المستوي، فكلّ شعاع مرسوم داخل المستوي انطلاقا من نقطة معلومة A يكون عموديا عليه، أي أنّ جداءه في n منعدم. و هذا الانعدام، مكتوبا بالإحداثيات، هو المعادلة.
- التعرّف على شعاع ناظمي لمستو و على ما يترتّب عنه من تعامد
- البرهان على أنّ مجموعة النقط التي تحقّق انعدام الجداء السلّمي هي مستو
- كتابة معادلة ديكارتية لمستو يشمل نقطة و يقبل شعاعا ناظميا معلوما
- قراءة شعاع ناظمي مباشرة على معادلة ديكارتية لمستو
- تعيين معادلة ديكارتية لمستو معرّف بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة
- حفظ معادلات المستويات الإحداثية الثلاثة
- الحكم على توازي أو تعامد مستويين انطلاقا من شعاعيهما الناظميين
- الجداء السلّمي في الفضاء و عبارته التحليلية
- معيار التعامد: انعدام الجداء السلّمي
- الأشعة المرتبطة خطّيا و غير المرتبطة خطّيا
- حلّ جملة معادلتين خطّيتين بمجهولين
1. الشعاع الناظمي لمستو
نقول عن شعاع غير معدوم إنّه ناظمي لمستو إذا كان عموديا على شعاعين غير مرتبطين خطّيا من هذا المستوي. و الشرط «غير مرتبطين خطّيا» ليس زينة: شعاعان مرتبطان خطّيا يحملان اتّجاها واحدا، و اتّجاه واحد لا يحدّد مستويا.
يكفي التعامد على شعاعين لنكسب التعامد على الجميع، لأنّ كلّ شعاع من المستوي يُكتب بدلالة الشعاعين الأوّلين. و بالتالي كلّ مستقيم موجّه بالشعاع n هو مستقيم عمودي على المستوي.
2. المبرهنة الأساسية: نقطة و شعاع ناظمي يعيّنان مستويا
هذه هي المبرهنة التي يقوم عليها الدرس كلّه. اقرأها جيّدا: هي تقول إنّ مجموعة النقط التي تحقّق شرطا حسابيا بسيطا هي بالضبط مستو، لا أكثر و لا أقلّ.
المستوي ( P ) هنا هو المستوي الذي يشمل A و يقبل n شعاعا ناظميا له. الصعوبة في البرهان ليست في الاتّجاه المباشر، بل في العكسي.
البرهان، الاتّجاه المباشر. نفرض أنّ M نقطة من المستوي. عندئذ الشعاع AM شعاع من المستوي، و الشعاع الناظمي عمودي على كلّ شعاع من المستوي.
البرهان، الاتّجاه العكسي، و هو الجهة التي تسقط من أغلب الأوراق. نفرض هذه المرّة أنّ n.AM = 0، و نريد أن نستنتج أنّ M من المستوي. نعتبر المستقيم الذي يشمل A و يوجّهه الشعاع الناظمي، ثمّ نسمّي H مسقط M العمودي على هذا المستقيم.
علاقة شال، لا أكثر: نمرّ بالنقطة H في طريقنا من A إلى M.
⭐ هذه هي الخطوة التي يجب ألّا تُقفز: النقطة H مسقط M على المستقيم الموجّه بالشعاع n، إذن الشعاع HM عمودي على n بحكم تعريف المسقط.
النقطتان A و H من المستقيم الموجّه بالشعاع n، فالشعاع الواصل بينهما محمول على هذا الاتّجاه.
الشعاع الناظمي غير معدوم بحكم التعريف، فطويلته غير معدومة، و الجداء لا ينعدم إلّا بانعدام العامل الآخر.
و ما دام مسقط M العمودي على المستقيم هو A نفسها، فالشعاع AM عمودي على الشعاع الناظمي، أي أنّ M تنتمي إلى المستوي الذي يشمل A و يقبل n شعاعا ناظميا. الاتّجاهان محقّقان، و المجموعتان متساويتان.
3. من المبرهنة إلى المعادلة
ننسب الفضاء الآن إلى معلم متعامد و متجانس، و نكتب المبرهنة بالإحداثيات. هنا يظهر الشكل الذي ستستعمله في كلّ تمرين.
⭐ معاملات المعادلة هي إحداثيات الشعاع الناظمي: هذه الجملة وحدها تختصر نصف تمارين الباب، لأنّها تسمح بقراءة الشعاع الناظمي على المعادلة بالعين.
البرهان. ننطلق من المبرهنة السابقة و نكتبها بالإحداثيات، مع نقطة معلومة من المستوي.
الحدّ الثابت ليس عددا يسقط من السماء: هو محسوب من النقطة المعلومة و من الشعاع الناظمي، و لا شيء غيرهما.
و العكس صحيح كذلك: كلّ معادلة من هذا الشكل، بشرط أن تكون المعاملات الثلاثة غير معدومة معا، تمثّل مستويا شعاعه الناظمي هو الشعاع ذو الإحداثيات الثلاثة.
نبرهن على العكس. نأخذ معادلة من هذا الشكل، و نفرض مثلا أنّ المعامل الأوّل غير معدوم (و إلّا اخترنا معاملا آخر غير معدوم، و الأمر لا يتغيّر).
نعوّض: العبارة تعطي a × (−d/a) + 0 + 0 + d، أي −d + d = 0. النقطة تنتمي فعلا إلى المجموعة.
العامل a يضرب الكسر فيعطي d بالضبط. إذن انتماء M إلى المجموعة يكافئ انعدام هذا الجداء، و بالمبرهنة السابقة المجموعة مستو.
هذا هو التمرين الأساسي للباب: من نقطة و شعاع ناظمي إلى معادلة، في ثلاثة أسطر.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يشمل النقطة A و يقبل الشعاع المعطى شعاعا ناظميا له.
نكتب مباشرة شرط التعامد بين الشعاع الناظمي و الشعاع الواصل بين النقطة الثابتة و النقطة المتحرّكة.
نضرب في ناقص واحد لنجعل المعامل الأوّل غير المعدوم موجبا: هذا لا يغيّر المستوي.
قبل الكلام عن معادلة مستو معرّف بثلاث نقط، يجب التأكّد من أنّ هذه النقط تعيّن مستويا فعلا.
🎯المطلوب: بيّن أنّ النقط الثلاث تعيّن مستويا.
لو كان الشعاعان مرتبطين خطّيا لكانت كلّ إحداثية من الثاني حاصل ضرب الأولى في نفس العدد. الفاصلتان متساويتان، فالعدد المطلوب هو 1.
لكنّ الترتيبين لا يعطيان نفس العدد: صفر لا يساوي ناقص واحد.
هذه هي الطريقة العامّة، و هي صالحة مهما كانت النقط: نبحث عن شعاع ناظمي، ثمّ نكتب المعادلة.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يشمل النقط الثلاث السابقة.
نبقى مع نفس النقط الثلاث و مع الشعاعين اللذين حسبناهما.
الشعاع الناظمي عمودي على الشعاعين معا: هذا يعطي جملة معادلتين بثلاثة مجاهيل.
الجملة ناقصة معادلة، و هذا طبيعي: الشعاع الناظمي معرّف بجداء عدد حقيقي غير معدوم، فنختار قيمة مريحة لأحد المجاهيل.
النقط الوحدوية الثلاث للمعلم هي أشهر ثلاثية في الفضاء، و مستويها يستحقّ أن يُحفظ.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يشمل النقط الوحدوية الثلاث.
نكتب شرطي التعامد كما في المثال السابق.
نختار أبسط قيمة ممكنة.
نبقى مع المستوي السابق، و نبحث عن المستوي الذي يوازيه و يشمل مبدأ المعلم.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يوازي المستوي السابق و يشمل مبدأ المعلم.
مستويان متوازيان لهما نفس الاتّجاه، إذن نفس الشعاع الناظمي: نحتفظ به كما هو.
4. حالات خاصة تُحفظ
ثلاثة مستويات تعود في كلّ تمرين تقريبا: المستويات الإحداثية. معادلة كلّ واحد منها في سطر، و شعاعه الناظمي هو الشعاع الثالث من أشعّة الأساس.
| المستوي الإحداثي | معادلته | شعاع ناظمي له |
|---|---|---|
| المستوي الأفقي، بشعاعي الأساس الأوّلين | z = 0 | k(0 ; 0 ; 1) |
| المستوي بالشعاعين الثاني و الثالث | x = 0 | i(1 ; 0 ; 0) |
| المستوي بالشعاعين الأوّل و الثالث | y = 0 | j(0 ; 1 ; 0) |
و لمّا يكون أمامنا مستويان، نحكم على وضعهما النسبي بشعاعيهما الناظميين وحدهما، دون أيّ رسم.
مستويان معطيان بمعادلتيهما، و لا شيء غير ذلك.
🎯المطلوب: عيّن الوضع النسبي للمستويين المعطيين بمعادلتيهما.
نقرأ الشعاعين الناظميين مباشرة على المعاملات.
نبحث عن عدد حقيقي غير معدوم يربط بينهما: نقسم الإحداثيات المتقابلة.
العدد نصف، و هو غير معدوم، إذن الاتّجاهان واحد.
يبقى أن نعرف إن كانا متمايزين: نضرب المعادلة الأولى في 2 و نقارن الحدّ الثابت.
نغيّر المستوي الثاني، و نبقي على الأوّل كما هو.
🎯المطلوب: بيّن أنّ المستويين المعطيين متعامدان.
المعادلة الثانية لا تحوي المتغيّر الثالث: معامله معدوم، و هذا يعني أنّ المستوي يوازي الاتّجاه الصاعد.
Page 1/12
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net