الهندسة في الفضاء
توظيف الجداء السلمي لتعيين مجموعات نقط في الفضاء
الطريقة واحدة في كلّ التمارين، و هي في سطرين: نختصر مجموع الأشعة في شعاع واحد بواسطة نقطة ثابتة تسمّى المرجح، ثمّ نقرأ الشرط المتبقّي — إن كان «مسافة ثابتة» فالمجموعة سطح كرة، و إن كان «مسافتان متساويتان» فالمجموعة مستو. لا شيء غير ذلك.
- كتابة معادلة ديكارتية لسطح كرة معرّف بمركزه و نصف قطره
- التعرّف على سطح الكرة ذي قطر معلوم بانعدام جداء سلّمي
- تعريف مرجح جملة نقط مثقلة، و شرط وجوده
- استعمال علاقة الاختزال لتحويل مجموع أشعة إلى شعاع واحد
- تعيين مجموعة النقط التي يكون فيها طويلة مجموع أشعة ثابتة
- تعيين مجموعة النقط المتساوية البعد عن نقطتين
- البرهان على أنّ مستويا معيّنا بثلاث نقط هو مجموعة مراجيحها
- الجداء السلّمي في الفضاء و معيار التعامد
- المسافة بين نقطتين، و معادلة الدائرة في المستوي المماثلة لها
- علاقة شال و العمليات على الأشعة
- المرجح في المستوي، و مركز ثقل مثلّث
1. سطح الكرة: أوّل مجموعة نقط
سطح الكرة هو مجموعة النقط التي تبعد عن نقطة ثابتة بمسافة ثابتة. نكتب هذا الشرط بالإحداثيات، فنحصل على معادلة ديكارتية.
ليس هذا إلّا كتابة المسافة بين نقطتين، مربّعة لنتخلّص من الجذر.
و هناك طريقة ثانية لتعريف سطح كرة: بقطر معلوم. و هي التي يظهر فيها الجداء السلّمي، لأنّ الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة.
⭐ الشرط يقول إنّ الشعاعين الواصلين من النقطة إلى طرفي القطر متعامدان. و هذا يشمل الطرفين نفسيهما، لأنّ الشعاع المعدوم عمودي على كلّ شعاع.
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية لسطح الكرة الذي مركزه و نصف قطره معلومان.
نكتب شرط المسافة مربّعا.
ننقل العدد 2 إلى الطرف الأيسر: 5 ناقص 2 يساوي 3.
نعتبر سطح الكرة الذي قطره القطعة الواصلة بين النقطتين المعطاتين، ثمّ نبحث عن قيم عدد حقيقي مجهول.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية لسطح الكرة، ثمّ عيّن قيمتي العدد الحقيقي المجهول حتّى تكون النقطة ذات الإحداثيات (a ; 1 ; 0) نقطة منه.
نكتب الشعاعين انطلاقا من النقطة المتحرّكة نحو طرفي القطر.
نكتب انعدام الجداء السلّمي.
الحدّ الثالث جداء مجموع في فرق، فيعطي فرق مربّعين.
ننتقل إلى السؤال الثاني: نعوّض بإحداثيات النقطة ذات المجهول.
2. المرجح: الأداة التي تختصر مجموع الأشعة
المسائل الحقيقية لا تعطي شرطا بسيطا مثل «المسافة ثابتة»، بل شرطا على مجموع أشعة. و الأداة التي تختصر هذا المجموع في شعاع واحد هي المرجح. نبدأ بوجوده.
⭐ الشرط الوحيد هو أن يكون مجموع المعاملات غير معدوم، و بدونه لا وجود للمرجح أصلا. تحقّق منه دائما قبل أن تكتب حرف المرجح.
لمّا تتساوى المعاملات غير المعدومة يسمّى المرجح مركز ثقل الجملة. و مركز ثقل مثلّث هو نقطة تقاطع متوسّطاته، و أنت تعرفه منذ المستوي.
و الآن العلاقة التي من أجلها كتبنا كلّ هذا. هي التي تحوّل مجموع أشعة إلى شعاع واحد، و منها إلى مسافة.
⭐ هذه هي المبرهنة التي تشتغل في كلّ تمارين هذا الدرس: الطرف الأيمن فيه شعاع واحد، و طويلته مسافة. الطرف الأيسر فيه عدّة أشعة، و طويلته لا تقول شيئا.
3. التمييز بالمرجح: المستقيم و القطعة و المستوي
قبل الأمثلة، ثلاث نتائج تقول إنّ الأشكال التي تعرفها هي نفسها مجموعات مراجيح. نأخذ ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة.
- المستقيم الحامل لنقطتين هو مجموعة مراجيح هاتين النقطتين.
- القطعة الواصلة بينهما هي مجموعة مراجيحهما بمعاملين من نفس الإشارة.
- المستوي المعيّن بثلاث نقط هو مجموعة مراجيح هذه النقط الثلاث.
البرهان على الأولى. نبدأ بالاتّجاه المباشر: نفرض أنّ M مرجح للنقطتين، و نبرهن على أنّها من المستقيم.
نطبّق علاقة الاختزال بأخذ النقطة A نقطة انطلاق. الشعاعان مرتبطان خطّيا، إذن النقطة على المستقيم.
و الاتّجاه العكسي. نفرض الآن أنّ M من المستقيم، فيوجد عدد حقيقي k يحقّق ما يلي.
نضرب في ناقص واحد الشعاع الأوّل لنقلبه. و مجموع المعاملين هو (1 − k) + k، أي 1، و هو غير معدوم مهما كان k: المرجح موجود دائما.
المعاملان المطلوبان هما إذن (1 − k) للنقطة الأولى و k للنقطة الثانية، و مجموعهما يساوي 1 دائما: المرجح موجود مهما كان العدد المختار.
و بأخذ العدد k في المجال من صفر إلى واحد، يكون المعاملان من نفس الإشارة، و نحصل على القطعة لا على المستقيم كلّه. هذا هو برهان النتيجة الثانية.
نعتبر ثلاث نقط من الفضاء ليست على استقامة واحدة، و نبحث عن مجموعة النقط التي تحقّق الشرط المكتوب.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقّق الشرط المعطى.
المعاملات الثلاثة تساوي واحدا، و مجموعها 3 غير معدوم: المرجح موجود، و هو مركز ثقل المثلّث.
نطبّق علاقة الاختزال: مجموع المعاملات هو 3.
طويلة جداء عدد في شعاع هي القيمة المطلقة للعدد مضروبة في الطويلة.
⭐ هنا الخطوة التي لا يجب قفزها: نقسم الطرفين على مجموع المعاملات.
الشرط صار «المسافة إلى نقطة ثابتة تساوي عددا ثابتا»: هذا تعريف سطح الكرة.
نبقى مع نفس النقط الثلاث، و نغيّر الشرط: هذه المرّة يتساوى مجموعان.
🎯المطلوب: عيّن مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقّق تساوي الطويلتين.
الطرف الأيسر معالج في المثال السابق: مرجحه مركز الثقل.
في الطرف الأيمن مجموع المعاملات هو 1 + 2، أي 3 كذلك: نسمّي مرجحه H.
العامل 3 موجب و مشترك بين الطرفين، فنبسّطه.
الشرط صار «النقطة على نفس البعد من نقطتين ثابتتين»، و هذا هو تعريف المستوي المحور.
4. المستوي نفسه هو مجموعة مراجيح
ننهي بأقوى النتائج الثلاث: المستوي المعيّن بثلاث نقط ليس مجرّد شكل، بل مجموعة مراجيح هذه النقط. و البرهان يشبه برهان المستقيم، بمتغيّرين بدل واحد.
هذه هي النتيجة الثالثة من التمييز بالمرجح، و برهانها يستحقّ أن يُقرأ سطرا سطرا.
🎯المطلوب: برهن أنّ المستوي المعيّن بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة هو مجموعة مراجيح هذه النقط.
نعتبر ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة. نبدأ بالاتّجاه المباشر: مرجح للنقط الثلاث، و نبرهن على أنّه من المستوي.
نطبّق علاقة الاختزال بأخذ النقطة الأولى نقطة انطلاق.
الشعاع مكتوب بدلالة شعاعين غير مرتبطين خطّيا من المستوي: هذا يعني أنّ النقطة منه.
ننتقل إلى الاتّجاه العكسي: نأخذ نقطة من المستوي، فيوجد عددان حقيقيان يكتبان الشعاع بدلالة الشعاعين.
ندخل النقطة المتحرّكة في كلّ شعاع بعلاقة شال.
نجمع الحدود التي تحوي الشعاع الأوّل في طرف واحد.
نضرب الشعاع الأوّل في ناقص واحد لقلبه، فنحصل على الشكل الذي يعرّف المرجح.
نتحقّق من شرط الوجود: مجموع المعاملات الثلاثة.
5. تمرين يجمع كلّ شيء: نسبة مسافتين ثابتة
ننهي الدرس بشرط من نوع جديد: لا مجموع أشعة، بل نسبة مسافتين. سنرى أنّ المرجح يحلّه كذلك، بشرط أن نبدأ بتحويل النسبة إلى فرق مربّعين.
نعتبر نقطتين متمايزتين من المستوي المسافة بينهما 2، و نبحث عن مجموعة النقط التي بعدها عن الأولى يساوي ثلاثة أمثال بعدها عن الثانية.
🎯المطلوب: عيّن طبيعة مجموعة النقط M التي تحقّق الشرط المعطى على النسبة.
نضرب في المقام ثمّ نربّع: هذا يزيل النسبة و يزيل الجذور معا.
مربّع المسافة هو مربّع طويلة الشعاع، و فرق المربّعين يُحلّل إلى جداء مجموع في فرق.
المعاملان في القوس الأوّل مجموعهما 1 − 3، أي ناقص 2 و هو غير معدوم: للجملة مرجح، نسمّيه K.
المعاملان في القوس الثاني مجموعهما 1 + 3، أي 4: للجملة مرجح كذلك، نسمّيه G.
العدد ناقص ثمانية غير معدوم، فلا يبقى إلّا انعدام الجداء السلّمي، أي رؤية القطعة الواصلة بين المرجحين تحت زاوية قائمة.
Page 1/10
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net