مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الهندسة في الفضاء

تعيين تقاطع مستويين، مستقيم و مستو، و تقاطع ثلاثة مستويات

🔊 La maîtresse lit pour toi
درس الأوضاع النسبية يقول لك ما هو نوع التقاطع: نقطة، أو مستقيم، أو خال. لكنّ الامتحان لا يكتفي بالنوع: يطلب الإحداثيات، أو جملة المعادلات، أو برهانا على أنّ التقاطع خال. و بين معرفة النوع و كتابة الجواب حسابٌ كامل. فكيف نعيّن تقاطع مستويين، أو مستقيم و مستو، أو ثلاثة مستويات، تعيينا كاملا؟

الجواب في تنظيم واحد يصلح للحالات كلّها: نبدأ دائما بتقاطع شيئين، ثمّ نُدخل الثالث. تقاطع مستويين يعطي مستقيما، و تقاطع هذا المستقيم مع مستو ثالث يعطي الجواب النهائي. و في كلّ مرّة، الوسيط هو الأداة: نكتب المستقيم بوسيط، ثمّ نعوّض.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعيين مستقيم تقاطع مستويين متقاطعين و كتابة تمثيله الوسيطي
  • تعيين إحداثيات نقطة تقاطع مستقيم و مستو بتعويض الأسطر الثلاثة
  • سرد الوضعيات الخمس لتقاطع ثلاثة مستويات و نتيجة كلّ واحدة منها
  • تعيين تقاطع ثلاثة مستويات بالمرور بمستقيم تقاطع اثنين منها
  • البرهان على أنّ تقاطع ثلاثة مستويات خال دون حلّ أيّ جملة
  • مراقبة كلّ تقاطع بتعويض النتيجة في المعادلات الأصلية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • المعادلة الديكارتية لمستو و شعاعه الناظمي
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم و الانتقال بينه و بين جملة معادلتين
  • الأوضاع النسبية لمستقيمين و لمستقيم و مستو و لمستويين

1. تقاطع مستويين

⭐ مستويان متقاطعان تقاطعهما مستقيم، و جملة معادلتيهما هي كتابة لهذا المستقيم. «تعيين التقاطع» يعني إذن الانتقال من الجملة إلى تمثيل وسيطي، أي إلى نقطة و شعاع توجيه يمكن استعمالهما في السؤال الموالي.
  1. نقرأ الشعاعين الناظميين و نتأكّد أنّهما غير مترابطين خطيا.
  2. نطرح المعادلتين، أو نضرب إحداهما في عدد ثمّ نطرح، لحذف مجهول.
  3. نختار مجهولا وسيطا و نعبّر عن المجهولين الآخرين بدلالته.
  4. نراقب: شعاع التوجيه المحصل عليه يجب أن يكون عموديا على الشعاعين الناظميين.
مثال 1: تعيين مستقيم تقاطع مستويين

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ مستويان معادلتاهما الديكارتيتان معطاتان.

🎯المطلوب: بيّن أنّ ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ يتقاطعان، ثمّ عيّن تمثيلا وسيطيا لمستقيم تقاطعهما ⁦(Δ)⁩

📌المعطى
(P₁) : x − 2y + 2z − 1=0
📌المعطى
(P₂) : x − 3y + 2z + 2=0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل
n₁ = (1 ; −2 ; 2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني
n₂ = (1 ; −3 ; 2)
🔹الخطوة 3: الشعاعان غير مترابطين خطيا

محدّد جزئي غير معدوم ينفي الترابط الخطي: المستويان متقاطعان.

1 × (−3) − (−2) × 1=−3 + 2=−1 ≠ 0
🔹الخطوة 4: الطرح طرفا لطرف

المعادلتان لهما المعاملان نفساهما في الفاصلة و في الراقم: الطرح يحذفهما معا.

(x − 2y + 2z − 1) − (x − 3y + 2z + 2)=y − 3
🔹الخطوة 5: استخراج الترتيبة
y − 3 = 0 ⟹ y = 3
🔹الخطوة 6: التعويض في المعادلة الأولى

نعوّض هذه القيمة في المعادلة الأولى، ثمّ نجعل الراقم وسيطا.

x − 6 + 2z − 1 = 0 ⟹ x + 2z = 7
🔹الخطوة 7: اختيار الوسيط
z = s ⟹ x = 7 − 2s
🔹الخطوة 8: شعاع توجيه المستقيم

نقرأ الآن شعاع التوجيه على معاملات الوسيط.

u = (−2 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 9: المراقبة الأولى

المراقبة الأولى: شعاع التوجيه عمودي على الشعاع الناظمي الأوّل.

u · n₁=(−2) × 1 + 0 × (−2) + 1 × 2=−2 + 2=0
🔹الخطوة 10: المراقبة الثانية
u · n₂=(−2) × 1 + 0 × (−3) + 1 × 2=−2 + 2=0
✅النّتيجة
x = 7 − 2s ; y = 3 ; z = s ; s ∈ ℝ
⭐ المراقبتان 9 و 10 هما أسرع مراقبة في الباب كلّه: شعاع توجيه مستقيم التقاطع عمودي على الشعاعين الناظميين معا، لأنّه محمول في المستويين. جداءان سلّميان في سطرين يكشفان أيّ خطأ في الحلّ.
⭐ راقب أيضا بنقطة: عند ⁦s = 3⁩ تعطي الجملة النقطة ⁦(1 ; 3 ; 3)⁩. عوّضها في المعادلتين فتجد ⁦1 − 6 + 6 − 1 = 0⁩ و ⁦1 − 9 + 6 + 2 = 0⁩. نقطة واحدة تحقّق المعادلتين تكفي لتطمئنّ إلى أنّ الحدود الثابتة صحيحة، و الجداءان السلّميان يطمئنانك إلى المعاملات.

2. تقاطع مستقيم و مستو

إذا كان المستقيم يقطع المستوي فتقاطعهما نقطة وحيدة، و تعيينها يجري بخطوة واحدة: نعوّض الأسطر الثلاثة للتمثيل الوسيطي في معادلة المستوي. فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط وحده. نحلّها، ثمّ نعوّض القيمة المحصل عليها في الأسطر الثلاثة.

⛔ لا تعوّض قبل أن تختبر. إذا كان الجداء السلّمي لشعاع التوجيه و الشعاع الناظمي معدوما فالمعادلة الناتجة لن تكون من الدرجة الأولى: إمّا أنّها مستحيلة (التقاطع خال)، و إمّا أنّها محقّقة دائما (المستقيم محتوٍ في المستوي). قراءة نوع المعادلة الناتجة هي نفسها برهان على الوضع النسبي.
مثال 2: تعيين نقطة تقاطع مستقيم و مستو

نعتبر المستقيم ⁦(D)⁩ الممثّل وسيطيا، و المستوي ⁦(P')⁩ بمعادلته الديكارتية.

🎯المطلوب: عيّن إحداثيات نقطة تقاطع المستقيم ⁦(D)⁩ و المستوي ⁦(P')⁩

📌المعطى
(D) : x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t
📌المعطى
(P') : 4x + 4y + z + 3=0
🔹الخطوة 1: الجداء السلّمي

نبدأ بالاختبار: جداء سلّمي غير معدوم يضمن وجود نقطة وحيدة.

(−2) × 4 + 2 × 4 + 1 × 1=−8 + 8 + 1=1 ≠ 0
🔹الخطوة 2: التعويض

نعوّض الأسطر الثلاثة في معادلة المستوي، دون تبسيط بعد.

4(1 − 2t) + 4(−2 + 2t) + t + 3=0
🔹الخطوة 3: نشر الأقواس
4 − 8t − 8 + 8t + t + 3=0
🔹الخطوة 4: تجميع الحدود

الحدود بالوسيط تتلاشى إلّا واحدا، و الحدود الثابتة تتجمّع.

t − 1 = 0
🔹الخطوة 5: حلّ المعادلة
t = 1
🔹الخطوة 6: الفاصلة

نعوّض هذه القيمة في الأسطر الثلاثة، سطرا سطرا.

t = 1 ⟹ x = 1 − 2 × 1 = −1
🔹الخطوة 7: الترتيبة
t = 1 ⟹ y = −2 + 2 × 1 = 0
🔹الخطوة 8: الراقم
t = 1 ⟹ z = 1
🔹الخطوة 9: المراقبة

المراقبة: النقطة يجب أن تحقّق معادلة المستوي.

4 × (−1) + 4 × 0 + 1 + 3=−4 + 4=0
✅النّتيجة
(D) ∩ (P') = {(−1 ; 0 ; 1)}
⭐ درجة المعادلة الناتجة في الخطوة 4 هي التي تحمل كلّ المعلومة: من الدرجة الأولى يعني نقطة وحيدة، و اختفاء الوسيط كلّه يعني إمّا تقاطعا خاليا و إمّا مستقيما محتوى في المستوي.

3. تقاطع ثلاثة مستويات

ثلاثة مستويات في الفضاء تعطي خمس وضعيات، لا أكثر. و الطريقة واحدة في كلّها: نبدأ بمستويين، ثمّ نُدخل الثالث. و تنقسم الوضعيات إلى شقّين حسب وضع المستويين الأوّلين.

  1. إذا كان مستويان من الثلاثة متوازيين و مختلفين فتقاطعهما خال، و تقاطع الثلاثة خال بالضرورة: لا حاجة إلى أيّ حساب آخر.
  2. إذا كان المستويان الأوّلان متقاطعين فتقاطعهما مستقيم ⁦(D)⁩، و السؤال يصير سؤال وضع نسبي بين المستقيم ⁦(D)⁩ و المستوي الثالث: يقطعه فالتقاطع نقطة، يوازيه دون أن يمسّه فالتقاطع خال، أو يكون محتوى فيه فالتقاطع هو ⁦(D)⁩ نفسه.
✅النّتيجة: الوضعيات الخمس لتقاطع ثلاثة مستويات
الوضعيةالتقاطع
مستويان من الثلاثة متوازيان و مختلفانخال
المستويات الثلاثة متوازية مثنى مثنى و مختلفةخال
المستويان الأوّلان متقاطعان و مستقيم تقاطعهما يقطع الثالثنقطة
المستويان الأوّلان متقاطعان و مستقيم تقاطعهما يوازي الثالثخال
المستويان الأوّلان متقاطعان و مستقيم تقاطعهما محتوٍ في الثالثمستقيم
الوضعيات الثلاث تشترك في المستقيم المشترك بين المستويين الأوّلين؛ المستوي الثالث وحده هو الذي يقرّر النتيجة.
متى وُجد مستويان متوازيان و مختلفان بين الثلاثة، انتهى السؤال: التقاطع خال مهما كان المستوي الثالث.
مثال 3: ثلاثة مستويات تتقاطع في نقطة وحيدة

نعتبر المستويات الثلاثة ⁦(P)⁩ و ⁦(R)⁩ و ⁦(P')⁩ بمعادلاتها الديكارتية.

🎯المطلوب: عيّن تقاطع المستويات الثلاثة ⁦(P)⁩ و ⁦(R)⁩ و ⁦(P')⁩

📌المعطى
(P) : x + y + 1 = 0
📌المعطى
(R) : 2x + y + 2z = 0
📌المعطى
(P') : 4x + 4y + z + 3=0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

نبدأ بالمستويين الأوّلين، و نقرأ الشعاع الناظمي لكلّ واحد منهما.

n = (1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثاني
n' = (2 ; 1 ; 2)
🔹الخطوة 3: الشعاعان غير مترابطين خطيا
1 × 1 − 1 × 2=−1 ≠ 0
🔹الخطوة 4: الجملة بمجهولين

المستويان متقاطعان: نضع الراقم وسيطا و نحلّ الجملة بمجهولين.

x + y = −1 ; 2x + y = −2t
🔹الخطوة 5: الطرح طرفا لطرف
x=−2t + 1=1 − 2t
🔹الخطوة 6: استخراج الترتيبة
y=−1 − (1 − 2t)=−2 + 2t
🔹الخطوة 7: مستقيم تقاطع المستويين الأوّلين

هذا هو مستقيم تقاطع المستويين الأوّلين. ندخل الآن المستوي الثالث.

(D) : x = 1 − 2t ; y = −2 + 2t ; z = t
🔹الخطوة 8: التعويض في المستوي الثالث
4(1 − 2t) + 4(−2 + 2t) + t + 3=0
🔹الخطوة 9: تجميع الحدود
t − 1 = 0 ⟹ t = 1
🔹الخطوة 10: إحداثيات نقطة التقاطع
t = 1 ⟹ (−1 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 11: المراقبة في المعادلة الأولى

المراقبة الكاملة: النقطة يجب أن تحقّق المعادلات الثلاث، واحدة واحدة.

−1 + 0 + 1 = 0
🔹الخطوة 12: المراقبة في المعادلة الثانية
2 × (−1) + 0 + 2 × 1=0
🔹الخطوة 13: المراقبة في المعادلة الثالثة
4 × (−1) + 4 × 0 + 1 + 3=0
✅النّتيجة
(P) ∩ (R) ∩ (P') = {(−1 ; 0 ; 1)}
⭐ هذا هو أيضا حلّ الجملة الثلاثية المكوّنة من المعادلات الثلاث: حلّ جملة ثلاث معادلات بثلاثة مجاهل ليس شيئا آخر غير تعيين تقاطع ثلاثة مستويات. الحلّ الوحيد يقابل الوضعية «التقاطع نقطة».
مثال 4: تقاطع خال لأنّ مستقيم التقاطع يوازي المستوي الثالث

نعتبر المستويات ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ و ⁦(P₃)⁩ بمعادلاتها الديكارتية.

🎯المطلوب: أدرس تقاطع المستويات الثلاثة ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ و ⁦(P₃)⁩

📌المعطى
(P₁) : 4x + y + z + 10=0
📌المعطى
(P₂) : 2x + y + 3 = 0
📌المعطى
(P₃) : 2x − y + 2z − 1=0
🔹الخطوة 1: مستقيم تقاطع المستويين الأوّلين

نبدأ بالمستويين الأوّلين: نضع الفاصلة وسيطا فنحصل على مستقيم تقاطعهما.

(D) : x = t ; y = −3 − 2t ; z = −7 − 2t
🔹الخطوة 2: شعاع توجيه المستقيم
u = (1 ; −2 ; −2)
🔹الخطوة 3: الشعاع الناظمي للمستوي الثالث
n₃ = (2 ; −1 ; 2)
🔹الخطوة 4: الجداء السلّمي

نختبر وضع المستقيم بالنسبة إلى المستوي الثالث بالجداء السلّمي.

1 × 2 + (−2) × (−1) + (−2) × 2=2 + 2 − 4=0
🔹الخطوة 5: نقطة من المستقيم

الجداء معدوم: المستقيم يوازي المستوي الثالث. نعوّض نقطة منه لنفصل بين «محتوٍ» و «تقاطع خال».

t = 0 ⟹ A(0 ; −3 ; −7)
🔹الخطوة 6: تعويض النقطة في المستوي الثالث
2 × 0 − (−3) + 2 × (−7) − 1=3 − 14 − 1=−12
✅النّتيجة
−12 ≠ 0 ⟹ (P₁) ∩ (P₂) ∩ (P₃) = ∅
⭐ جرّب التعويض العام بدل تعويض نقطة واحدة: عوّض الأسطر الثلاثة في معادلة المستوي الثالث فتجد ⁦−12⁩ مهما كان الوسيط. عبارة ثابتة غير معدومة تعني تقاطعا خاليا، و عبارة معدومة تعني مستقيما محتوى في المستوي.
مثال 5: ثلاثة مستويات تتقاطع وفق مستقيم

نعتبر المستويين ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ اللذين مستقيم تقاطعهما هو ⁦(D)⁩، و مستويا ثالثا ⁦(P₅)⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ تقاطع المستويات الثلاثة هو المستقيم ⁦(D)⁩ نفسه

📌المعطى
(P₁) : 2x − y − 2z − 1=0
📌المعطى
(P₂) : −x + 4y + z − 3=0
📌المعطى
(P₅) : x + 3y − z − 4=0
🔹الخطوة 1: مستقيم تقاطع المستويين الأوّلين

مستقيم تقاطع المستويين الأوّلين معلوم من الدرس السابق.

(D) : x = t + 1 ; y = 1 ; z = t
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الأوّل

نتأكّد أوّلا أنّ الثالث ليس أحد الأوّلين: شعاعه الناظمي غير مرتبط خطيا بهما.

n₁ = (2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 3: الشعاع الناظمي الثالث
n₅ = (1 ; 3 ; −1)
🔹الخطوة 4: الشعاعان غير مترابطين خطيا
2 × 3 − (−1) × 1=6 + 1=7 ≠ 0
🔹الخطوة 5: التعويض العام

نعوّض الأسطر الثلاثة في معادلة المستوي الثالث، دون تبسيط بعد.

(t + 1) + 3 × 1 − t − 4=0
🔹الخطوة 6: تجميع الحدود
t + 1 + 3 − t − 4=0
🔹الخطوة 7: العبارة معدومة دائما

العبارة معدومة مهما كان الوسيط: كلّ نقطة من المستقيم في المستوي الثالث.

0 = 0
✅النّتيجة
(P₁) ∩ (P₂) ∩ (P₅) = (D)
⭐ لاحظ العلاقة بين المعادلات الثلاث: معادلة الثالث هي مجموع معادلتي الأوّلين حرفا بحرف. و كلّ نقطة تُعدم المعادلتين تُعدم مجموعهما بالضرورة: هذا برهان ثانٍ، في سطر واحد، على أنّ الثالث يحوي مستقيم التقاطع.
مثال 6: تقاطع خال دون حلّ أيّ جملة

نعتبر المستويات ⁦(P₁)⁩ و ⁦(P₂)⁩ و ⁦(P₃)⁩ بمعادلاتها الديكارتية.

🎯المطلوب: بيّن أنّ تقاطع المستويات الثلاثة خال

📌المعطى
(P₁) : 2x − y − 2z − 1=0
📌المعطى
(P₂) : −x + 4y + z − 3=0
📌المعطى
(P₃) : 4x − 2y − 4z − 5=0
🔹الخطوة 1: الشعاع الناظمي الأوّل

قبل أيّ حساب، نبحث عن مستويين متوازيين بين الثلاثة.

n₁ = (2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي الثالث
n₃ = (4 ; −2 ; −4)
🔹الخطوة 3: ترابط الشعاعين خطيا
n₃ = 2 × n₁
🔹الخطوة 4: الفرق بين المعادلتين

نطرح ضعف المعادلة الأولى من الثالثة: يبقى عدد ثابت.

4x − 2y − 4z − 5 − 2(2x − y − 2z − 1)=−5 + 2=−3
🔹الخطوة 5: تقاطع المستويين الأوّل و الثالث

عدد ثابت غير معدوم: لا توجد نقطة تُعدم المعادلتين معا.

(P₁) ∩ (P₃) = ∅
✅النّتيجة

و تقاطع الثلاثة محتوى في تقاطع اثنين منها.

(P₁) ∩ (P₂) ∩ (P₃) = ∅
⭐ لم نحلّ أيّ جملة و لم نختر أيّ نقطة: أربعة أسطر كافية. ابحث دائما عن مستويين متوازيين قبل أن تشرع في الحساب، لأنّ وجودهما ينهي السؤال فورا.
⛔ خطأ يكلّف السؤال كلّه: الشروع في حلّ الجملة الثلاثية بالحذف دون فحص الشعاعات الناظمية أوّلا. إن كان تقاطع الثلاثة خاليا فستصل إلى سطر مستحيل من نوع «عدد غير معدوم يساوي صفرا»، و إن كان مستقيما فستصل إلى سطر محقّق دائما. كلا السطرين جواب صحيح، لكنّ التلميذ الذي لم يفحص الشعاعات يظنّه خطأ حسابيا فيعيد الحلّ من البداية.
موضوع الهندسة الفضائية في البكالوريا يُبنى دائما على هذا الترتيب: وضع نسبي، ثمّ تعيين تقاطع، ثمّ حساب بعد أو حجم. اكتب دائما مستقيم التقاطع بتمثيل وسيطي حتّى إن لم يُطلب منك صراحة: هو الصورة الوحيدة التي يمكن تعويضها في السؤال الموالي. و اختم كلّ تقاطع بمراقبة: نقطة تُعوَّض في المعادلات كلّها، أو مستقيم يُعوَّض تعويضا عامّا. سطر المراقبة لا يكلّف دقيقة و يحمي كلّ ما سبقه.
الخلاصة. تعيين تقاطع يبدأ دائما بشيئين ثمّ يُدخل الثالث. مستويان متقاطعان تقاطعهما مستقيم، نعيّنه بحذف مجهول ثمّ باختيار وسيط، و نراقبه بجداءين سلّميين. مستقيم و مستو متقاطعان تقاطعهما نقطة، نعيّنها بتعويض الأسطر الثلاثة في معادلة المستوي ثمّ بحلّ معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط. و لثلاثة مستويات خمس وضعيات: مستويان متوازيان مختلفان بين الثلاثة ينهيان السؤال بتقاطع خال؛ و إلّا فنعيّن مستقيم تقاطع اثنين ثمّ ندرس وضعه من الثالث، فيكون التقاطع نقطة أو خاليا أو المستقيم نفسه.

Page 1/10

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net