Mathématiques🎓 objectif bac

الدوال العددية (النهايات) النهايات والمقارنة -العمليات على النهايات

العمليات على النهايات و حالات عدم التعيين

🔊 La maîtresse lit pour toi

دالّتان نعرف نهاية كلّ واحدة منهما. نجمعهما، فتصبح النهاية بديهية؛ نجمع أخريين، فلا نستطيع أن نقول شيئا. فلماذا تكفي المعرفة أحيانا و لا تكفي أحيانا؟

لأنّ بعض التركيبات تتنازع: اللانهاية ناقص اللانهاية لا تُحسم، فكلّ من الطرفين يسحب في اتجاه. هذه هي حالة عدم التعيين، و الدرس كلّه هو تعلّم كيف نرفعها.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

توظيف العمليات على النهايات في الجمع و الجداء و القسمة
التعرّف على حالات عدم التعيين الأربع
رفع عدم التعيين في دالة كثير حدود أو دالة ناطقة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

النهايات المرجعية
تحليل ثلاثي حدود و دراسة إشارته

1. العمليات التي تُحسم

في الحالات المريحة، النهاية تتبع العملية:

نهاية مجموع هي مجموع النهايتين، إلّا إذا تنازعت لانهايتان متعاكستان
نهاية جداء هي جداء النهايتين، إلّا إذا ضربنا صفرا في لانهاية
نهاية حاصل قسمة هي حاصل قسمة النهايتين، إلّا إذا انعدمت نهاية المقام أو كانت النهايتان لانهائيتين

2. حالات عدم التعيين الأربع

هي أربع، لا أكثر. وجودها لا يعني أنّ النهاية غير موجودة، بل أنّ المبرهنات وحدها لا تكفي:

الحالات الأربع

في كلّ واحدة منها، طرفان يسحبان في اتجاهين متعاكسين، و لا شيء يقول أيّهما أقوى. يجب تحويل العبارة قبل الحساب.

∞ - ∞ ; 0 × ∞ ; 00 ; ∞∞

رمز « ح ع ت » في جدول ليس جوابا: هو أمر بالعمل. من كتب « ح ع ت » و توقّف لم يجب على السؤال.

3. القاعدتان اللتان ترفعان أغلب الحالات

عند اللانهاية، الحدّ الأقوى يبتلع الباقي. و منه قاعدتان إجرائيّتان تُختصران بهما أغلب التمارين:

كثير حدود

lim(x → ±∞) (a_n xⁿ + … + a₀) = lim(x → ±∞) a_n xⁿ

دالة ناطقة

lim(x → ±∞) f(x) = lim(x → ±∞) a_n xⁿb_m x^m

هاتان القاعدتان تعملان عند اللانهاية فقط. عند عدد حقيقي لا تعنيان شيئا: هناك يُحلَّل المقام و تُدرس إشارته.

مثال 1: نهايات كثير حدود

🎯المطلوب: أدرس نهايتي الدالة كثير الحدود عند اللانهايتين.

📌المعطى

f(x) = -x³ + 2x - 2 ; x ∈ ℝ

🔹الخطوة 1: الحدّ الأقوى

نحتفظ بالحدّ الأعلى درجة وحده.

-x³

🔹الخطوة 2: عند -∞

عند اللانهاية السالبة، x³ تؤول إلى -∞، و السالب يقلبها.

lim(x → -∞) (-x³) = +∞

🔹الخطوة 3: عند +∞

lim(x → +∞) (-x³) = -∞

✅النّتيجة

lim(x → -∞) f(x) = +∞ ; lim(x → +∞) f(x) = -∞

الحدّان 2x و ⁦−2⁩ لا يُهملان لأنّهما صغيران، بل لأنّ x³ ينمو أسرع منهما بكثير. الإهمال هنا نتيجة، لا كسل.

مثال 2: نهايات دالة ناطقة

🎯المطلوب: أدرس نهايتي الدالة الناطقة عند اللانهايتين.

📌المعطى

f(x) = x² + 2x + 12 - x ; x ∈ ℝ - {2}

🔹الخطوة 1: الحدّان

نحتفظ بالحدّ الأعلى درجة في البسط و في المقام.

x²-x

🔹الخطوة 2: التبسيط

x²-x = -x

🔹الخطوة 3: عند -∞

lim(x → -∞) (-x) = +∞

✅النّتيجة

lim(x → -∞) f(x) = +∞ ; lim(x → +∞) f(x) = -∞

لا تبسّط الكسر كاملا قبل أن تأخذ الحدّين الأعلى درجة: القاعدة تعمل على الصورة الأصلية، و التبسيط المبكّر مصدر أخطاء.

مثال 3: النهايات على جانبَي قيمة ممنوعة

🎯المطلوب: حدّد إشارة المقام ثمّ أدرس نهايات الدالة على جانبَي القيمة الممنوعة ⁦−2⁩.

📌المعطى

f(x) = 2x + 3x² + x - 2 ; x ∈ ℝ - {-2 ; 1}

🔹الخطوة 1: التحليل

نحلّل المقام: جذراه ⁦−2⁩ و 1.

x² + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

🔹الخطوة 2: الإشارة

إشارة ثلاثي الحدود: موجب خارج الجذرين، سالب بينهما.

x < -2 ⟹ + ; -2 < x < 1 ⟹ - ; x > 1 ⟹ +

🔹الخطوة 3: البسط عند ⁦−2⁩

نحسب نهاية البسط عند ⁦−2⁩: هي عدد غير معدوم، فالإشارة وحدها تحسم.

2(-2) + 3 = -1

🔹الخطوة 4: على اليسار

بسط سالب على مقام موجب يؤول إلى الصفر: النتيجة -∞.

lim(x → -2, x < -2) f(x) = -∞

✅النّتيجة

lim(x → -2, x > -2) f(x) = +∞

القاعدة الذهبية: عند قيمة تُعدم المقام وحده، إشارة البسط و إشارة المقام معا تعطيان إشارة اللانهاية (قاعدة الإشارات). احسب البسط أوّلا لتتأكّد أنّه غير معدوم و لتعرف إشارته، ثمّ اقرأ إشارة المقام في جدول، و طبّق قاعدة الإشارات.

أكثر ما يُفقد من نقاط في هذا الدرس ليس الحساب بل الإعلان: أن تكتب « حالة عدم تعيين » قبل أن ترفعها. المصحّح ينقّط هذا السطر. و بعده يُنقّط التحويل الذي رفعها، لا النتيجة.

الخلاصة: العمليات على النهايات تحسم كلّ الحالات إلّا أربعا. عند اللانهاية يُحتفظ بالحدّ الأعلى درجة، و عند قيمة ممنوعة تُدرس إشارة المقام. حالة عدم التعيين ليست جوابا، هي دعوة إلى تحويل العبارة.

Page 1/7