Mathématiques🎓 objectif bac

المتتاليات العددية

تطبيقات مختلفة حول الاستدلال بالتراجع

🔊 La maîtresse lit pour toi

عرفت المبدأ و حرّرت برهانا كاملا. لكنّ التمرين لا يقول لك «برهن بالتراجع»: يقول «أثبت أنّ المتتالية محدودة»، أو «أثبت أنّها متزايدة»، أو «أثبت أنّ هذا العدد مضاعف لسبعة». الأداة موجودة، و السؤال هو متى تُخرجها. ففي أيّ المواضع يُستدعى الاستدلال بالتراجع، و كيف يتغيّر شكله من موضع إلى آخر؟

المبدأ واحد، لكنّ الحركة داخل المرحلة 2 تتغيّر بتغيّر نوع الخاصية. و هذا الدرس ليس تكرارا للمبدأ: هو جرد المواضع التي يظهر فيها في الباكالوريا، و ما يجب فعله في كلّ موضع.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التعرّف على المواضع الخمسة التي يُستعمل فيها التراجع
توظيف فرضية التراجع في متباينة و في قابلية القسمة
إثبات أنّ متتالية تراجعية محدودة بالاستدلال بالتراجع
إثبات اتّجاه تغيّر متتالية تراجعية بالاستدلال بالتراجع

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مبدأ الاستدلال بالتراجع و مرحلتاه
المتتاليات التراجعية و اتّجاه تغيّر دالة

1. أين يُستعمل التراجع

يمكن التفكير في استعمال الاستدلال بالتراجع للبرهان على صحّة كلّ خاصية متعلّقة بالأعداد الطبيعية. و في فصل المتتاليات تعود خمسة مواضع أكثر من غيرها.

قابلية القسمة: «أثبت أنّ العبارة مضاعف للعدد p» — نكتب الفرضية في صيغة ⁦⁦= pk⁩⁩
متباينة: «أثبت أنّ ⁦uₙ ≥ A⁩» — نستعمل الطرف الذي تعطيه الفرضية لنكبّر أو نصغّر
حصر متتالية تراجعية: «أثبت أنّ المتتالية محدودة» — و هي أشهرها في الامتحان
اتّجاه التغيّر: «أثبت أنّ ⁦(uₙ)⁩ متزايدة» لمّا تكون معرّفة بالتراجع
دستور مجموع أو حدّ عامّ: «أثبت أنّ uₙ يساوي هذه العبارة»

⭐ العلامة التي تنادي التراجع: خاصية تتعلّق بـ n، و لا يمكن الوصول إلى الرتبة ⁦n+1⁩ إلاّ عبر الرتبة n. إن كانت المتتالية معرّفة بحدّ عامّ ⁦⁦uₙ = f(n)⁩⁩، جرّب أوّلا دراسة الدالة أو دراسة إشارة الفرق: التراجع أثقل، و لا يُستدعى إلاّ عند الحاجة.

2. التراجع لإثبات أنّ متتالية محدودة

لإثبات أنّ متتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة على ℕ محدودة من الأسفل بعدد حقيقي B، أو محدودة من الأعلى بعدد A، يقدّم المنهاج ثلاث طرائق — و الأولى هي التراجع.

استعمال الاستدلال بالتراجع لإثبات أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ⁦n: uₙ ≥ B⁩ (أو ⁦uₙ ≤ A⁩)
المقارنة بين uₙ و B بدراسة إشارة الفرق ⁦uₙ − B⁩
إذا كانت ⁦uₙ = f(n)⁩، ندرس تغيّرات الدالة على المجال ⁦[0 ; +∞[⁩

⛔ الطريقة الثانية و الثالثة تسقطان أمام متتالية تراجعية: الفرق ⁦⁦uₙ − B⁩⁩ لا تُعرف إشارته لأنّ uₙ نفسه غير معروف بدلالة n، و لا توجد دالة f للرتبة تُدرس تغيّراتها. فمع ⁦⁦u₍ₙ₊₁₎ = f(uₙ)⁩⁩، التراجع ليس خيارا من ثلاثة: هو الطريق.

⭐ الحركة في الحصر: انطلق من الحصر المفروض ⁦⁦B ≤ uₙ ≤ A⁩⁩، ثمّ طبّق الدالة المولّدة على الأطراف الثلاثة. إن كانت f متزايدة حُفظ اتّجاه المتباينة؛ و إن كانت متناقصة انقلب. ثمّ قارن ما حصلت عليه بالحصر المطلوب.

3. التراجع لإثبات اتّجاه التغيّر

لمّا تكون المتتالية معرّفة بالتراجع، لا يصلح حساب الفرق ⁦u₍ₙ₊₁₎ − uₙ⁩ بدلالة n لأنّ الحدّ العامّ مجهول. فنبرهن بالتراجع على الخاصية «⁦uₙ ≤ u₍ₙ₊₁₎⁩» نفسها.

خاصية اتّجاه التغيّر

⭐ المرحلة 2 تصير سطرا واحدا إن كانت f متزايدة: من ⁦⁦uₙ ≤ u₍ₙ₊₁₎⁩⁩ نطبّق f على الطرفين فنحصل على ⁦⁦f(uₙ) ≤ f(u₍ₙ₊₁₎)⁩⁩، أي ⁦⁦u₍ₙ₊₁₎ ≤ u₍ₙ₊₂₎⁩⁩ بالضبط. تزايد f هو الذي ينقل التزايد من رتبة إلى التي تليها.

P(n) : u_n ≤ u_n+1

⛔ لا تخلط بين تزايد f و تزايد المتتالية. تزايد f لا يعني أنّ المتتالية متزايدة: هو يعني فقط أنّها رتيبة، و الاتّجاه يقرّره الحدّان الأوّلان. قارن u₀ و u₁ أوّلا — و هي بالضبط المرحلة 1 من البرهان.

⭐ متزايدة و محدودة من الأعلى ⟸ متقاربة. هذه المبرهنة هي سبب وجود الدرس كلّه: المثالان 3 و 4 مجتمعين يعطيان تقارب المتتالية دون حساب أيّ نهاية. و في الباكالوريا يأتيان دائما في هذا الترتيب، ثمّ يأتي السؤال «استنتج أنّ ⁦(uₙ)⁩ متقاربة».

حدود متتالية متزايدة ترتفع رتبة بعد رتبة نحو مستقيم أفقي يمثّل عنصرا حادّا من الأعلى، دون أن تبلغه: الفرق يتقلّص و لا ينعدم. — الحاجز ليس عددا كيفيا: في مثال الدرس هو النقطة الثابتة، أي حلّ المعادلة التي تقول إنّ الحدّ لا يتغيّر. و لهذا لا تبلغه المتتالية أبدا، و تتقارب نحوه.

مثال 1: متباينة

نعتبر الخاصية «3 مرفوعا إلى الأسّ n أكبر من أو يساوي مائة n»، من أجل كلّ عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي 6.

🎯المطلوب: برهن بالتراجع على صحّة هذه الخاصية.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية، و ننتبه إلى أنّها تبدأ من الرتبة ستّة لا صفر.

P(n) : 3ⁿ ≥ 100n (n ≥ 6)

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة ستّة بحساب الطرفين.

3⁶ = 729 ; 100 × 6 = 600 ⟹ 729 ≥ 600

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية أكبر من أو تساوي ستّة.

3ⁿ ≥ 100n

🔹الخطوة 4: الضرب

نضرب الطرفين في 3، فتبقى المتباينة في اتّجاهها لأنّ 3 موجب.

3ⁿ⁺¹=3 × 3ⁿ ≥ 3 × 100n=300n

🔹الخطوة 5: الفصل

نفصل ثلاثمائة إلى مائة زائد مائتين، لنُظهر الطرف المطلوب.

300n = 100n + 200n

🔹الخطوة 6: تكبير الباقي

و من الرتبة ستّة نحصر الجزء الثاني من الأسفل.

n ≥ 6 ⟹ 200n ≥ 200 × 6 = 1200 ≥ 100

✅النّتيجة

فنجمع: المجموع أكبر من مائة n زائد مائة.

3ⁿ⁺¹ ≥ 100n + 100 = 100(n + 1)

⭐ لماذا تبدأ من ستّة و ليس من صفر؟ لأنّها خاطئة من الرتبة واحد إلى الرتبة خمسة (و إن صحّت عند الصفر): عند الرتبة خمسة، ⁦3⁵ = 243⁩ و ⁦100×5 = 500⁩، فالمتباينة مقلوبة. الرتبة الابتدائية ليست اختيارا تجميليا: هي جزء من الخاصية. و لاحظ في الخطوة 6 أنّنا استعملنا ⁦⁦n ≥ 6⁩⁩ — الفرضية وحدها لم تكن تكفي.

مثال 2: قابلية القسمة بأسّين في آن واحد

نعتبر الخاصية المتعلّقة بالعدد الطبيعي n: «3 مرفوعا إلى الأسّ ⁦2n+1⁩، زائد 2 مرفوعا إلى الأسّ ⁦n+2⁩، مضاعف للعدد 7».

🎯المطلوب: برهن بالتراجع على صحّة هذه الخاصية من أجل كلّ عدد طبيعي n.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية.

P(n) : 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺²=7k

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة صفر.

3¹ + 2²=3 + 4=7=7 × 1

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية و نعزل الأسّ الأوّل.

3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² = 7k ⟹ 3²ⁿ⁺¹ = 7k − 2ⁿ⁺²

🔹الخطوة 4: الهدف

نكتب عبارة الرتبة الموالية كما هي، ثمّ نبسّط الأسّين.

3^2(n+1)+1 + 2^(n+1)+2=3²ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺³

🔹الخطوة 5: إظهار الفرضية

نُظهر أسّي الرتبة n بإخراج العاملين.

3²ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺³=3²ⁿ⁺¹ × 3² + 2ⁿ⁺² × 2

🔹الخطوة 6: التعويض

نعوّض الأسّ الأوّل بما تعطيه الفرضية.

3²ⁿ⁺¹ × 9 + 2ⁿ⁺² × 2=(7k − 2ⁿ⁺²) × 9 + 2ⁿ⁺² × 2

🔹الخطوة 7: التجميع

ننشر و نجمع حدّي الأسّ الثاني.

63k − 9 × 2ⁿ⁺² + 2 × 2ⁿ⁺²=63k − 7 × 2ⁿ⁺²

✅النّتيجة

و نخرج العامل سبعة.

63k − 7 × 2ⁿ⁺²=7(9k − 2ⁿ⁺²)

⭐ لمّا تظهر قوّتان، عزل واحدة يكفي. عزلنا الأولى في الخطوة 3، و تركنا الثانية تظهر من تلقائها في الخطوة 6. لو حاولنا عزل الاثنتين لدخلنا في متاهة. ⚖️ و لاحظ من أين جاء العامل 9 في الخطوة 4: الأسّ عند الرتبة الموالية هو ⁦2(n+1)+1⁩، أي ⁦2n+3⁩، و هو أسّ الرتبة n مزيدا باثنين — فيخرج ⁦3² = 9⁩.

مثال 3: حصر متتالية تراجعية

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦u₀ = 0⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = √(6 + uₙ)⁩. الدالة المولّدة هي f المعرّفة بـ ⁦f(x) = √(x + 6)⁩، و هي متزايدة على ⁦[−6 ; +∞[⁩.

🎯المطلوب: أثبت بالاستدلال بالتراجع أنّه من أجل كلّ عدد طبيعي ⁦n: 0 ≤ uₙ ≤ 3⁩.

🔹الخطوة 1: استكشاف

نحسب الحدود الأولى لنرى ما نبرهن عليه.

u₀ = 0 ; u₁ = √6 ≈ 2,4495 ; u₂ = √(6 + 2,4495) ≈ 2,9068

🔹الخطوة 2: التسمية

نسمّي الخاصية بالحصر الذي يقترحه الحساب.

P(n) : 0 ≤ u_n ≤ 3

🔹الخطوة 3: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة صفر بالحدّ المعطى.

u₀ = 0 ⟹ 0 ≤ 0 ≤ 3

🔹الخطوة 4: فرضية التراجع

نفرض الحصر عند رتبة كيفية، و نضيف ستّة إلى الأطراف الثلاثة.

0 ≤ u_n ≤ 3 ⟹ 6 ≤ 6 + u_n ≤ 9

🔹الخطوة 5: تطبيق الدالة المولّدة

نطبّق الجذر التربيعي، و هو متزايد على المجال، فتُحفظ المتباينة.

√6 ≤ √(6 + u_n) ≤ √9 ⟹ √6 ≤ u_n+1 ≤ 3

✅النّتيجة

و الجذر موجب، فالطرف الأيسر أكبر من الصفر.

0 < √6 ⟹ 0 ≤ u_n+1 ≤ 3

⭐ لماذا 3 و ليس 4 أو 10 ؟ لأنّ 3 هي النقطة الثابتة: حلّ المعادلة ⁦⁦√(x+6) = x⁩⁩ هو 3، و العدد الذي لا يغيّره التوليد هو الحاجز الذي لا يُتجاوز. ⛔ لو أخذنا حاجزا أصغر من 3 لسقطت الخطوة 5. الحصر يُقرأ على النقطة الثابتة قبل أن يُبرهن.

مثال 4: اتّجاه تغيّر المتتالية نفسها

نواصل مع المتتالية ⁦(uₙ)⁩ نفسها: ⁦u₀ = 0⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = √(6 + uₙ)⁩، و قد أثبتنا في المثال السابق أنّها محصورة بين صفر و ثلاثة.

🎯المطلوب: أثبت بالتراجع أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متزايدة، ثمّ استنتج أنّها متقاربة.

🔹الخطوة 1: التسمية

نسمّي الخاصية.

P(n) : u_n ≤ u_n+1

🔹الخطوة 2: المرحلة 1

نتحقّق عند الرتبة صفر بمقارنة الحدّين الأوّلين.

u₀ = 0 ; u₁ = √6 ≈ 2,4495 ⟹ 0 ≤ 2,4495

🔹الخطوة 3: فرضية التراجع

نفرض الخاصية عند رتبة كيفية.

u_n ≤ u_n+1

🔹الخطوة 4: الإضافة

نضيف ستّة إلى الطرفين.

6 + u_n ≤ 6 + u_n+1

🔹الخطوة 5: تطبيق الدالة المولّدة

و نطبّق الجذر التربيعي، و هو متزايد، فتُحفظ المتباينة.

√(6 + u_n) ≤ √(6 + u_n+1)

✅النّتيجة

و الطرفان ليسا سوى الحدّين المواليين.

u_n+1 ≤ u_n+2

⭐ الاستنتاج في سطر: المتتالية متزايدة (هذا المثال) و محدودة من الأعلى بالعدد 3 (المثال السابق)، فهي متقاربة. و نهايتها تحقّق ⁦⁦l = √(l + 6)⁩⁩، و الحلّ الموجب الوحيد هو 3. ⚖️ لاحظ أنّ البرهانين استعملا الحركة نفسها — تطبيق f المتزايدة على متباينة مفروضة — مرّة على حصر و مرّة على مقارنة.

⛔ في الباكالوريا، هذان المثالان الأخيران يشكّلان معا السؤال النموذجي الذي يفتح كلّ تمرين على متتالية تراجعية: «① أثبت أنّ ⁦0 ≤ uₙ ≤ 3⁩ · ② أثبت أنّ ⁦(uₙ)⁩ متزايدة · ③ استنتج». أجب بالترتيب، و لا تنسَ أن المرحلة 1 في السؤال ② هي مقارنة عددية بين u₀ و u₁: من كتب «واضح» بدل الحساب خسر نقطة كاملة.

الخلاصة: المبدأ واحد و المواضع خمسة. في قابلية القسمة نكتب الفرضية في صيغة جداء؛ في المتباينة نكبّر أو نصغّر بالفرضية؛ و في المتتالية التراجعية — حيث لا حدّ عامّ يُدرس و لا فرق تُعرف إشارته — يصير التراجع الطريق الوحيد: نفرض الحصر أو المقارنة، ثمّ نطبّق الدالة المولّدة على الطرفين. و من الحصر و التزايد معا تأتي المبرهنة التي تنهي التمرين: متزايدة و محدودة من الأعلى، إذن متقاربة.

Page 1/8

📍 Dans l'année

🟦 T1 · 🟩 T2 · 🟪 T3 · 📝 examens S14/27/36 · 🎓 bac

📌 À retenir

الخلاصة: المبدأ واحد و المواضع خمسة. في قابلية القسمة نكتب الفرضية في صيغة جداء؛ في المتباينة نكبّر أو نصغّر بالفرضية؛ و في المتتالية التراجعية — حيث لا حدّ عامّ يُدرس و لا فرق تُعرف إشارته — يصير التراجع الطريق الوحيد: نفرض الحصر أو المقارنة، ثمّ نطبّق الدالة المولّدة على الطرفين. و من الحصر و التزايد معا تأتي المبرهنة التي تنهي التمرين: متزايدة و محدودة من الأعلى، إذن متقاربة.

خاصية اتّجاه التغيّر

P(n) : u_n ≤ u_n+1