الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التشابه المباشر: تعريف، النسبة، الزاوية و الكتابة المركبة
الجواب في جملة واحدة: التشابه المباشر هو التحويل الذي يحفظ نسب المسافات و الزوايا الموجهة. من هذين الشرطين وحدهما ينبثق كلّ شيء: عدد موجب ثابت k يُضرب فيه كلّ طول، زاوية ثابتة θ يدور بها كلّ شعاع، و — و هذه هي الثمرة الكبرى — كتابة مركّبة واحدة z′ = a z + b تختصر التحويل كلّه في عددين. و العكس صحيح أيضا: كلّ كتابة من هذا الشكل هي تشابه مباشر.
- تعريف التشابه المباشر بالخاصيتين اللتين يحفظهما: نسب المسافات و الزوايا الموجهة
- تعيين نسبة تشابه مباشر و زاويته انطلاقا من نقط و صورها
- إثبات أنّ لكلّ تشابه مباشر كتابة مركّبة من الشكل z′ = a z + b
- الانتقال العكسي: من الكتابة المركّبة إلى طبيعة التحويل و عناصره المميّزة
- التعرّف على الانسحاب و التحاكي و الدوران كحالات خاصّة من التشابه المباشر
- الطويلة و العمدة لعدد مركّب، و أنّ طويلة الجداء جداء الطويلتين
- أنّ عمدة الجداء هي مجموع العمدتين بترديد 2π
- لاحقة شعاع، و أنّ المسافة بين نقطتين هي طويلة الفرق بين لاحقتيهما
- الانسحاب و التحاكي و الدوران و عناصرها المميّزة
1. تعريف التشابه المباشر
في كلّ ما يأتي، المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. و نقول عن تحويل نقطي S إنّه تشابه مباشر إذا حافظ على شيئين اثنين معا: نسب المسافات و الزوايا الموجهة. و المقصود بذلك أنّه من أجل كلّ نقط M و N و P و Q من المستوي، بشرط أن تكون M مخالفة لـ N و P مخالفة لـ Q، و إذا كانت M′ و N′ و P′ و Q′ صورها على الترتيب، تحقّقت المساواتان الآتيتان.
ليس الطول هو المحفوظ، بل النسبة بين طولين. فقد تتضاعف كلّ الأطوال، و تبقى النسبة بينها هي هي: هذا بالضبط ما نلاحظه بين خريطة و تكبيرها.
الزاوية بين شعاعين لا تتغيّر بالتحويل، لا في قيمتها و لا في اتجاهها. و كلمة « مباشر » في اسم التحويل تشير إلى هذا بالذات: الاتجاه محفوظ، لا معكوس.
2. نسبة التشابه المباشر
الشرط الأوّل يتكلّم عن نسبة بين نسبتين، و هي صياغة ثقيلة. و الخاصية الآتية تخفّفها: هذا الشرط يكافئ وجود عدد واحد موجب تماما تُضرب فيه كلّ المسافات.
و البرهان قصير و يستحقّ أن يُقرأ، لأنّه يفسّر من أين يأتي هذا العدد الثابت.
نأخذ المساواة كما هي، بأربع نقط كيفية.
ضرب في تقاطع: المساواة الأولى تكافئ هذه. و الفائدة أنّ كلّ طرف صار يخصّ ثنائية واحدة من النقط، لا اثنتين.
الطرف الأيسر لا يتعلّق بـ P و Q، و الطرف الأيمن لا يتعلّق بـ M و N: مقدار واحد لا يتعلّق بشيء، إذن هو ثابت. و هو موجب تماما لأنّه خارج قسمة طولين غير معدومين.
3. زاوية التشابه المباشر
مثلما أعطانا الشرط الأوّل عددا ثابتا هو النسبة، يعطينا الشرط الثاني زاوية ثابتة. خذ نقطتين M و N مختلفتين، و انظر إلى الزاوية بين الشعاع MN و صورته M′N′: هذه الزاوية لا تتعلّق باختيار M و N.
لاحظ الفرق بينها و بين مساواة التعريف: هناك كانت الزاوية بين شعاعين قبل التحويل تساوي الزاوية بينهما بعده؛ هنا الزاوية بين شعاع واحد و صورته. الثانية تنتج عن الأولى بعلاقة شال.
و بهذا يصير التشابه المباشر معروفا بعددين اثنين لا غير: نسبته k و زاويته θ. و سنرى بعد قليل أنّ هذين العددين ليسا إلّا الطويلة و العمدة لعدد مركّب واحد.
4. الكتابة المركّبة لتشابه مباشر
هنا تدخل الأعداد المركّبة، و هنا يصير الدرس أداة حساب لا مجرّد تعريف. الخاصية الآتية تقول إنّ كلّ تشابه مباشر، مهما كان، له كتابة من الشكل نفسه.
و البرهان يقوم على فكرة واحدة: يكفي أن نعرف صورتَي نقطتين مرجعيتين لنعرف صورة أيّ نقطة. نأخذ المبدأ O الذي لاحقته 0، و النقطة I التي لاحقتها 1، و نقطة كيفية M لاحقتها z. و نسمّي O′ و I′ و M′ صورها، و p′ و q′ و z′ لواحقها على الترتيب.
نطبّق تعريف التشابه على الثنائيتين (O ; M) و (O ; I).
و هذا هو الشرط الثاني من التعريف، مطبّقا على النقط نفسها.
لاحقة الشعاع O′M′ هي z′ − p′، و لاحقة O′I′ هي q′ − p′، و OM = |z| لأنّ OI = 1. نسبة الطولين هي إذن طويلة خارج القسمة.
الزاوية بين شعاعين هي عمدة خارج قسمة لاحقتيهما. الشرطان معا يقولان إذن إنّ العددين المركّبين لهما الطويلة نفسها و العمدة نفسها.
هذه هي الخطوة الحاسمة: الطويلة و العمدة تعيّنان العدد المركّب تعيينا وحيدا.
القسمة على q′ − p′ مشروعة لأنّ O يخالف I، و التحويل تقابل، فـ O′ تخالف I′ و بالتالي p′ يخالف q′.
هذا هو المعامل الذي يحمل النسبة و الزاوية معا، و هو غير معدوم لما سبق.
و هذا هو الحدّ الثابت: ليس إلّا لاحقة صورة المبدأ.
5. و العكس صحيح: كلّ كتابة من هذا الشكل تشابه مباشر
ما سبق يقول: تشابه مباشر ⟸ كتابة من الشكل z′ = a z + b. و الخاصية الآتية تقول العكس، و بها يصير الشكل z′ = a z + b وصفا كاملا للتشابهات المباشرة، لا مجرّد لازم من لوازمها.
و البرهان مباشر: نأخذ نقطتين M و N لاحقتاهما m و n، و نحسب.
نطبّق الكتابة المركّبة على النقطة M.
و نطبّقها على N بالطريقة نفسها، بالمعامل نفسه و الحدّ الثابت نفسه.
الحدّ الثابت b يزول عند الطرح: هذا هو مفتاح البرهان كلّه. الفرق بين لاحقتين لا يرى إلّا المعامل a.
نأخذ طويلة الطرفين، و طويلة الجداء جداء الطويلتين. إذن كلّ المسافات تُضرب في |a|، و هذا هو الشرط الأوّل من تعريف التشابه.
الزاوية بين شعاع و صورته هي عمدة خارج القسمة (n′ − m′)/(n − m)، و هذا الخارج يساوي a بالضبط. فهي إذن ثابتة، و هذا هو الشرط الثاني.
6. الحالات الخاصّة: التحويلات المألوفة داخل التشابهات
التحويلات الثلاثة التي درستها من قبل — الانسحاب و التحاكي و الدوران — ليست غريبة عن هذا الباب: كلّ واحد منها تشابه مباشر، و كلّ واحد منها يقابل شرطا على العدد a وحده.
- الانسحاب تشابه مباشر، لأنّ كتابته المركّبة z′ = z + b، أي من الشكل العامّ مع a = 1. نسبته تساوي 1 و زاويته معدومة.
- التحاكي تشابه مباشر، لأنّ a فيه عدد حقيقي غير معدوم و يخالف 1. نسبته تساوي طويلة a، و زاويته معدومة إن كان a موجبا و تساوي π إن كان a سالبا.
- الدوران تشابه مباشر، بشرط أن تكون طويلة a تساوي 1 و a يخالف 1. نسبته تساوي 1، و زاويته هي عمدة a، أي زاوية الدوران نفسها.
| الشرط على a | طبيعة التحويل | النسبة k | الزاوية θ |
|---|---|---|---|
| a = 1 | انسحاب | 1 | 0 |
| a ∈ ℝ , a > 0 , a ≠ 1 | تحاكٍ | a | 0 |
| a ∈ ℝ , a < 0 | تحاكٍ | |a| | π |
| |a| = 1 , a ≠ 1 | دوران | 1 | arg(a) |
| |a| ≠ 1 , a ∉ ℝ | تشابه مباشر | |a| | arg(a) |
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و S هو التشابه المباشر الذي يرفق بكلّ نقطة M لاحقتها z النقطة M′ لاحقتها z′.
🎯المطلوب: عيّن النقطة A′ صورة النقطة A(1 ; −1) بالتشابه المباشر S.
نعوّض لاحقة A مكان z في الكتابة المركّبة.
ننشر الجداء حدّا حدّا.
⛔ لا نترك i² في السطر: نعوّضه بـ −1، فيصير الطرح جمعا.
نعود إلى الكتابة و نطرح 2i.
نواصل مع التشابه S نفسه، و صورة A التي وجدناها في المثال السابق.
🎯المطلوب: احسب نسبة التشابه المباشر S باستعمال النقطتين A و B، ثمّ تحقّق من الجواب.
نبدأ بحساب صورة B بالطريقة نفسها.
ننشر: i × 1 = i و i × i = i².
و نعوّض i² بـ −1.
نطرح 2i.
التشابه يحفظ نسب المسافات، إذن النسبة هي خارج قسمة الطولين، و كلّ طول طويلة فرق.
نحسب فرق لاحقتَي الصورتين.
ثمّ فرق لاحقتَي النقطتين الأصليتين.
طويلة عدد مركّب هي جذر مجموع مربّعَي جزأيه.
نقسم، و نبسّط الجذرين: √10 على √5 هو جذر خارج القسمة.
⚖️ تحقّق مستقلّ: الخاصية تقول إنّ النسبة هي طويلة المعامل a، و هنا a = 1 + i.
نبقى مع التشابه S الذي كتابته المركّبة z′ = (1 + i) z − 2i.
🎯المطلوب: عيّن زاوية التشابه المباشر S، ثمّ عيّن لاحقة مركزه.
زاوية التشابه هي عمدة a. و العدد 1 + i جزآه متساويان و موجبان.
المركز، إن وُجد، نقطة صامدة: صورتها هي هي. نكتب هذا الشرط.
ننقل كلّ ما فيه z إلى طرف واحد.
نعمّل z: المعامل هو 1 − (1 + i) = −i.
نقسم الطرفين على −i.
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. من أجل كلّ نقطة M من المستوي نعتبر المعيّن المباشر الذي رؤوسه، في هذا الترتيب: المبدأ ثمّ M ثمّ N ثمّ P، و الذي يحقّق MP = OM.
🎯المطلوب: أثبت أنّ النقطة N صورة النقطة M بتشابه مباشر، ثمّ عيّن نسبته.
أضلاع المعيّن متساوية، فـ OM = OP؛ و المعطى يضيف MP = OM: فالمثلث OMP أضلاعه الثلاثة متساوية، و هو مباشر لأنّ المعيّن مباشر.
مثلث متقايس الأضلاع مباشر معناه أنّ P تُستنتج من M بدوران مركزه O و زاويته π/3.
الكتابة المركّبة لدوران مركزه المبدأ هي الضرب في العدد ذي الطويلة 1 و العمدة θ.
في هذا المعيّن، القطر المرسوم من المبدأ هو مجموع الضلعين الخارجين منه.
نعوّض لاحقة P بما وجدناه.
نعمّل بـ z مشتركا.
نكتب الأسّي بالشكل الجبري: جيب تمام π/3 يساوي 1/2 و جيبه يساوي √3/2.
نجمع 1 مع الجزء الحقيقي.
الكتابة صارت من الشكل z′ = a z، أي تشابه مباشر حدّه الثابت معدوم.
نحسب طويلة المعامل: طويلة البسط جذر 9 + 3.
نقسم على 2.
⚖️ نكمل ما لم يطلبه النصّ، لأنّه سطران: زاوية التشابه هي عمدة المعامل.
و الحدّ الثابت معدوم، فالنقطة الصامدة هي المبدأ نفسه.
المستوي المركّب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و S التحويل النقطي المعرّف بكتابته المركّبة.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة التحويل S، ثمّ عيّن عناصره المميّزة.
نقرأ المعامل و الحدّ الثابت.
نحسب طويلة المعامل أوّلا: هي التي تفصل بين التقايس و غيره.
الطويلة تساوي 1 و a يخالف 1: نحن إذن أمام دوران، لا انسحاب و لا تحاكٍ.
زاوية الدوران هي عمدة المعامل، و العدد i على محور التراتيب في الجهة الموجبة.
بقي المركز: نكتب شرط النقطة الصامدة.
نجمع حدود z و نعمّل.
نقسم على 1 − i، و هو غير معدوم.
| الكتابة المركّبة | المعامل a | طويلة a | عمدة a | طبيعة التحويل | المركز أو الشعاع |
|---|---|---|---|---|---|
| z' = i z + 1 − i | i | 1 | π2 | دوران | Ω(1 ; 0) |
| z' = 3 z − 5i | 3 | 3 | 0 | تحاكٍ | Ω(0 ; 52) |
| z' = (12 − (√32) i) z − 1 | 12 − (√32) i | 1 | −π3 | دوران | Ω(−12 ; √32) |
| z' = (1 + i) z + i | 1 + i | √2 | π4 | تشابه مباشر | Ω(−1 ; 0) |
| z' = z − 1 + 5i | 1 | 1 | 0 | انسحاب | u(−1 ; 5) |
| z' = (1 − i) z + i − 3 | 1 − i | √2 | −π4 | تشابه مباشر | Ω(1 ; 3) |
Page 1/12
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net