الهندسة في الفضاء › المعادلة الديكارتية لمستوى في الفضاء
توظيف الجداء السلمي لتعيين معادلة ديكارتية لمستوٍ
الجواب في سطر واحد: نقطة من المستوي، و شعاع عمودي عليه، يكفيان. لأنّ نقطة أخرى تكون من المستوي إذا و فقط إذا كان الشعاع الواصل بينهما عموديا على ذلك الشعاع، أي إذا و فقط إذا انعدم جداؤهما السلّمي. و متى كتبنا هذا الانعدام بالإحداثيات، خرجت معادلة من الدرجة الأولى في ثلاثة مجاهيل: هي المعادلة الديكارتية للمستوي.
- التعرّف على شعاع ناظمي لمستو و استعماله في تعيينه
- كتابة معادلة ديكارتية لمستو معلوم بنقطة و شعاع ناظمي له
- قراءة شعاع ناظمي مباشرة على معادلة ديكارتية معطاة
- تعيين معادلة ديكارتية للمستوي المعيّن بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة
- معرفة معادلات مستويات المعلم الثلاثة
- التمييز بين مستويين متوازيين و مستويين متعامدين انطلاقا من شعاعيهما الناظميين
- الجداء السلّمي في الفضاء و عبارته التحليلية
- معيار التعامد: انعدام الجداء السلّمي
- الأشعة المرتبطة خطيا و غير المرتبطة خطيا
1. الشعاع الناظمي: ما الذي يعيّن مستويا؟
نقول عن شعاع غير معدوم إنّه ناظمي لمستو إذا كان عموديا على شعاعين غير مرتبطين خطيا من هذا المستوي. و لاحظ الشرط جيّدا: شعاعان غير مرتبطين خطيا، أي غير متوازيين. شعاعان متوازيان لا يكفيان أبدا، لأنّ اتّجاها واحدا لا يعيّن مستويا.
2. البرهان: لماذا لا يوجد أيّ شذوذ؟
الاتّجاه الأوّل مباشر: إذا كانت النقطة من المستوي فالشعاع الواصل بينها و بين النقطة المعلومة هو شعاع من المستوي، و الشعاع الناظمي عمودي عليه، فالجداء منعدم. الاتّجاه العكسي هو المهمّ، و نكتبه كاملا دون قفز.
نعتبر المستقيم الذي يشمل النقطة المعلومة و يوجّهه الشعاع الناظمي، و نسمّي المسقط العمودي للنقطة المتحرّكة عليه. عندئذ يتفكّك الشعاع إلى قطعتين.
لأنّ المسقط العمودي يجعل القطعة الثانية عمودية على اتّجاه المستقيم، و اتّجاه المستقيم هو الشعاع الناظمي نفسه.
ننشر الجداء على المجموع، فيسقط الحدّ الثاني لانعدامه: هذا هو الوصل الذي يجعل البرهان متّصلا.
الشعاعان مرتبطان خطيا و الشعاع الناظمي غير معدوم، فلا يبقى إلاّ أن يكون الشعاع المسقط منعدما.
3. المعادلة الديكارتية: من الجداء المنعدم إلى معادلة من الدرجة الأولى
ننتقل الآن إلى الإحداثيات، في معلم متعامد و متجانس. الجداء السلّمي يُكتب بثلاثة جداءات و مجموع، فينتج عن انعدامه معادلة من الدرجة الأولى في ثلاثة مجاهيل.
و العكس صحيح أيضا: مجموعة النقط التي تحقّق معادلة من هذا الشكل، بأعداد حقيقية غير معدومة معا، هي مستو، و الشعاع الذي إحداثياته معاملات المجاهيل الثلاثة ناظمي له.
و البرهان لا يزيد على سطرين: نكتب انعدام الجداء السلّمي بالإحداثيات، ثمّ نجمع الثوابت في عدد واحد.
4. أوّل توظيف: معادلة المستوي المعيّن بثلاث نقط
هذه هي المسألة الأكثر تكرارا في هذا الباب. و الطريقة ثابتة في ثلاث حركات: نتحقّق أوّلا أنّ النقط الثلاث تعيّن مستويا فعلا، ثمّ نبحث عن شعاع ناظمي بحلّ جملة من معادلتين، ثمّ نكتب المعادلة بتعويض نقطة واحدة.
الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس، و فيه ثلاث نقط معطاة بإحداثياتها.
🎯المطلوب: بيّن أنّ النقط الثلاث تعيّن مستويا.
نحسب شعاعين ينطلقان من نفس النقطة: هذا شرط لازم للمقارنة بينهما.
نقارن المركّبات: الأوليان متساويتان، و لو كان الشعاعان مرتبطين خطيا لكان معامل التناسب يساوي واحدا، فتتساوى كلّ المركّبات.
لا يوجد أيّ عدد حقيقي يحوّل الشعاع الأوّل إلى الثاني، فالشعاعان غير مرتبطين خطيا، و النقط الثلاث ليست على استقامة واحدة.
نبقى مع النقط الثلاث من المثال السابق، في نفس المعلم.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي المعيّن بهذه النقط الثلاث.
الشعاع الناظمي عمودي على الشعاعين معا، فجداؤه السلّمي في كلّ منهما منعدم؛ نكتب المعادلتين بالإحداثيات.
الجملة متجانسة، فحلولها متناسبة: نختار قيمة مريحة لأحد المجاهيل، و نستنتج الباقي.
نتحقّق قبل المواصلة: الجداء السلّمي في كلّ من الشعاعين يجب أن ينعدم.
نكتب الآن انعدام الجداء بين الشعاع الناظمي و الشعاع الواصل من النقطة الأولى إلى نقطة كيفية.
في نفس المعلم و مع نفس النقط الثلاث، نعتبر المستوي الذي يشمل النقطة الأولى و يقبل الشعاع الواصل بين النقطتين الأخريين شعاعا ناظميا له.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية لهذا المستوي.
الشعاع الناظمي معطى هذه المرّة، فلا حاجة لحلّ أيّة جملة.
معاملات المجاهيل الثلاثة هي إحداثيات الشعاع الناظمي بالترتيب.
نضرب في سالب واحد لتصير المعاملات أبسط في القراءة؛ المعادلتان تعيّنان نفس المستوي.
5. ثاني توظيف: مستو يوازي مستويا و يشمل نقطة
نعتبر النقط الثلاث التي يقطع فيها المستوي المطلوب محاورَ المعلم عند الوحدة، أي النقطة ذات الفاصلة واحد، و النقطة ذات الترتيبة واحد، و النقطة ذات الراقم واحد.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الذي يشمل هذه النقط الثلاث.
انعدام الجداءين يعطي جملة بسيطة جدّا هذه المرّة.
نختار أبسط قيمة ممكنة.
نبقى مع المستوي السابق، و نبحث عن المستوي الذي يوازيه و يشمل مبدأ المعلم.
🎯المطلوب: اكتب معادلة ديكارتية للمستوي الموازي للمستوي السابق و المارّ بمبدأ المعلم.
مستويان متوازيان لهما نفس الاتّجاه، فيصلح نفس الشعاع الناظمي للاثنين: هذا هو معيار التوازي مطبّقا بمعامل يساوي واحدا.
نتحقّق أنّ المستويين متمايزان فعلا: نعوّض إحداثيات نقطة من الأوّل في معادلة الثاني.
6. حالات خاصة تُحفظ مرّة واحدة
مستويات المعلم الثلاثة لها أبسط المعادلات الممكنة: في كلّ واحد منها، الإحداثية الغائبة منعدمة، و الشعاع الناظمي هو شعاع المحور الثالث.
| المستوي | معادلته الديكارتية |
|---|---|
| المستوي المحدّد بالشعاعين الأوّل و الثاني من الأساس | z = 0 |
| المستوي المحدّد بالشعاعين الثاني و الثالث | x = 0 |
| المستوي المحدّد بالشعاعين الأوّل و الثالث | y = 0 |
و أمّا الوضع النسبي لمستويين، فيُقرأ كلّه على شعاعيهما الناظميين، دون أيّ رسم.
حيث k عدد حقيقي غير معدوم. و انعدامه مستحيل هنا، لأنّ الشعاع الناظمي غير معدوم بحكم تعريفه.
نعتبر مستويين، الأوّل شعاعه الناظمي معطى بإحداثيات، و الثاني كذلك.
🎯المطلوب: حدّد الوضع النسبي للمستويين.
نبحث عن معامل تناسب واحد يصلح للمركّبات الثلاث معا.
المعامل واحد في المركّبات الثلاث، إذن الشعاعان مرتبطان خطيا.
Page 1/11
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net