مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الهندسة في الفضاء

تعيين تقاطع مستويين، مستقيم و مستو، و تقاطع ثلاثة مستويات

🔊 La maîtresse lit pour toi
ثلاث صفحات زجاجية مثبّتة داخل صندوق بزوايا مختلفة: قد تلتقي كلّها في نقطة واحدة، و قد يلتقي كلّ اثنتين منها وفق حرف، فتكون الأحرف الثلاثة متوازية و لا نقطة مشتركة بين الصفحات الثلاث. فكيف نقرّر ذلك بالحساب وحده، و كيف نعيّن التقاطع نفسه لمّا يوجد؟

الجواب هو أنّ كلّ سؤال من هذا النوع يتحوّل إلى جملة معادلات خطّية، و أنّ شكل حلّ الجملة يقول مباشرة شكل التقاطع: حلّ وحيد ⟸ نقطة، حلّ بوسيط حرّ واحد ⟸ مستقيم، لا حلّ ⟸ تقاطع خال. في الدرس السابق كنّا نسأل «أيّ وضع؟»؛ هنا نسأل «ما هو التقاطع بالضبط؟».

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حلّ جملة معادلات خطّية بطريقة غوص، بالتدرّج نحو جملة مثلّثية
  • تعيين تمثيل وسيطي لمستقيم تقاطع مستويين انطلاقا من معادلتيهما
  • تعيين تقاطع مستقيم و مستو بتعويض التمثيل الوسيطي في المعادلة
  • تعيين تقاطع ثلاثة مستويات و التمييز بين النقطة و المستقيم و التقاطع الخالي
  • تفسير حلّ جملة ثلاث معادلات تفسيرا هندسيا
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • التمثيل الوسيطي لمستقيم في الفضاء و شعاع توجيهه
  • المعادلة الديكارتية لمستو في الفضاء و شعاعه الناظمي
  • الأوضاع النسبية للمستقيمات و المستويات في الفضاء
  • حلّ جملة معادلتين خطّيتين بمجهولين

1. الأداة: طريقة غوص، أو الحلّ بالتدرّج نحو جملة مثلّثية

قبل الهندسة، أداة جبرية واحدة تُعرف باسم طريقة غوص. الفكرة بسيطة: نستبدل معادلة بمجموعها مع مضاعف معادلة أخرى دون أن نغيّر مجموعة الحلول، و نكرّر ذلك حتّى تصير الجملة مثلّثية، أي كلّما نزلنا سطرا نقص مجهول. عندئذ نقرأ الحلول من الأسفل إلى الأعلى.

العملية التي لا تغيّر مجموعة الحلول

كلّ نقطة تحقّق المعادلتين معا تحقّق أيّ تركيب خطّي لهما، و العملية عكوسة (يكفي طرح ما أُضيف)، فلا نكسب حلولا و لا نفقد حلولا.

Li ← Li + λ Lj ; λ ∈ ℝ
Liالمعادلة التي نغيّرهاLjمعادلة أخرى من الجملةλعدد حقيقي مختار
مثال 1: حلّ جملة بثلاث معادلات و خمسة مجاهيل

نتدرّج بالجملة نحو شكل مثلّثي. نسمّي المعادلات L₁ و L₂ و L₃ من الأعلى إلى الأسفل.

🎯المطلوب: حلّ الجملة ⁦( S )⁩ بطريقة غوص، أي بالتدرّج نحو جملة مثلّثية

📌المعطى: المعادلة الأولى
a − 2 b + 2 c − 2 d + e=1
📌المعطى: المعادلة الثانية
2 a − b + c − d − e=2
📌المعطى: المعادلة الثالثة
a − b + 2 c − d + e=4
🔹الخطوة 1: العملية الأولى

نختار المعادلة الأولى «محورا» و نحذف المجهول a من المعادلتين الأخريين.

L2 ← L2 − 2 L1
🔹الخطوة 2: نتيجة العملية الأولى
3 b − 3 c + 3 d − 3 e=0
🔹الخطوة 3: العملية الثانية
L3 ← L3 − L1
🔹الخطوة 4: نتيجة العملية الثانية
b + d = 3
🔹الخطوة 5: الجملة الجديدة تحتفظ بمعادلتها الأولى

⚠️ المعادلة الأولى لم تُمسّ بأيّ من العمليتين، فهي تبقى كما هي حرفا بحرف في الجملة الجديدة.

a − 2 b + 2 c − 2 d + e=1
🔹الخطوة 6: تبسيط المعادلة الثانية

نقسم على 3 و نغيّر الإشارة لنجعل معامل c مساويا للواحد.

L2 ← −(13) L2
🔹الخطوة 7: المعادلة الثانية بعد التبسيط
c − b − d + e=0
🔹الخطوة 8: اختيار الوسيطين

الجملة صارت مثلّثية: المعادلة الثالثة بمجهولين، و الثانية تضيف c، و الأولى تضيف a. المجهولان d و e يبقيان حرّين، فنجعلهما وسيطين.

d = k ; e = k'
🔹الخطوة 9: من المعادلة الثالثة
b = 3 − k
🔹الخطوة 10: من المعادلة الثانية
c = b + d − e
🔹الخطوة 11: نعوّض
c=(3 − k) + k − k'
✅النّتيجة الجزئية
c = 3 − k'
🔹الخطوة 12: من المعادلة الأولى
a=1 + 2 b − 2 c + 2 d − e
🔹الخطوة 13: نعوّض
a=1 + 2 (3 − k) − 2 (3 − k') + 2 k − k'
🔹الخطوة 14: ننشر
a=1 + 6 − 2 k − 6 + 2 k' + 2 k − k'
✅النّتيجة
(a ; b ; c ; d ; e) = (1 + k' ; 3 − k ; 3 − k' ; k ; k')
⭐ بعد كلّ عملية، أعد كتابة الجملة كاملة، بما فيها المعادلات التي لم تتغيّر: أكثر الأخطاء في هذا الباب ليست في الحساب، بل في سطر نُقل ناقصا أو بإشارة مقلوبة. و تحقّق في الآخر بتعويض الحلّ في المعادلات الأصلية.
مثال 2: جملة لا تقبل حلولا إلّا بشرط

جملة ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل، لكن أطرافها الثانية أعداد حقيقية معطاة، لا أعدادا محدّدة.

🎯المطلوب: ناقش وجود حلول الجملة بدلالة الأعداد الحقيقية a و b و c

📌المعطى: المعادلة الأولى
2 x + 3 y − 2 z = a
📌المعطى: المعادلة الثانية
x − 2 y + 3 z = b
📌المعطى: المعادلة الثالثة
4 x − y + 4 z = c
🔹الخطوة 1: نجمع المعادلة الأولى مع ضعف الثانية

قبل أيّ حساب، ننظر إلى المعاملات: هل الطرف الأيسر الثالث تركيب خطّي للطرفين الأوّلين؟

(2 x + 3 y − 2 z) + 2 (x − 2 y + 3 z)=a + 2 b
🔹الخطوة 2: ننشر الطرف الأيسر
4 x − y + 4 z = a + 2 b
🔹الخطوة 3: مقارنة مع المعادلة الثالثة
4 x − y + 4 z = c
✅النّتيجة: شرط وجود الحلول

الطرف الأيسر واحد في السطرين، فلا بدّ أن يكون الطرف الأيمن واحدا كذلك، و إلّا كانت الجملة مستحيلة.

c = a + 2 b
🔹الخطوة 4: الشعاعان الناظميان للمعادلتين الباقيتين

عند تحقّق الشرط تصير المعادلة الثالثة نتيجة للأخريين، فلا تضيف شيئا: تبقى معادلتان بثلاثة مجاهيل، أي شعاعان ناظميان غير مرتبطين خطّيا، أي مستويان متقاطعان.

n1(2 ; 3 ; −2)
🔹الخطوة 5: الشعاع الناظمي الثاني
n2(1 ; −2 ; 3)
🔹الخطوة 6: محدّد المركّبتين الأوليين
2 × (−2) − 3 × 1=−7
✅النّتيجة الجزئية: الشعاعان غير مرتبطين خطّيا
−7 ≠ 0
✅النّتيجة الهندسية: مجموعة الحلول مستقيم

المعادلتان الباقيتان تصفان مستويين متقاطعين، و تقاطع مستويين متقاطعين مستقيم: فمجموعة الحلول مستقيم من الفضاء، أي حلّ بوسيط حرّ واحد.

(P1) ∩ (P2) = (D)
حين تظهر في جملة معادلةٌ تركيبٌ خطّي للأخريين، لا تحذفها بسرعة: طرفها الأيمن يحمل شرط الوجود. إن تحقّق الشرط فهي زائدة، و إن لم يتحقّق فهي وحدها التي تجعل الجملة مستحيلة.

2. تقاطع مستويين: من معادلتين إلى تمثيل وسيطي

مستويان غير متوازيين يتقاطعان وفق مستقيم. لكن معرفة أنّ التقاطع مستقيم لا تعطينا هذا المستقيم: لا نقطة منه، و لا شعاع توجيه له. تعيينه يعني كتابة تمثيل وسيطي له، و الطريق إلى ذلك واحد: نختار أحد المجاهيل وسيطا، ثمّ نعبّر عن المجهولين الآخرين بدلالته.

⭐ مستقيم في الفضاء معرّف بجملة معادلتين ديكارتيتين لمستويين متقاطعين. نقطة تنتمي إلى المستقيم إذا و فقط إذا حقّقت المعادلتين معا: هذا هو معنى التقاطع، لا أكثر.
المستقيم في الفضاء لا يُعطى بمعادلة واحدة كما في المستوي، بل بمعادلتين: كلّ واحدة تصف مستويا، و هو ما يشتركان فيه.

كيف نختار المجهول الذي يصير وسيطا؟ نختار ذاك الذي يجعل الجملة الباقية سهلة الحلّ، أي الذي يبقى بعده محدّد غير منعدم للمجهولين الآخرين. و بعد الحصول على التمثيل، نتحقّق دائما بالتعويض في المعادلتين الأصليتين.

⚠️ سمِّ الوسيط بدقّة، و تحقّق من أنّ ما كتبته يطابق ما اخترته. إن قلت «نضع ⁦x = t⁩» وجب أن يظهر في تمثيلك السطر ⁦x = t⁩ نفسه، لا سطر آخر. و أسرع اختبار: عوّض التمثيل في المعادلتين، فإن لم ينعدم الطرفان فالاختيار أو الحساب فيه خلل.
مثال 3: تمثيل وسيطي لمستقيم تقاطع مستويين

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر مستويين معرّفين بمعادلتيهما الديكارتيتين.

🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦( D )⁩ تقاطع المستويين ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩

📌المعطى: معادلة ⁦( P₁ )⁩
2 x − y − 2 z − 1=0
📌المعطى: معادلة ⁦( P₂ )⁩
−x + 4 y + z − 3=0
🔹الخطوة 1: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₁ )⁩
n1(2 ; −1 ; −2)
🔹الخطوة 2: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₂ )⁩
n2(−1 ; 4 ; 1)
🔹الخطوة 3: محدّد المركّبتين الأوليين

لا بدّ أوّلا من التأكّد أنّ التقاطع مستقيم فعلا، و إلّا فلا معنى للبحث عن تمثيل وسيطي.

2 × 4 − (−1) × (−1)=7
✅النّتيجة الجزئية: المستويان متقاطعان
7 ≠ 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

نختار z وسيطا و نحتفظ بـ x و y مجهولين.

z = t
🔹الخطوة 5: المعادلة الأولى بعد التعويض
2 x − y = 1 + 2 t
🔹الخطوة 6: المعادلة الثانية بعد التعويض
−x + 4 y = 3 − t
🔹الخطوة 7: نستخرج y من المعادلة الأولى
y = 2 x − 1 − 2 t
🔹الخطوة 8: نعوّض في المعادلة الثانية
−x + 4 (2 x − 1 − 2 t)=3 − t
🔹الخطوة 9: ننشر الطرف الأيسر
7 x − 4 − 8 t = 3 − t
🔹الخطوة 10: نجمع الحدود المتشابهة
7 x = 7 + 7 t
🔹الخطوة 11: قيمة الفاصلة
x = 1 + t
🔹الخطوة 12: نعود إلى عبارة الترتيب
y=2 (1 + t) − 1 − 2 t
✅النّتيجة الجزئية: الترتيب ثابت
y = 1
✅النّتيجة: تمثيل وسيطي لـ ⁦( D )⁩
x = t + 1 ; y = 1 ; z = t
🔹الخطوة 13: شعاع توجيه لـ ⁦( D )⁩

مركّبات شعاع التوجيه هي معاملات الوسيط في السطور الثلاثة.

u(1 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 14: التحقّق في معادلة ⁦( P₁ )⁩
2 (t + 1) − 1 − 2 t − 1=0
🔹الخطوة 15: التحقّق في معادلة ⁦( P₂ )⁩
−(t + 1) + 4 + t − 3=0
⭐ الترتيب ثابت هنا ⁦(y = 1)⁩ و هذا ليس خطأ: معناه أنّ المستقيم محتوى في المستوي ذي المعادلة ⁦y = 1⁩. الوسيط لا يجب أن يظهر في السطور الثلاثة كلّها.
مثال 4: تمثيل وسيطي بوسيط آخر

نغيّر المستويين، و هذه المرّة الفاصلة هي التي تصلح وسيطا.

🎯المطلوب: عيّن تمثيلا وسيطيا للمستقيم ⁦( D )⁩ تقاطع المستويين ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩

📌المعطى: معادلة ⁦( P₁ )⁩
4 x + y + z + 10=0
📌المعطى: معادلة ⁦( P₂ )⁩
2 x + y + 3 = 0
🔹الخطوة 1: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₁ )⁩
n1(4 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 2: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₂ )⁩
n2(2 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 3: محدّد المركّبتين الأخيرتين
1 × 0 − 1 × 1=−1
✅النّتيجة الجزئية: المستويان متقاطعان
−1 ≠ 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

⚠️ المعادلة الثانية لا تحوي z أصلا، فاختيار z وسيطا يترك جملة في x و y أثقل حلّا. نختار x وسيطا: الترتيب يخرج فورا من المعادلة الثانية.

x = t
🔹الخطوة 5: المعادلة الثانية بعد التعويض
2 t + y + 3 = 0
✅النّتيجة الجزئية: عبارة الترتيب
y = −3 − 2 t
🔹الخطوة 6: المعادلة الأولى بعد التعويض
4 t + (−3 − 2 t) + z + 10=0
🔹الخطوة 7: نجمع الحدود المتشابهة
2 t + 7 + z = 0
✅النّتيجة الجزئية: عبارة الراقم
z = −7 − 2 t
✅النّتيجة: تمثيل وسيطي لـ ⁦( D )⁩
x = t ; y = −3 − 2 t ; z = −7 − 2 t
🔹الخطوة 8: شعاع توجيه لـ ⁦( D )⁩
u(1 ; −2 ; −2)
🔹الخطوة 9: نقطة المستقيم من أجل ⁦t = 0⁩
A(0 ; −3 ; −7)
🔹الخطوة 10: التحقّق في معادلة ⁦( P₁ )⁩
4 × 0 + (−3) + (−7) + 10=0
🔹الخطوة 11: التحقّق في معادلة ⁦( P₂ )⁩
2 × 0 + (−3) + 3=0
⭐ اختر وسيطا مجهولا موجودا في المعادلتين معا كلّما أمكن، و إلّا اختر الذي يجعل أحد المجهولين يخرج في سطر واحد. الاختيار حرّ، لكنّه ليس بلا أثر على طول الحساب.

3. تقاطع مستقيم و مستو: التعويض يحسم

لمّا يكون المستقيم معطى بتمثيل وسيطي و المستوي بمعادلة ديكارتية، لا نحتاج إلى أيّ تحضير: نعوّض عبارات x و y و z في معادلة المستوي. فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى مجهولها الوسيط وحده، و شكل هذه المعادلة يعطي التقاطع كاملا.

⭐ المعادلة الأخيرة من الدرجة الأولى في الوسيط: معاملها و ثابتها هما اللذان يقرّران شكل التقاطع.
شكل المعادلة الناتجة في الوسيطالتقاطع
معامل الوسيط غير منعدم: قيمة وحيدة للوسيطنقطة واحدة
معامل الوسيط منعدم و الثابت غير منعدم: مساواة مستحيلةخال
معامل الوسيط منعدم و الثابت منعدم: مساواة محقّقة دائماالمستقيم كلّه
الحالتان الأخيرتان هما حالتا التوازي: خارج المستوي، أو محتوى فيه.
مثال 5: من تقاطع مستويين إلى نقطة تقاطع ثلاثة مستويات

الفضاء منسوب إلى معلم متعامد و متجانس. نعتبر ثلاثة مستويات، و نبحث عن النقط المشتركة بينها جميعا. نعالج المسألة في مرحلتين: تقاطع الأوّلين، ثمّ لقاؤه بالثالث.

🎯المطلوب: عيّن تقاطع المستويات الثلاثة ⁦( P )⁩ و ⁦( R )⁩ و ⁦( P′ )⁩

📌المعطى: معادلة ⁦( P )⁩
x + y = −1
📌المعطى: معادلة ⁦( R )⁩
2 x + y + 2 z = 0
📌المعطى: معادلة ⁦( P′ )⁩
4 x + 4 y + z + 3=0
🔹الخطوة 1: شعاع ناظمي لـ ⁦( P )⁩
nP(1 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 2: شعاع ناظمي لـ ⁦( R )⁩
nR(2 ; 1 ; 2)
🔹الخطوة 3: محدّد المركّبتين الأخيرتين
1 × 2 − 0 × 1=2
✅النّتيجة الجزئية: ⁦( P )⁩ و ⁦( R )⁩ متقاطعان وفق مستقيم
2 ≠ 0
🔹الخطوة 4: اختيار الوسيط

المرحلة الأولى: نعيّن هذا المستقيم. نختار z وسيطا.

z = t
🔹الخطوة 5: نستخرج الترتيب من معادلة ⁦( P )⁩
y = −1 − x
🔹الخطوة 6: نعوّض في معادلة ⁦( R )⁩
2 x + (−1 − x) + 2 t=0
🔹الخطوة 7: نجمع الحدود المتشابهة
x − 1 + 2 t = 0
✅النّتيجة الجزئية: عبارة الفاصلة
x = 1 − 2 t
🔹الخطوة 8: نعود إلى عبارة الترتيب
y = −1 − (1 − 2 t)
✅النّتيجة الجزئية: عبارة الترتيب
y = −2 + 2 t
✅النّتيجة الأولى: تمثيل وسيطي لـ ⁦( D )⁩
x = 1 − 2 t ; y = −2 + 2 t ; z = t
🔹الخطوة 9: التعويض في معادلة ⁦( P′ )⁩

المرحلة الثانية: نعوّض هذا التمثيل في معادلة المستوي الثالث.

4 (1 − 2 t) + 4 (−2 + 2 t) + t + 3=0
🔹الخطوة 10: ننشر
4 − 8 t − 8 + 8 t + t + 3=0
🔹الخطوة 11: نجمع الحدود المتشابهة
t − 1 = 0
🔹الخطوة 12: قيمة الوسيط

معامل الوسيط غير منعدم، فللمعادلة حلّ وحيد: التقاطع نقطة واحدة.

t = 1
🔹الخطوة 13: إحداثيات النقطة
(1 − 2 ; −2 + 2 ; 1) = (−1 ; 0 ; 1)
🔹الخطوة 14: التحقّق في معادلة ⁦( P )⁩
−1 + 0 = −1
🔹الخطوة 15: التحقّق في معادلة ⁦( R )⁩
2 × (−1) + 0 + 2 × 1=0
🔹الخطوة 16: التحقّق في معادلة ⁦( P′ )⁩
4 × (−1) + 4 × 0 + 1 + 3=0
✅النّتيجة
(P) ∩ (R) ∩ (P') = {(−1 ; 0 ; 1)}
⭐ لا تنهِ سؤالا من هذا النوع دون التحقّق في المعادلات الثلاث: التعويض لا يكلّف ثلاثة أسطر، و هو الفرق بين جواب مؤكّد و جواب مرجوّ.

4. تقاطع ثلاثة مستويات: نقطة، أو مستقيم، أو خال

المثال السابق أعطى الحالة الأولى: نقطة واحدة. و الطريق نفسه يعطي الحالتين الأخريين، لأنّ المعادلة الأخيرة في الوسيط هي التي تقرّر. مرحلتان لا ثالثة لهما: نعيّن ⁦( D )⁩ تقاطع مستويين، ثمّ نعوّض في معادلة الثالث.

و إذا كان مستويان من الثلاثة متوازيين و مختلفين، فلا حاجة إلى أيّ جملة: تقاطعهما خال، و تقاطع الثلاثة خال من باب أولى. ابحث دائما عن هذه الحالة أوّلا: هي تُنهي السؤال في سطرين.

مثال 6: ثلاثة مستويات تقاطعها خال، و ليس فيها مستويان متوازيان

نحتفظ بالمستقيم ⁦( D )⁩ المعيّن في المثال 4، تقاطع المستويين ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩، و نضيف مستويا ثالثا.

🎯المطلوب: عيّن تقاطع المستويات الثلاثة ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩ و ⁦( P₃ )⁩

📌المعطى: تمثيل وسيطي لـ ⁦( D )⁩ من المثال 4
x = t ; y = −3 − 2 t ; z = −7 − 2 t
📌المعطى: معادلة ⁦( P₃ )⁩
2 x − y + 2 z − 1=0
🔹الخطوة 1: شعاع ناظمي لـ ⁦( P₃ )⁩
n3(2 ; −1 ; 2)
🔹الخطوة 2: الشعاع الناظمي لـ ⁦( P₁ )⁩

نبدأ بالبحث عن مستويين متوازيين بين الثلاثة، فذلك ينهي السؤال فورا. و لذلك نقارن الأشعّة الناظمية مثنى مثنى.

n1(4 ; 1 ; 1)
🔹الخطوة 3: الشعاع الناظمي لـ ⁦( P₂ )⁩
n2(2 ; 1 ; 0)
🔹الخطوة 4: محدّد n₁ و n₂ على المركّبتين الأوليين
4 × 1 − 1 × 2=2
🔹الخطوة 5: محدّد n₁ و n₃ على المركّبتين الأوليين
4 × (−1) − 1 × 2=−6
🔹الخطوة 6: محدّد n₂ و n₃ على المركّبتين الأوليين
2 × (−1) − 1 × 2=−4
✅النّتيجة الجزئية: المستويات متقاطعة مثنى مثنى

لا محدّد منها منعدم، فلا شعاعين مرتبطين خطّيا، فلا مستويين متوازيين: لا مفرّ من الحساب.

2 ≠ 0
🔹الخطوة 7: التعويض في معادلة ⁦( P₃ )⁩

نقطة من ⁦( D )⁩ تنتمي إلى ⁦( P₃ )⁩ إذا و فقط إذا حقّق وسيطها هذه المعادلة. نبحث إذن عن قيم الوسيط التي تحقّقها.

2 t − (−3 − 2 t) + 2 (−7 − 2 t) − 1=0
🔹الخطوة 8: نشر الطرف الأيسر

⭐ ننشر الطرف الأيسر وحده و ننظر إلى ما يبقى منه.

2 t + 3 + 2 t − 14 − 4 t − 1=−12
🔹الخطوة 9: الطرف الأيسر ثابت

معامل الوسيط انعدم: الطرف الأيسر ثابت لا يتعلّق بالوسيط أصلا. و هذا الثابت ليس معدوما، فلا قيمة للوسيط تحقّق المعادلة.

−12 ≠ 0
🔹الخطوة 10: التحقّق بالجداء السلّمي

و يمكن قراءة الأمر هندسيا: شعاع توجيه ⁦( D )⁩ عمودي على الشعاع الناظمي لـ ⁦( P₃ )⁩، إذن ⁦( D )⁩ يوازي ⁦( P₃ )⁩، و النقطة A من ⁦( D )⁩ ليست من ⁦( P₃ )⁩.

u . n3=1 × 2 + (−2) × (−1) + (−2) × 2=0
✅النّتيجة
(P1) ∩ (P2) ∩ (P3) = ∅
لاحظ أنّ المستويات الثلاثة هنا متقاطعة مثنى مثنى وفق ثلاثة مستقيمات، و مع ذلك لا نقطة مشتركة بينها جميعا: هذا هو شكل الموشور، و هو الفخّ الأشهر في هذا الباب.
مثال 7: تقاطع خال بسبب التوازي، في سطرين

نحتفظ بالمستقيم ⁦( D )⁩ المعيّن في المثال 3، تقاطع المستويين ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₂ )⁩، و نضيف المستوي ⁦( P₃ )⁩ الذي معادلته أدناه.

🎯المطلوب: بيّن أنّ تقاطع المستويات الثلاثة خال

📌المعطى: تمثيل وسيطي لـ ⁦( D )⁩ من المثال 3
x = t + 1 ; y = 1 ; z = t
📌المعطى: معادلة ⁦( P₃ )⁩
4 x − 2 y − 4 z − 5=0
🔹الخطوة 1: التعويض في معادلة ⁦( P₃ )⁩

نبحث عن قيم الوسيط التي تجعل نقطة ⁦( D )⁩ تنتمي إلى ⁦( P₃ )⁩.

4 (t + 1) − 2 × 1 − 4 t − 5=0
🔹الخطوة 2: نشر الطرف الأيسر
4 t + 4 − 2 − 4 t − 5=−3
🔹الخطوة 3: الطرف الأيسر ثابت

معامل الوسيط انعدم و بقي ثابت غير منعدم، كما في المثال السابق: لا قيمة للوسيط تحقّق المعادلة.

−3 ≠ 0
🔹الخطوة 4: قراءة أخرى — نطرح ضعف معادلة ⁦( P₁ )⁩ من معادلة ⁦( P₃ )⁩
(4 x − 2 y − 4 z − 5) − 2 (2 x − y − 2 z − 1)=−3
✅النّتيجة

المجاهيل تختفي كلّها و يبقى ثابت غير معدوم: لا نقطة في الفضاء تحقّق المعادلتين معا، فالمستويان ⁦( P₁ )⁩ و ⁦( P₃ )⁩ متوازيان و مختلفان.

(P1) ∩ (P2) ∩ (P3) = ∅
⭐ الطريقان يعطيان الجواب نفسه، لكنّ الثاني أقصر: قبل أن تحلّ أيّ جملة، قارن الأشعّة الناظمية مثنى مثنى. مستويان متوازيان و مختلفان يُنهيان السؤال فورا.
⭐ الجدول الذي يختصر الباب كلّه: إذا انتهيت إلى معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط، فانظر إلى معاملها. غير منعدم ⟸ نقطة. منعدم مع ثابت غير منعدم ⟸ خال. منعدم مع ثابت منعدم ⟸ المستقيم كلّه. لا حالة رابعة.
⛔ في البكالوريا، «عيّن تقاطع…» يعني أعطِ الشيء نفسه: إحداثيات النقطة، أو تمثيلا وسيطيا للمستقيم، أو الرمز الدالّ على المجموعة الخالية — لا «يتقاطعان» وحدها. ⚖️ و اكتب دائما مرحلتيك بوضوح: أوّلا تقاطع مستويين، ثمّ لقاء المستقيم الناتج بالمستوي الثالث. المصحّح ينقّط المرحلتين، حتّى إن أخطأت في حساب الأخيرة.
الخلاصة: تعيين تقاطع يمرّ دائما بجملة معادلات. مستويان متقاطعان ⟸ نختار مجهولا وسيطا فنحصل على تمثيل وسيطي لمستقيم تقاطعهما. مستقيم و مستو ⟸ نعوّض التمثيل الوسيطي في المعادلة فنحصل على معادلة من الدرجة الأولى في الوسيط: معاملها و ثابتها يعطيان نقطة، أو تقاطعا خاليا، أو المستقيم كلّه. ثلاثة مستويات ⟸ نجمع الحركتين: تقاطع اثنين، ثمّ لقاؤه بالثالث — و إن وجدت بينها مستويين متوازيين مختلفين، فالجواب خال في سطرين. و في كلّ مرّة، التحقّق بالتعويض في المعادلات الأصلية هو ما يجعل الجواب مؤكّدا.

Page 1/12

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net