Mathématiques🎓 objectif bac

الدالتان الأسية واللوغاريتمية الدالة الأسية نظريات و تعاريف

الدالة الأسية: نظرية الوجود، التعريف و الوحدانية

🔊 La maîtresse lit pour toi

كتلة من مادّة مشعّة تتناقص، و سرعة تناقصها في كلّ لحظة تتناسب مع ما تبقّى منها. و رأسمال يكبر، و سرعة نموّه تتناسب مع قيمته الحاليّة. في الحالتين تُقاس مشتقّة الدالة بالدالة نفسها، لا بشيء آخر. فهل توجد دالة تساوي مشتقّتها تماما، و هل هي وحيدة؟

الجواب نعم، و ليس بالتجريب: مبرهنة تُثبت أنّ دالة كهذه توجد، و أنّها وحيدة بمجرّد تثبيت قيمتها عند الصفر. تلك الدالة هي الدالة الأسّية، و هي محور هذه السنة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

ذكر مبرهنة وجود و وحدانية الدالة الأسّية و شرطَيها
استعمال النتيجتين ⁦exp(0) = 1⁩ و ⁦exp'(x) = exp(x)⁩
تطبيق الخواص الجبرية الخمس للدالة الأسّية
الانتقال بين الترميزين ⁦exp(x)⁩ و e^x

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب مشتقّة دالة، و مشتقّة حاصل قسمة
قواعد القوى ذات الأسّ الصحيح النسبي

1. المبرهنة و التعريف

شرطان اثنان لا ثالث لهما: أن تساوي الدالة مشتقّتها، و أن تأخذ القيمة 1 عند الصفر. هذان الشرطان يعيّنان دالة واحدة لا غير:

مبرهنة و تعريف

توجد دالة وحيدة f قابلة للاشتقاق على ℝ تحقّق هذين الشرطين. نرمز إليها بـ exp و نسمّيها الدالة الأسّية النيبيرية.

f' = f ; f(0) = 1

بعبارة أخرى: الدالة الأسّية هي الحلّ الخاصّ للمعادلة التفاضلية ⁦y' = y⁩ الذي يحقّق ⁦y(0) = 1⁩. الشرط الأوّل يختار عائلة من الدوال، و الشرط الثاني يختار واحدة منها.

النتيجتان المباشرتان

الأولى هي شرط التعيين نفسه، و الثانية هي تعريف الدالة. من حفظهما استغنى عن جدول المشتقات في نصف الحالات.

exp(0) = 1 ; exp'(x) = exp(x)

الدالة الأسّية معرّفة على ℝ كلّه: لا شرط على x، و لا قيمة ممنوعة. هذا ما يجعلها أداة مريحة في النمذجة، بخلاف الجذر و المقلوب.

2. الخواص الجبرية

خمس خواص، و هي في الحقيقة قواعد القوى نفسها التي تعرفها منذ سنوات، منقولة إلى الأسّية:

الخاصية 1

الأسّية لا تنعدم أبدا. هذه أهمّ خاصية عمليّا: تسمح بالقسمة على ⁦exp(x)⁩ و بالضرب في البسط و المقام دون أيّ شرط.

exp(x) ≠ 0

الخاصية 2

الأسّ المعاكس يعطي المقلوب — تماما كما أنّ ⁦2⁻³⁩ يساوي مقلوب 2³.

exp(-x) = 1 ÷ exp(x)

الخاصية 3

هذه هي الخاصية الأمّ: الأسّية تحوّل الجمع إلى جداء. كلّ الخواص الأخرى تُشتقّ منها.

exp(x + y) = exp(x) × exp(y)

الخاصية 4

نتيجة مباشرة للخاصيتين 2 و 3: طرح في الأسّ يقابل قسمة في الصورة.

exp(x - y) = exp(x) ÷ exp(y)

الخاصية 5

من أجل كلّ عدد صحيح نسبي n. الضرب في عدد صحيح يقابل رفعا إلى قوّة.

exp(n x) = [exp(x)]ⁿ

3. العدد e و الترميز e^x

صورة العدد 1 بالدالة الأسّية عدد شهير، يُرمز إليه بـ e:

العدد e

عدد غير ناطق، كما هو الحال بالنسبة لـ π. الحاسبة تعطيه بمفتاح مباشر.

e = exp(1) ≈ 2,718281828

بتطبيق الخاصية 5 على ⁦x = 1⁩ نجد، من أجل كلّ عدد صحيح نسبي n، أنّ ⁦exp(n) = eⁿ⁩. و اصطلاحا نمدّد هذه الكتابة إلى كلّ عدد حقيقي:

الترميز

تُقرأ « e أسّية x ». الكتابتان تعنيان الشيء نفسه تماما، و الاصطلاح متلائم مع قواعد القوى عندما يكون الأسّ عددا صحيحا.

exp(x) = e^x

و تُعاد الخواص الخمس بهذا الترميز، فتصير مألوفة تماما:

قواعد الحساب

اقرأها مرّة واحدة و قارنها بقواعد القوى: لا جديد فيها إلاّ أنّ الأسّ صار عددا حقيقيا أيّا كان، لا عددا صحيحا فحسب.

e⁰ = 1 ; e⁻^x = 1e^x ; e^x⁺^y = e^x × e^y ; e^x⁻^y = e^xe^y ; e^nx = (e^x)ⁿ

عندما يكون الأسّ مركّبا نكتبه في هذا الدرس ⁦exp(x² + 1)⁩ للوضوح، و هو نفسه e مرفوعا إلى الأسّ ⁦x² + 1⁩ كما تكتبه على ورقتك: الكتابتان صحيحتان و متكافئتان. أمّا الأسّ البسيط فنكتبه مرفوعا: e^x، ⁦e⁻^x⁩، e²^x.

منحنى الدالة f المعرّفة بالكسر ثلاثة e أس x ناقص واحد على e أس x زائد واحد: يقترب من مستقيم أفقي مرتفع عند اللانهاية الموجبة ومن مستقيم أفقي منخفض عند اللانهاية السالبة، وتظهر عليه نقطتان فاصلتاهما متعاكستان تقع النقطة A في منتصف القطعة الواصلة بينهما. — العلاقة بين صورتَي عددين متعاكسين تُقرأ على المنحنى: تناظر بالنسبة إلى نقطة.

مثال 1: توظيف قواعد الحساب

نعتبر العدد ⁦A = e⁵ × e⁻² ÷ e⁴⁩.

🎯المطلوب: اكتب العدد A على صيغة قوّة واحدة للعدد e، ثمّ أعط قيمة مقرّبة له.

🔹الخطوة 1: البسط

نجمع الأسّين عند الجداء.

e⁵ × e⁻²=e⁵⁻²=e³

🔹الخطوة 2: القسمة

نطرح الأسّين عند القسمة.

e³e⁴=e³⁻⁴=e⁻¹

✅النّتيجة

الأسّ سالب، فالنتيجة مقلوب.

A=e⁻¹=1e ≈ 0,368

لا تحسب شيئا قبل أن تجمع كلّ الأسّ في مكان واحد. الحاسبة تأتي في السطر الأخير، لا قبله.

مثال 2: دراسة تناظر — الفردية

نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = (e^x - 1)/(e^x + 1)⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة f فردية.

🔹الخطوة 1: صورة العدد المعاكس

نعوّض x بـ -x في عبارة الدالة.

f(-x)=e⁻^x - 1e⁻^x + 1

🔹الخطوة 2: التخلّص من الأسّ السالب

نضرب البسط و المقام في e^x، و هو غير معدوم حسب الخاصية 1.

f(-x)=1 - e^x1 + e^x

✅النّتيجة

البسط صار معاكس البسط الأوّل، و المقام لم يتغيّر.

f(-x) = -f(x)

الضرب في e^x حيلة الفصل كلّه: كلّما ظهر ⁦e⁻^x⁩ في كسر، اضربه في e^x فوق و تحت. الخاصية 1 تضمن أنّك لا تضرب في صفر.

مثال 3: تناظر بالنسبة إلى نقطة

نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = (3e^x - 1)/(e^x + 1)⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّه من أجل كلّ عدد حقيقي x لدينا ⁦f(-x) + f(x) = 2⁩، ثمّ فسّر النتيجة بيانيا.

🔹الخطوة 1: صورة العدد المعاكس

نعوّض x بـ -x ثمّ نضرب البسط و المقام في e^x.

f(-x)=3 - e^x1 + e^x

🔹الخطوة 2: الجمع

للكسرين نفس المقام، فنجمع البسطين كما هما.

f(-x) + f(x)=2e^x + 2e^x + 1

✅النّتيجة

نُخرج 2 عاملا مشتركا في البسط، فيُبسّط المقام.

f(-x) + f(x) = 2

العلاقة ⁦f(-x) + f(x) = 2⁩ تقول إنّ ترتيبَي نقطتين فاصلتاهما متعاكستان مجموعهما ثابت يساوي 2، أي إنّ منتصفهما ثابت: المنحنى متناظر بالنسبة إلى النقطة ⁦A(0 ; 1)⁩.

سؤال « بيّن أنّ f فردية » أو « أنّ المنحنى متناظر بالنسبة إلى A » يُطرح كلّ سنة تقريبا، و يُنقّط على الخطوة الوسطى لا على النتيجة: الضرب في e^x مع تبرير أنّه غير معدوم. من كتب النتيجة دون هذا التبرير خسر نصف العلامة.

الخلاصة: شرطان — ⁦f' = f⁩ و ⁦f(0) = 1⁩ — يعيّنان دالة واحدة هي exp. خمس خواص جبرية تختصر في واحدة: الأسّية تحوّل الجمع إلى جداء. و العدد ⁦e ≈ 2,718⁩ يفتح الترميز e^x الذي سنستعمله في كلّ ما تبقّى.

Page 1/7

الدالة الأسية: نظرية الوجود، التعريف و الوحدانية

1. المبرهنة و التعريف

2. الخواص الجبرية

3. العدد e و الترميز ex

3. العدد e و الترميز e^x