Mathématiques🎓 objectif bac

التزايد المقارن ودراسة الدوال التزايد المقارن

التزايد المقارن و النهايات الشهيرة للأسية و اللوغاريتم

🔊 La maîtresse lit pour toi

املأ ورقة حساب: في العمود الأوّل x، ثمّ e^x، ثمّ x¹⁵، ثمّ ln x. عند ⁦x = 20⁩ يعطي الجدول 485 165 195 للأسّية، و 32,8 مليار مليار للقوّة الخامسة عشرة، و 2,996 فقط للوغاريتم. الثلاثة تكبر بلا حدّ، لكنّها لا تكبر بالسرعة نفسها إطلاقا. فأيّ الدوال الثلاث تتفوّق على الأخرى عند اللانهاية، و كيف نبرهن ذلك بدل أن نخمّنه؟

التخمين لا يكفي: ورقة الحساب تعطي قيما، لا برهانا. و الفصل كلّه يقوم على أربع نهايات تُحفظ، ثمّ تُعمّم. سمّيت « الشهيرة » لأنّها تُستعمل في كلّ دراسة دالة تقريبا.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

ذكر النهايتين الشهيرتين للدالة الأسّية أمام x
ذكر النهايتين الشهيرتين للدالة اللوغاريتمية أمام x
تعميم النهايتين على الدالة قوّة xⁿ
ترتيب الدوال الثلاث حسب سرعة تزايدها عند اللانهاية

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

نهايات الدالتين الأسّية و اللوغاريتمية عند حدود مجموعة التعريف
النهايات بالمقارنة و بالحصر

1. الأسّية أمام x

خاصيتان

الأولى تقول إنّ الأسّية تسبق x عند +∞ سبقا لا يُدرك. و الثانية تقول إنّ الأسّية تسحق x عند -∞: الجداء يؤول إلى الصفر رغم أنّ أحد العاملين يؤول إلى اللانهاية.

lim(x → +∞) e^xx = +∞ ; lim(x → -∞) x e^x = 0

برهان الأولى يمرّ بدالة وسيطة، و هو نموذج للطريقة: نبني دالة، ندرس إشارة مشتقّتها الثانية، فنصعد درجة درجة إلى المطلوب.

مثال 1: برهان النهاية الأولى

نعتبر الدالة f المعرّفة على المجال ⁦[0 ; +∞[⁩ بـ ⁦f(x) = e^x - x²/2⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة f موجبة، ثمّ استنتج نهاية النسبة ⁦e^x/x⁩ عند +∞.

🔹الخطوة 1: الدالة الوسيطة

ندرس فرق الأسّية عن نصف مربّع x على المجال الموجب.

f(x) = e^x - x²2

🔹الخطوة 2: المشتقّتان

نشتقّ مرّتين: المشتقّة الثانية موجبة لأنّ ⁦e^x ≥ 1⁩ على ⁦[0 ; +∞[⁩.

f'(x) = e^x - x ; f''(x) = e^x - 1 ≥ 0

🔹الخطوة 3: صعود أوّل

f'' موجبة ⟹ f' متزايدة، و ⁦f'(0) = 1⁩، إذن f' تبقى موجبة.

f'(x) ≥ 0

🔹الخطوة 4: صعود ثان

f' موجبة ⟹ f متزايدة، و ⁦f(0) = 1⁩، إذن f تبقى موجبة.

f(x) ≥ 0 ⟹ e^x ≥ x²2

✅النّتيجة

نقسم على x الموجب تماما، ثمّ نطبّق النهايات بالمقارنة.

e^xx ≥ x2 ; lim(x → +∞) x2 = +∞ ⟹ lim(x → +∞) e^xx = +∞

لاحظ البنية: مشتقّة ثانية موجبة ⟸ مشتقّة أولى متزايدة، و مع قيمة ابتدائية موجبة ⟸ مشتقّة أولى موجبة ⟸ دالة متزايدة. هذا السلّم ذو الدرجتين يتكرّر كثيرا في البراهين، و هو أيضا طريقة شائعة لإثبات متراجحة بين دالتين لا تتقاطعان.

النهاية الثانية تُستنتج من الأولى بتغيير بسيط للمتغيّر: نضع ⁦X = -x⁩، فيصير الجداء x e^x مساويا للعدد المعاكس لنسبة X على ⁦exp(X)⁩، و هذه تؤول إلى الصفر.

2. اللوغاريتم أمام x

خاصيتان

الأولى تقول إنّ x يسبق اللوغاريتم عند +∞. و الثانية تقول إنّ x يسحق اللوغاريتم عند الصفر: الجداء يؤول إلى الصفر رغم أنّ ln x يؤول إلى -∞.

lim(x → +∞) ln xx = 0 ; lim(x → 0) x ln x = 0

و البرهان هنا أقصر بكثير، لأنّ العمل قد أُنجز في الفقرة الأولى: يكفي تغيير المتغيّر لنعود إلى نهاية نعرفها.

مثال 2: برهان النهايتين اللوغاريتميتين

نريد برهان النهايتين ⁦lim(x → +∞) ln x / x⁩ و ⁦lim(x → 0) x ln x⁩.

🎯المطلوب: أثبت النهايتين بتغيير المتغيّر انطلاقا من نهايات الدالة الأسّية.

🔹الخطوة 1: تغيير المتغيّر

نضع X مساويا للوغاريتم x، فيصير x هو e أسّ X.

X = ln x ⟹ x = e^X

🔹الخطوة 2: العودة إلى نهاية معروفة

لمّا يؤول x إلى +∞ يؤول X إلى +∞ أيضا، و النسبة تنقلب إلى المقلوب المعروف.

ln xx = Xe^X

🔹الخطوة 3: النهاية الأولى

و قد برهنّا أنّ نسبة ⁦exp(X)⁩ على X تؤول إلى +∞، فمقلوبها يؤول إلى الصفر.

lim(x → +∞) ln xx = 0

🔹الخطوة 4: تغيير متغيّر ثان

للنهاية الثانية نضع X مساويا لمقلوب x، فيؤول X إلى +∞ لمّا يؤول x إلى الصفر.

X = 1x ⟹ x = 1X ; ln x = -ln X

🔹الخطوة 5: العودة إلى النهاية الأولى

نعوّض العاملين معا في الجداء.

x ln x=(1X) × (-ln X)=-ln XX

✅النّتيجة

و هي بالضبط معاكس النهاية التي حسبناها للتوّ.

lim(x → 0) x ln x = 0

تغيير المتغيّر بين ln و exp هو الجسر الوحيد بين عالمين. كلّما واجهت نهاية لوغاريتمية لا تعرفها، ضع ⁦X = ln x⁩ أو ⁦X = 1/x⁩ و انظر إن كانت تعود إلى نهاية أسّية محفوظة.

3. التعميم على الدالة قوّة

الأسّ 1 ليس حالة خاصّة: كلّ ما سبق يبقى صحيحا مع xⁿ مكان x، مهما كان n عددا طبيعيا غير معدوم. أربع نهايات، و هي التي تُستعمل فعليا في التمارين:

مع الأسّية

مهما رفعت درجة كثير الحدود، تبقى الأسّية أسرع. حتّى x¹⁵ — و قد رأيت قيمتها الهائلة عند ⁦x = 20⁩ — تخسر السباق في النهاية.

lim(x → +∞) e^xxⁿ = +∞ ; lim(x → -∞) xⁿ e^x = 0

مع اللوغاريتم

و مهما صغرت درجة كثير الحدود، يبقى أسرع من اللوغاريتم. اللوغاريتم يتزايد إلى +∞ لكن ببطء لا يُضاهى.

lim(x → +∞) ln xxⁿ = 0 ; lim(x → 0) xⁿ ln x = 0

و بجمع النتائج الثلاث نحصل على الترتيب الذي يلخّص الباب كلّه، و الذي يُقرأ على الرسم المقابل رأي العين:

خمسة منحنيات في معلم واحد: الأسّية eˣ ترتفع أسرع من x³ ثمّ x² ثمّ x، و اللوغاريتم ln x يبقى في الأسفل — و هذا هو ترتيب سرعة التزايد عند اللانهاية. — عند اللانهاية يصير الترتيب واضحا للعين: e^x ثمّ x³ ثمّ x² ثمّ x، و اللوغاريتم في الأسفل يكاد لا يرتفع.

✅الخلاصة المرتّبة

الرمز ≪ يُقرأ « أبطأ بكثير من ». الدوال الثلاث تؤول كلّها إلى +∞، لكنّ سلوكها مختلف: الأسّية تتفوّق على القوّة، و القوّة تتفوّق على اللوغاريتم.

ln x ≪ xⁿ ≪ e^x (x → +∞)

مثال 3: توظيف مباشر للترتيب

نعتبر النهايات ⁦lim(x → +∞) e^x/x³⁩ و ⁦lim(x → +∞) x³/e^x⁩ و ⁦lim(x → +∞) ln x / x²⁩ و ⁦lim(x → -∞) x⁵ e^x⁩.

🎯المطلوب: عيّن كلّ نهاية من النهايات الأربع دون حساب.

🔹الخطوة 1: التعرّف على الصيغة

النسبة من صيغة الأسّية على قوّة، و هي النهاية الشهيرة نفسها بـ ⁦n = 3⁩.

lim(x → +∞) e^xx³ = +∞

🔹الخطوة 2: المقلوب

النسبة الثانية مقلوبة: قوّة على أسّية.

lim(x → +∞) x³e^x = 0

🔹الخطوة 3: اللوغاريتم

و الثالثة لوغاريتم على قوّة، فتؤول إلى الصفر مهما كان الأسّ.

lim(x → +∞) ln xx² = 0

✅النّتيجة

أمّا الجداء عند -∞ فالأسّية تسحق كثير الحدود.

lim(x → -∞) x⁵ e^x = 0

لا تحسب شيئا: تعرّف على الصيغة فحسب. أربع صيغ لا خامسة لها، و كلّ سؤال في الباكالوريا يعود إلى واحدة منها بعد تحويل بسيط.

⛔ الخطأ الأكثر تكلفة: كتابة « ∞/∞ » ثمّ التوقّف. هذه ليست حالة عدم تعيين تُترك، بل دعوة إلى إخراج العامل المهيمن. اكتب دائما سطر التعرّف: « نحن أمام صيغة أسّية على قوّة، إذن … »، ثمّ استشهد بالنهاية الشهيرة باسمها. السطر يُنقّط وحده.

الخلاصة: أربع نهايات تُحفظ، و جملة واحدة تختصرها — عند اللانهاية تتفوّق الأسّية على القوّة، و تتفوّق القوّة على اللوغاريتم. كلّ حالة عدم تعيين من نوع ∞ ناقص ∞ أو صفر ضرب ∞ في هذا الباب تُرفع بواحدة من هذه الأربع.

Page 1/7