مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

المتتاليات العددية

تذكير بالمتتالية الحسابية و المتتالية الهندسية

🔊 La maîtresse lit pour toi
مؤسستان تعرضان العقد نفسه ظاهريا: مرتب أوّل قدره 15000 دينار. الأولى تزيد ⁦15 %⁩ كلّ سنة، و الثانية تزيد 1500 دينار كلّ سنة. في السنة الأولى المرتّبان متساويان تماما، و في السنة الخامسة يفترقان بأكثر من ثلاثة آلاف. فما الفرق بين زيادة بمقدار ثابت و زيادة بنسبة ثابتة؟

الحسابية و الهندسية هما المتتاليتان الوحيدتان اللتان نعرف عنهما كلّ شيء: الحدّ العامّ، المجموع، اتّجاه التغيّر، النهاية. و لهذا يجتهد كلّ تمرين تقريبا في ردّ متتاليته إلى إحداهما — عبر متتالية مساعدة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على متتالية حسابية أو هندسية انطلاقا من فرق أو نسبة
  • حساب الحدّ العامّ لكلّ منهما
  • حساب مجموع حدود متتابعة من كلّ منهما
  • تعيين نهاية متتالية هندسية حسب أساسها
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • توليد متتالية بالحدّ العامّ و بالتراجع
  • قوى عدد حقيقي و النسب المئوية

1. المتتالية الحسابية

نقول إنّ ⁦(uₙ)⁩ حسابية أساسها r إذا كان الانتقال من حدّ إلى الذي يليه بـ إضافة العدد نفسه دائما.

التعريف

بصيغة أخرى: ⁦⁦u₍ₙ₊₁₎ − uₙ = r⁩⁩ ثابت. و هذا هو الاختبار العمليّ: احسب الفرق، فإن خرج عددا لا يتعلّق بـ n فالمتتالية حسابية.

un+1 = un + r
rأساس المتتالية الحسابية، عدد حقيقي
الحدّ العامّ

من الرتبة 0 إلى الرتبة n نضيف r بعدد n مرّة. و إن كان الحدّ الأوّل من الرتبة p كتبنا ⁦⁦uₙ = uₚ + (n − p) r⁩⁩ — العدد المضروب في r هو فرق الرتب، لا الرتبة.

un = u0 + n r
مجموع حدود متتابعة

⭐ عدد الحدود × متوسّط الطرفين. و انتبه: من الرتبة 0 إلى الرتبة n هناك ⁦n + 1⁩ حدّا لا n. أكثر أخطاء المجاميع تقع هنا.

S=u0 + u1 + ... + un=(n + 1) × u0 + un2

2. المتتالية الهندسية

نقول إنّ ⁦(uₙ)⁩ هندسية أساسها q إذا كان الانتقال من حدّ إلى الذي يليه بـ ضرب العدد نفسه دائما، و q غير معدوم.

التعريف

الاختبار العمليّ هو النسبة لا الفرق: ⁦⁦u₍ₙ₊₁₎/uₙ = q⁩⁩ ثابتة. و تشترط الحدود غير معدومة لتُقسم.

un+1 = un × q
qأساس المتتالية الهندسية، عدد حقيقي غير معدوم
الحدّ العامّ

نضرب في q بعدد n مرّة. و من الرتبة ⁦p : ⁦uₙ = uₚ × qn⁻p⁩⁩.

un = u0 × qn
مجموع حدود متتابعة

بشرط ⁦⁦q ≠ 1⁩⁩. و إن كان ⁦⁦q = 1⁩⁩ فالحدود كلّها متساوية و ⁦⁦S = (n+1)u₀⁩⁩. ⭐ الأسّ في البسط هو عدد الحدود، أي ⁦⁦n+1⁩⁩ — التذكير نفسه، في مكان آخر.

S=u0 + u1 + ... + un=u0 × 1 − qn+11 − q

3. نهاية متتالية هندسية

كلّ شيء يتقرّر بـ أساس المتتالية، و بإشارة حدّها الأوّل.

  • ⁦⁦q > 1⁩⁩ و ⁦⁦u₀ > 0⁩⁩ ⟸ النهاية ⁦+∞⁩ : المتتالية متباعدة
  • ⁦⁦q > 1⁩⁩ و ⁦⁦u₀ < 0⁩⁩ ⟸ النهاية ⁦−∞⁩ : المتتالية متباعدة
  • ⁦⁦−1 < q < 1⁩⁩ ⟸ النهاية صفر : المتتالية متقاربة
  • ⁦⁦q ≤ −1⁩⁩ ⟸ لا نهاية : المتتالية متباعدة، و حدودها تتناوب دون أن تستقرّ
  • ⁦⁦q = 1⁩⁩ ⟸ المتتالية ثابتة نهايتها ⁦⁦u₀⁩⁩ : المتتالية متقاربة
الحالة المتقاربة

ضرب متكرّر في عدد قيمته المطلقة أصغر من واحد يمحو كلّ شيء. هذه الحالة هي التي تُستعمل في تسعة تمارين من عشرة، لأنّ المتتالية المساعدة تُبنى دائما لتقع فيها.

−1 < q < 1 ⟹ lim qn = 0
⛔ الأساس ناقص واحد ليس حالة تقارب. الحدود تتناوب بين قيمتين متعاكستين إلى الأبد: لا يوجد مجال مفتوح صغير يسعهما معا، فلا نهاية. و لا تخلط بين «محدودة» و «متقاربة»: هذه المتتالية محدودة تماما، و مع ذلك متباعدة.
⭐ كيف تميّز في ثوان؟ احسب ⁦⁦u₁ − u₀⁩⁩ و ⁦⁦u₂ − u₁⁩⁩: إن تساويا فجرّب الحسابية. و احسب ⁦⁦u₁/u₀⁩⁩ و ⁦⁦u₂/u₁⁩⁩: إن تساويا فجرّب الهندسية. ثمّ برهن على الحالة العامّة — حدّان لا يثبتان شيئا، لكنّهما يوجّهان.
مثال 1: العقدان

مؤسسة عمومية تعرض مرتّبا شهريا قدره 15000 دينار في السنة الأولى، مع زيادة سنوية قدرها 15 بالمائة. و مؤسسة أخرى تعرض المرتّب نفسه في السنة الأولى، مع زيادة سنوية قدرها 1500 دينار. نرمز بـ uₙ و vₙ للمرتّب الشهري في السنة ⁦n (n ≥ 1)⁩.

🎯المطلوب: عيّن طبيعة كلّ متتالية و حدّها العامّ، ثمّ ابتداء من أيّ سنة يفوق كلّ مرتّب 25000 دينار؟

🔹الخطوة 1: طبيعة الأوّل

في العقد الأوّل الزيادة نسبة: كلّ مرتّب هو السابق مضروبا في واحد فاصل خمسة عشر.

un+1 = un × 1,15 ⟹ q = 1,15
🔹الخطوة 2: حدّها العامّ

حدّها الأوّل هو مرتّب السنة الأولى، فالحدّ العامّ يعدّ من الرتبة واحد.

un = 15000 × (1,15)n−1
🔹الخطوة 3: طبيعة الثاني

في العقد الثاني الزيادة مقدار: كلّ مرتّب هو السابق زائد ألفا و خمسمائة.

vn+1 = vn + 1500 ⟹ r = 1500
🔹الخطوة 4: حدّها العامّ

و حدّها العامّ بالإضافة المتكرّرة.

vn = 15000 + 1500(n − 1)
🔹الخطوة 5: العقد الأوّل

نبحث متى يتجاوز الأوّل خمسة و عشرين ألفا: نحسب الحدود.

u4 = 22813,125 ; u5 ≈ 26235,09
🔹الخطوة 6: العقد الثاني

و في الثاني نحلّ متراجحة من الدرجة الأولى.

15000 + 1500(n − 1) > 25000 ⟹ n − 1 > 203 ⟹ n ≥ 8
✅النّتيجة

فالعقد الأوّل يبلغ الهدف في السنة الخامسة، و الثاني في الثامنة.

n = 5 ; n = 8
⭐ زيادة النسبة أكبر منذ الزيادة الأولى (15 بالمائة من 15000 هي 2250، أي ⁦1,5 × 1500⁩)، ثمّ يتّسع الفارق لأنّ النسبة تُطبَّق على مبلغ متزايد بينما المقدار ثابت. هذا هو الفرق بين النموّ الأسّي و النموّ الخطّي، و هو أهمّ درس اقتصادي في الفصل كلّه.
مثال 2: متتالية مساعدة حسابية

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦u₀ = 3⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = uₙ − 5n − 1⁩، و المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي n بـ ⁦vₙ = u₍ₙ₊₁₎ − uₙ⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ ⁦(vₙ)⁩ حسابية، احسب مجموع حدودها الأولى، ثمّ استنتج uₙ بدلالة n.

🔹الخطوة 1: الحدّ الأوّل

نحسب الحدّ الأوّل للمساعدة بتعويض الرتبة صفر.

v0=u1 − u0=(3 − 0 − 1) − 3=−1
🔹الخطوة 2: عبارة المساعدة

العلاقة المعطاة تعطي الفرق مباشرة.

vn=un+1 − un=−5n − 1
🔹الخطوة 3: طبيعة المساعدة

نحسب فرق حدّين متتاليين منها.

vn+1 − vn=(−5n − 5 − 1) − (−5n − 1)=−5
🔹الخطوة 4: النتيجة الأولى

فهي حسابية أساسها ناقص خمسة و حدّها الأوّل ناقص واحد.

r = −5 ; v0 = −1
🔹الخطوة 5: طرفا المجموع

نجمع n حدّا من الرتبة صفر إلى الرتبة ⁦n−1⁩: العدد n و الطرفان v₀ و ⁦v₍ₙ₋₁₎⁩.

v0 = −1 ; vn−1 = −5(n−1) − 1 = −5n + 4
🔹الخطوة 6: المجموع

نطبّق دستور المجموع: عدد الحدود في متوسّط الطرفين.

S=n × −1 + (−5n + 4)2=(n2)(3 − 5n)
🔹الخطوة 7: التلسكوب

و بالجمع طرفا بطرف تتلاشى الحدود الوسطى و يبقى الطرفان.

v0 + v1 + ... + vn−1=un − u0
✅النّتيجة

فنستنتج الحدّ العامّ.

un=(n2)(3 − 5n) + 3
⭐ تحقّق دائما من الحدّ الأوّل: الدستور يعطي ⁦u₁ = (1/2)(3−5) + 3 = 2⁩، و العلاقة تعطي ⁦u₁ = 3 − 0 − 1 = 2⁩. ✅ افعل هذا التحقّق في كلّ تمرين مجموع: خطأ واحد في عدد الحدود أو في الطرفين يقلب النتيجة كلّها، و التعويض بالرتبة واحد يكشفه في سطر.
⛔ الخطأ الذي يترصّد هذا التمرين هو عدّ الحدود. المجموع يمتدّ من الرتبة 0 إلى الرتبة ⁦n−1⁩: عدد حدوده n بالضبط، لا ⁦n+1⁩. و طرفاه هما v₀ و ⁦v₍ₙ₋₁₎⁩، لا v₀ و vₙ. من أخذ الطرف الخطأ حصل على عبارة تبدو معقولة تماما، و تعطي مع ذلك ⁦u₁ = −0,5⁩ بدل 2. التعويض بالرتبة واحد هو الفارق بين نتيجة صحيحة و نتيجة تشبه الصحيحة.
مثال 3: متتالية مساعدة هندسية

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦u₀ = 2⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = (1/3)uₙ + 2⁩، و المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦vₙ = uₙ − 3⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ ⁦(vₙ)⁩ هندسية، استنتج uₙ بدلالة n و المجموع S، ثمّ عيّن نهاية ⁦(uₙ)⁩.

🔹الخطوة 1: الحدّ الموالي

نكتب الحدّ الموالي للمساعدة و نعوّض علاقة التراجع.

vn+1=un+1 − 3=(13)un + 2 − 3
🔹الخطوة 2: العامل المشترك

نجمع الثوابت ثمّ نخرج الثلث عاملا مشتركا.

vn+1=(13)un − 1=(13)(un − 3)=(13)vn
🔹الخطوة 3: طبيعتها

فهي هندسية أساسها الثلث، و حدّها الأوّل هو الفرق عند الرتبة صفر.

q = 13 ; v0 = 2 − 3 = −1
🔹الخطوة 4: الحدّان العامّان

نكتب حدّها العامّ ثمّ نعود إلى المتتالية الأصلية.

vn = −(13)n ⟹ un = 3 − (13)n
🔹الخطوة 5: المجموع

و مجموع n حدّا من المساعدة بدستور المتتالية الهندسية.

S=v0 1 − (13)n1 − 13=−(32)(1 − (13)n)
🔹الخطوة 6: النهايات

الأساس محصور بين ناقص واحد و واحد، فالقوّة تؤول إلى الصفر.

lim (13)n = 0 ⟹ lim vn = 0 ; lim S = −32
✅النّتيجة

و منه نهاية المتتالية الأصلية.

lim un = 3
⭐ لاحظ أنّ 3 هي النقطة الثابتة للدالة المولّدة: ⁦⁦x/3 + 2 = x⁩⁩ تعطي ⁦⁦x = 3⁩⁩. المتتالية المساعدة ليست مصادفة، و السؤال الأوّل يهديك إليها. و النهاية 3 هي النقطة الثابتة نفسها — و هذا هو الوجه الحسابي لما رأيته في الرسم.
مثال 4: مجموع الأعداد الفردية

كان اليونان يعرفون أنّ جمع الأعداد الفردية المتتابعة يعطي دائما مربّعا تامّا: ⁦1 = 1²⁩، و ⁦1+3 = 4 = 2²⁩، و ⁦1+3+5 = 9 = 3²⁩.

🎯المطلوب: أثبت هذه النتيجة باستعمال دستور مجموع متتالية حسابية.

🔹الخطوة 1: الطبيعة

الأعداد الفردية المتتابعة تتقدّم باثنين في كلّ مرّة.

ak+1 − ak = 2 ; a0 = 1
🔹الخطوة 2: الحدّ العامّ

حدّها الأوّل واحد، فحدّها العامّ يُكتب بدلالة الرتبة.

ak = 1 + 2k (k ≥ 0)
🔹الخطوة 3: عدّ الحدود

الحدّ الأخير المطلوب هو ⁦2n−1⁩، فنبحث عن رتبته.

1 + 2k = 2n − 1 ⟹ k = n − 1 ⟹ N = n
🔹الخطوة 4: المجموع

نطبّق دستور المجموع: عدد الحدود في متوسّط الطرفين.

S=n × 1 + (2n − 1)2=n × 2n2
✅النّتيجة

فنبسّط.

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)=n²
⭐ الخطوة 3 هي روح التمرين: قبل أن تجمع، عدّ. الحدّ الأخير ⁦2n−1⁩ رتبته ⁦n−1⁩، فالحدود n لا ⁦n+1⁩. و تحقّق: ⁦⁦1+3+…+55⁩⁩ آخره ⁦55 = 2×28 − 1⁩، فالحدود 28، و المجموع ⁦28² = 784⁩. ⚖️ سترى في الحصّة الموالية برهانا آخر للنتيجة نفسها، بالتراجع — و المقارنة بينهما تعلّم أكثر من كلّ منهما وحده.
⛔ في الباكالوريا، لا يُطلب منك أبدا أن تخمّن المتتالية المساعدة: هي معطاة في نصّ السؤال. ما يُنقّط هو ① إثبات طبيعتها بحساب ⁦⁦v₍ₙ₊₁₎⁩⁩ و إخراج العامل، ② تعيين الأساس و الحدّ الأوّل (كثيرون ينسون الثاني)، ③ العودة إلى uₙ. و في كلّ مجموع: عدّ الحدود أوّلا.
الخلاصة: الحسابية تضيف مقدارا ثابتا، و الهندسية تضرب في نسبة ثابتة. لكلّ منهما حدّ عامّ و دستور مجموع مبناهما واحد — عدد الحدود، ثمّ الطرفان أو الأساس. و نهاية الهندسية يقرّرها أساسها وحده. و كلّ التمارين تردّ متتالياتها إلى إحداهما، عبر متتالية مساعدة.

Page 1/8

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net