Mathématiques🎓 objectif bac

المتتاليات العددية

خواص المتتاليات: دراسة سلوك و نهاية متتالية

🔊 La maîtresse lit pour toi

متتالية حدّها العامّ كسر من كثيري حدود: عند الرتبة عشرة تعطي 2,39 و عند المائة 2,95 و عند المليون 2,999995. الحاسبة تقول «تقترب من ثلاثة» و لا تقولها أبدا. فكيف نُثبت نهاية بدل أن نلاحظها؟

درست النهايات في الفصل السابق للدوال. هنا الأداة نفسها تقريبا، بفارق واحد جوهري: المتتالية لا تُحسب لها نهاية إلاّ عند اللانهاية، لأنّ مجموعة تعريفها معزولة و لا حدّ لها من الأعلى.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

دراسة اتّجاه تغيّر متتالية بالفرق أو بالنسبة أو بالدالة المرفقة
التعرّف على تعريف النهاية المنتهية و غير المنتهية
توظيف الدالة المرفقة لحساب نهاية متتالية
بيان أنّ العكس غير صحيح، بمثال مضادّ

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

توليد متتالية و طبيعتها
نهايات الدوال عند اللانهاية و العمليات عليها

1. اتّجاه تغيّر متتالية

متزايدة: من أجل كلّ ⁦n ≥ n₀⁩ ، ⁦u₍ₙ₊₁₎ ≥ uₙ⁩ (متزايدة تماما إن كانت المتباينة صارمة)
متناقصة: من أجل كلّ ⁦n ≥ n₀⁩ ، ⁦u₍ₙ₊₁₎ ≤ uₙ⁩
ثابتة: من أجل كلّ ⁦n ≥ n₀⁩ ، ⁦u₍ₙ₊₁₎ = uₙ⁩
رتيبة: متزايدة أو متناقصة — أي أنّها لا تغيّر اتّجاهها أبدا

ثلاث طرق لدراسة الاتّجاه، و اختيار الطريق نصف العمل:

① بإشارة الفرق

الطريق العامّ، يصلح دائما. موجب ⟸ متزايدة، سالب ⟸ متناقصة.

u_n+1 − u_n

② بالنسبة، إن كانت الحدود موجبة تماما

⭐ أنجع بكثير لمّا يحوي الحدّ العامّ قوى أو عامليات، لأنّ القسمة تبسّط ما لا يبسّطه الطرح. ⛔ و لا يصلح إن كانت الحدود سالبة: القسمة على عدد سالب تقلب المتباينة.

u_n+1u_n ≥ 1 ⟹ (u_n) ↗

③ بالدالة المرفقة، إن كان ⁦uₙ = f(n)⁩

⛔ هذا الطريق لا يصلح إلاّ للحدّ العامّ. لمتتالية تراجعية ⁦⁦u₍ₙ₊₁₎ = f(uₙ)⁩⁩ الدالة تأكل الحدّ لا الرتبة، و تغيّراتها لا تقول شيئا عن اتّجاه المتتالية.

f ↗ [n₀ ; +∞[ ⟹ (u_n) ↗

2. نهاية متتالية

تعريف — نقول إنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ تقبل العدد الحقيقي l كنهاية إذا و فقط إذا كان كلّ مجال مفتوح يشمل l يشمل أيضا كلّ حدود المتتالية ابتداء من رتبة معيّنة. نكتب ⁦lim uₙ = l⁩ و نقول إنّ المتتالية متقاربة.

🔹النهاية المنتهية

⭐ اقرأ التعريف حرفيا: مهما ضيّقت المجال حول l، تدخله كلّ الحدود في النهاية و لا تخرج منه أبدا. « ابتداء من رتبة معيّنة » تسمح للحدود الأولى بأن تكون بعيدة.

lim u_n = l

lنهاية المتتالية، عدد حقيقي

حدود متتالية مرسومة نقاطا فوق محور الرتب، و شريط أفقي حول العدد l تدخله كلّ الحدود ابتداء من رتبة معيّنة. — مهما ضاق المجال المفتوح حول l، تدخله كلّ الحدود ابتداء من رتبة معيّنة و لا تخرج منه: الحدود الأولى وحدها يمكن أن تكون بعيدة.

🔹النهاية اللانهائية

يعني أنّ كلّ مجال من الصيغة ⁦⁦]α ; +∞[⁩⁩ يشمل كلّ الحدود ابتداء من رتبة معيّنة. و بالمثل لـ ⁦−∞⁩ مع المجال ⁦⁦]−∞ ; α[⁩⁩. متتالية لها نهاية لانهائية متباعدة.

lim u_n = +∞

حدود متتالية مرسومة نقاطا فوق محور الرتب، و مستقيم أفقي في المستوى α تتجاوزه كلّ الحدود ابتداء من رتبة معيّنة. — مهما كان α، تدخل كلّ الحدود المجال ⁦]α ; +∞[⁩ ابتداء من رتبة معيّنة: هذا معنى ⁦lim uₙ = +∞⁩.

⛔ متباعدة لا تعني «تذهب إلى اللانهاية». متتالية متباعدة هي كلّ متتالية غير متقاربة: إمّا نهايتها لانهائية، و إمّا لا نهاية لها أصلا — كالمتتالية ⁦⁦(−1)ⁿ⁩⁩ التي تتناوب بين قيمتين دون أن تستقرّ. هذه الأخيرة محدودة و متباعدة في آن واحد.

3. الدالة المرفقة

المبرهنة

نأخذ نقط الدالة عند الرتب الصحيحة وحدها. إن استقرّت الدالة كلّها نحو l فمن باب أولى تستقرّ نقطها المعزولة. و الشيء نفسه إذا كانت النهاية لانهائية.

u_n = f(n) ; lim f(x) = l ⟹ lim u_n = l

⛔ العكس غير صحيح، و إليك مثالا مضادّا. خذ الدالة ⁦⁦f(x) = x·cos(2πx)/(x+1)⁩⁩ و المتتالية ⁦⁦uₙ = f(n)⁩⁩. عند كلّ عدد طبيعي يساوي جيب التمام واحدا، فتصير ⁦⁦uₙ = n/(n+1)⁩⁩ و نهايتها 1؛ لكنّ نهاية f عند اللانهاية غير موجودة، لأنّها تتذبذب بين القيم بين الرتب. ⟸ المتتالية لا ترى إلاّ الرتب الصحيحة، و ما يقع بينها لا يعنيها.

⭐ عمليّا: للحصول على نهاية متتالية بحدّ عامّ، استبدل n بـ x و طبّق ما تعرفه عن الدوال. و إن كان الحدّ العامّ من الصيغة ⁦⁦uₙ = f(vₙ)⁩⁩ حيث ⁦⁦(vₙ)⁩⁩ متتالية أخرى، احسب نهاية ⁦⁦(vₙ)⁩⁩ أوّلا ثمّ مرّرها في f — بشرط استمرار f.

مثال 1: كسر من كثيري حدود

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦uₙ = (3n² − 5n + 1)/(n² + 5)⁩.

🎯المطلوب: عيّن نهاية هذه المتتالية.

🔹الخطوة 1: الدالة المرفقة

المتتالية من الصيغة ⁦uₙ = f(n)⁩، فنكتب الدالة المرفقة.

f(x)=3x² − 5x + 1x² + 5

🔹الخطوة 2: الحدّان المسيطران

عند اللانهاية يسيطر الحدّان ذوا أعلى درجة في البسط و المقام.

lim 3x²x² = 3

🔹الخطوة 3: القسمة

و بالتفصيل: نقسم البسط و المقام على المتغيّر مربّعا.

f(x)=3 − 5x + 1x²1 + 5x²

🔹الخطوة 4: النهاية

كلّ الحدود ذات المقام تؤول إلى الصفر.

lim f(x)=31=3

✅النّتيجة

فنطبّق مبرهنة الدالة المرفقة.

lim u_n = 3

⭐ الخطوة 3 ليست زائدة. «الحدّان المسيطران» قاعدة عمليّة سريعة، لكنّها تُبرَّر بالقسمة. في ورقة الامتحان اكتب القسمة: هي التي تُنقَّط.

مثال 2: نهاية عبر متتالية وسيطة

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦uₙ = √((4n + 3)/(n + 1))⁩.

🎯المطلوب: عيّن نهاية هذه المتتالية.

🔹الخطوة 1: التفكيك

المتتالية من الصيغة ⁦uₙ = f(vₙ)⁩ حيث الجذر التربيعي هو f.

u_n = √(v_n) ; v_n = 4n + 3n + 1

🔹الخطوة 2: الدالة المرفقة

نحسب نهاية المتتالية الداخلية بالدالة المرفقة لها.

g(x) = 4x + 3x + 1 ⟹ lim g(x) = 4

🔹الخطوة 3: النهاية الداخلية

فنهاية المتتالية الداخلية هي أربعة.

lim v_n = 4

🔹الخطوة 4: التمرير

الجذر التربيعي دالة مستمرّة على مجال يشمل أربعة، فنمرّر النهاية.

lim u_n = √(lim v_n)

✅النّتيجة

فنحسب.

lim u_n=√4=2

⭐ شرط الاستمرار في الخطوة 4 ليس تفصيلا. تمرير النهاية داخل دالة يستلزم أن تكون الدالة مستمرّة عند النهاية الداخلية. الجذر مستمرّ على المجال الموجب، و 4 يقع فيه — فالتمرير مشروع.

مثال 3: نهاية بمتتالية مساعدة

نعتبر المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦u₀ = 3⁩ و ⁦u₍ₙ₊₁₎ = (4uₙ − 1)/(uₙ + 2)⁩، و المتتالية ⁦(vₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦vₙ = 1/(uₙ − 1)⁩.

🎯المطلوب: أثبت أنّ ⁦uₙ > 1⁩ عند كلّ رتبة، ثمّ أنّ ⁦(vₙ)⁩ حسابية، و استنتج نهاية ⁦(uₙ)⁩.

🔹الخطوة 1: المقامان غير معدومين

نبرهن بالتراجع أنّ ⁦uₙ > 1⁩: فيكون ⁦uₙ + 2 > 0⁩ (الحدّ الموالي موجود) و ⁦uₙ − 1 > 0⁩ (مقام ⁦vₙ⁩ لا ينعدم).

u₀ = 3 > 1 ; u_n > 1 ⟹ u_n + 2 > 0 ; u_n+1 − 1 = 3(u_n − 1)u_n + 2 > 0

🔹الخطوة 2: الخلاصة

الخاصية صحيحة عند الرتبة 0 و وراثية، فهي صحيحة عند كلّ رتبة: إذن ⁦uₙ ≠ 1⁩ و ⁦vₙ⁩ معرّفة.

(∀ n ∈ ℕ) u_n > 1

🔹الخطوة 3: الحدّ الموالي

نحسب الحدّ الموالي للمساعدة.

v_n+1=1u_n+1 − 1=u_n + 24u_n − 1 − u_n − 2

🔹الخطوة 4: التبسيط

نبسّط المقام.

v_n+1=u_n + 23u_n − 3

🔹الخطوة 5: الفرق

نحسب الفرق مع الحدّ السابق على مقام موحّد.

v_n+1 − v_n=u_n + 23(u_n − 1) − 33(u_n − 1)=u_n − 13(u_n − 1)

🔹الخطوة 6: الطبيعة

فالفرق ثابت: المساعدة حسابية أساسها الثلث.

v_n+1 − v_n = 13 ; v₀ = 13 − 1 = 12

✅النّتيجة

أساسها موجب فنهايتها لانهائية، و مقلوبها يؤول إلى الصفر.

lim v_n = +∞ ⟹ lim (u_n − 1) = 0 ⟹ lim u_n = 1

⭐ الخطوة 1 ليست ترفا: بدونها المتتالية المساعدة غير معرّفة. كلّ سؤال يبدأ بـ «أثبت أنّ ⁦uₙ ≠ …⁩» هو في الحقيقة سؤال عن وجود ما سيأتي بعده. لا تقفز عليه.

مثال 4: مثال مضادّ

نعتبر الدالة f المعرّفة على ⁦[0 ; +∞[⁩ بـ ⁦f(x) = x·cos(2πx)/(x+1)⁩، و المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة على ℕ بـ ⁦uₙ = f(n)⁩.

🎯المطلوب: احسب نهاية المتتالية ⁦(uₙ)⁩، ثمّ بيّن أنّ نهاية الدالة f عند +∞ غير موجودة. ماذا تستنتج؟

🔹الخطوة 1: القيمة عند الرتب

نحسب قيمة جيب التمام عند الرتب الصحيحة وحدها.

(∀ n ∈ ℕ) cos(2πn) = 1

🔹الخطوة 2: الحدّ العامّ

فيصير الحدّ العامّ بسيطا جدّا.

u_n=f(n)=n × 1n + 1=nn + 1

🔹الخطوة 3: نهاية المتتالية

و نهايته تُحسب بالقسمة على الرتبة.

u_n = 11 + 1n ⟹ lim u_n = 1

🔹الخطوة 4: سلوك الدالة

لكنّ الدالة نفسها لا تستقرّ: جيب التمام يمسح كلّ القيم بين رتبتين متتاليتين.

(∀ x) −1 ≤ cos(2πx) ≤ 1

✅النّتيجة

فقيم الدالة تتذبذب بين طرفين لا يقتربان.

lim u_n = 1 ; ∄ lim f(x)

⭐ هذا المثال يحمي من خطأ منطقي شائع: المبرهنة تقول «إن كان للدالة نهاية فللمتتالية النهاية نفسها». هي لا تقول العكس. المتتالية لا ترى إلاّ الرتب الصحيحة، و ما تفعله الدالة بينها لا يعنيها إطلاقا.

⛔ في الباكالوريا، سؤال النهاية يأتي غالبا بعد سؤال يعطيك المتتالية المساعدة. لا تحاول حساب نهاية المتتالية الأصلية مباشرة: احسب نهاية المساعدة، ثمّ ارجع. و انتبه إلى صيغة العودة: ⁦⁦uₙ = vₙ + α⁩⁩ تعطي النهاية بالجمع، و ⁦⁦vₙ = 1/(uₙ − 1)⁩⁩ تعطيها بالمقلوب.

الخلاصة: اتّجاه التغيّر يُدرس بالفرق، أو بالنسبة إن كانت الحدود موجبة، أو بالدالة المرفقة إن كان الحدّ عامّا فقط. و النهاية تُحسب بالدالة المرفقة — في اتّجاه واحد: وجود نهاية للدالة يعطي نهاية للمتتالية، و العكس باطل.

Page 1/8