الاحتمالات والإحصاء
التوفيقات
التوفيقة هي الترتيبة بعد نزع الترتيب منها. و هذا النزع يترجم إلى قسمة واحدة، لأنّ كلّ اختيار غير مرتّب يظهر في عدّ الترتيبات بعدد ترتيباته الممكنة بالضبط.
- التمييز بين ترتيبة و توفيقة في وضعية ملموسة
- حساب عدد التوفيقات بالدستور و بالحاسبة
- توظيف خاصّية التناظر و علاقة باسكال
- حساب عدد الحالات في السحب في آن واحد
- عدد الترتيبات و التبديلات و رمز العامليّة
- مفهوم جزء من مجموعة منتهية
1. تعريف
لتكن E مجموعة منتهية ذات n عنصرا، و p عددا طبيعيا حيث p محصور بين 0 و n. التوفيقة ذات p عنصرا من E هي كلّ جزء من E له p عنصرا. نرمز لعددها بـ Cₙp.
2. دستور التوفيقات
كلّ جزء ذي p عنصرا يولّد p! ترتيبة، لأنّ ترتيب عناصره بينها يعطي تبديلات هذه العناصر. فعدّ الترتيبات يعدّ كلّ جزء p! مرّة: نقسم على p! لنمحو الترتيب.
نعوّض عدد الترتيبات بصيغته العامليّة. هذه الصيغة هي الأنفع في البراهين لأنّها متناظرة: تبديل p بـ n−p لا يغيّرها، و هي الخاصّية الأولى أدناه.
⭐ هذه هي الصيغة التي تُحسب بها فعلا: p عاملا فوق و p عاملا تحت. لا تحسب 49! أبدا في ورقة امتحان — الحاسبة نفسها تعجز عن عرضه كاملا.
جزء واحد لا يحوي أيّ عنصر و هو الجزء الخالي؛ و جزء واحد يحوي كلّ العناصر و هو المجموعة نفسها؛ و الأجزاء ذات عنصر واحد عددها عدد العناصر.
3. خاصّيتان أساسيّتان
اختيار p عنصرا يعادل تماما ترك n−p عنصرا: لكلّ جزء متمّمة واحدة و لكلّ متمّمة جزء. فالعددان يعدّان الشيء نفسه. عمليّا: احسب دائما بالأصغر بين p و n−p.
نثبّت عنصرا a من المجموعة. الأجزاء ذات p عنصرا نوعان لا ثالث لهما: تلك التي لا تحوي a — و هي أجزاء ذات p عنصرا من الـ n−1 الباقية — و تلك التي تحويه، و يبقى أن نختار لها p−1 عنصرا من الـ n−1 الباقية. فنجمع.
نريد تشكيل لجنة من ستّة تلاميذ من بين تسعة و أربعين تلميذا.
🎯المطلوب: احسب عدد اللجان الممكن تشكيلها.
اللجنة جزء: لا ترتيب بين أعضائها و لا تكرار. فالأمر توفيقة.
نكتب الدستور الصريح: ستّة عوامل تنازلية فوق، و عاملي 6 تحت.
نحسب المقام أوّلا، و هو صغير.
بدل القسمة على 720 دفعة واحدة، نبسّط بعوامله واحدا واحدا: 48 على 6 يعطي 8، و 45 على 5 يعطي 9، و 44 على 4 يعطي 11، و يبقى 3 و 2 في المقام.
نبسّط 9 على 3 فيصير 3، و 46 على 2 فيصير 23.
و نضرب تدريجيّا.
و أخيرا في جداء العاملين الباقيين، ثلاثة في أحد عشر.
صندوق فيه خمس كريات سوداء و أربع كريات بيضاء، كلّها متشابهة لا نميّز بينها باللمس. نسحب في آن واحد ثلاث كريات.
🎯المطلوب: احسب عدد السحبات الممكنة، ثمّ عدد السحبات التي تحوي كرية سوداء على الأقلّ، ثمّ احتمال هذه الحادثة.
السحب في آن واحد: لا ترتيب. و الكريات تسع في المجموع.
نحسب: تسعة في ثمانية في سبعة على ستّة.
«سوداء واحدة على الأقلّ» عكسها «لا سوداء إطلاقا»، أي ثلاث بيضاوات من الأربع.
فعدد السحبات الملائمة هو الكلّ ناقص العكس.
و في حالة تساوي الاحتمال يُقسم على العدد الكلّي، ثمّ نختزل بالقسمة على أربعة.
قسم فيه عشرون تلميذا، من بينهم أحمد. نريد اختيار تلميذين من القسم.
🎯المطلوب: احسب عدد الاختيارات الممكنة a، ثمّ العدد b للاختيارات التي لا تضمّ أحمد، ثمّ العدد c للاختيارات التي تضمّه، و حدّد العلاقة بين الأعداد الثلاثة.
اختيار تلميذين لجنة، أي جزء ذو عنصرين من عشرين.
اللجان التي لا تضمّ أحمد تُختار كلّها من التسعة عشر الباقين.
و اللجان التي تضمّ أحمد: مكانه محجوز، فيبقى اختيار زميل واحد من التسعة عشر.
نجمع العددين و نقارن بالعدد الكلّي.
فالعلاقة محقّقة، و هي علاقة باسكال نفسها بلغة الوضعية.
نريد حساب عدد الأجزاء ذات أحد عشر عنصرا من مجموعة ذات ستّة عشر عنصرا.
🎯المطلوب: احسب هذا العدد بأقلّ حساب ممكن، مبيّنا الخاصّية التي وظّفتها.
لو حسبنا مباشرة لاحتجنا أحد عشر عاملا فوق و أحد عشر تحت.
نطبّق التناظر: اختيار أحد عشر من ستّة عشر يعادل ترك خمسة.
فخمسة عوامل فقط فوق و خمسة تحت.
نبسّط: 15 على 5 يعطي 3، و 12 على 4 يعطي 3، و 14 على 2 يعطي 7، و يبقى 3 في المقام فيلغي أحد العاملين الثلاثة.
و نضرب تدريجيّا: ستّة عشر في ثلاثة، ثمّ في سبعة، ثمّ في ثلاثة عشر.
Page 1/8
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net